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摘要：如何提高初中数学复习教学的有效性是教师一直在思考并实践研究的，本文先借助“导学卡”辅助学生完成自主梳理知识的过程，利用大数据平台快速反馈学生的前测答题情况。对于这些过程中学生生成的疑问，笔者再通过问题串提问、典例讲解、变式应用、归纳建构等形式逐步解决，最后通过中考问题拓展，让学生进一步深入理解知识的本质和迁移。
关键词：复习；导学；探究；拓展
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）08-0137
復习教学是初中数学常规教学中非常重要的组成内容，它与新课教学、试卷讲评互辅互成，教学内容主要包括知识的梳理、典例的讲解、变式的应用、知识的拓展等。它是教师完善教学结构、提升教学实效的有效手段，是帮助学生吸收课堂知识、建构知识结构体系的有效策略。在实际教学中，教师也一直在思考并实践研究如何提高复习教学的有效性，在梳理巩固已学知识的基础上，继续拓展学生的思维空间、发展学生的推理能力、建构学生的知识体系，促进学生全面、持续、和谐的发展。
一、初中数学复习教学中存在的问题
初中数学复习有知识点复习、题型复习、方法复习等，教师可以根据学生的实际情况选取合适的复习内容，加深学生对该方面知识的理解、应用和拓展。在实际教学过程中，教师和学生对于如何提高数学复习的有效性，还存在较多问题没有得到解答。
下图是通过大数据平台得到的某次数学期中检测的数据统计：
通过数据反馈，我们发现除了10、15、16、22、23这些传统较难题外，13、14、19的答题情况也并不理想，13题考查代数式的变形，14题考查同底数幂相乘的逆运算，19题考查化简求值。结合试卷题目和数据反馈，发现学生答题中出现的主要问题有：方程变形错误、代数式化简计算不准确，几何证明题书写不规范等。这些问题的出现，既有学生的原因，比如学生的基本学情和解题能力的差别，也有教师的原因，比如教学能力和教学方法的差别等。
教师对教材、《课标》的阅读、理解不到位，对知识的前后联系、知识的地位和作用理解不够完整，对课堂的重点、难点和关键把握不够准确，对复习内容的选择和设计没有整体性和针对性，导致在课堂中不能有效落实数学知识和技能，同时学生所学的知识也得不到联系和拓展。而且每位教师所教班级和学生都有自身的独特性，教师需根据所教学生的学情和特点来研究设计适合自己学生的数学复习教学。
教师的教学能力在复习教学过程中没有得到有效的落实，例如教师的教学设计复习主线不清晰、环节设计不合理，在教学过程中知识梳理呈现方式单一、思考没有表达出思考过程和思考方法、解题方法归纳总结不到位，在课堂互动中师生交流合作讨论较少、交流面不够宽、学生参与评价的积极性不高，在教学反思中不能帮助学生构建完整的知识结构体系等。
复习课的目的之一是巩固所学知识，但事实上，教师在设计练习时会出现形式单一、内容简单、层次不强、练习量过多或过少的情况，学生在练习时也经常不得要领（不知道为什么练、练什么、怎样练），练习的知识彼此间联系不足，解题思路也起不到迁移作用，遇题解题，方法不能举一反三，学生知识和能力得不到延伸与拓展。部分教师并不适应当今的“大数据”时代，不能很好地利用动态精准数据分析辅助教学，增加练习的高效性和趣味性。
二、初中数学复习教学有效策略的实践探究
初中数学知识体系是由“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个方面展开的，每个领域之间既有联系又有各自的特点，例如数遵循了“数——式——方程（不等式）——函数”的发展体系，几何遵循了“点——线——面——体”的发展体系。初中数学教材中要求以“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式呈现数学内容。下面，我们就在此基础上通过案例“中考二轮复习——正方形性质的再探究”的设计和分析，实践研究初中数学复习教学的有效策略。
1.自主梳理，导学生疑
“导学卡”是教师编制的用于引导学生自主学习、自主探究的学习方案，它以“以学定教”为指导思想，具有目标的导向作用、环节的导线作用、学法指导的导航作用、习题的导学作用和知识的导疑作用。复习教学中，我们可以借助导学卡辅助学生完成自主梳理知识的过程，学生通过前置性的练习了解自己对知识的掌握程度，利用大数据平台快速、精准的特点及时发现自己未掌握的一些问题，而且在预习过程中学生有了自己的思考与分析，那么他们在课堂学习中自然就会有更加明确的目标，也会更加积极地思考分析问题，解决自己存在的疑问。
学生早已学习过平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质，在此之前我们也已经复习了特殊平行四边形——菱形和矩形，具备了一定的研究经验。那么，作为二轮复习课，我们就需要在原有对正方形基本知识掌握的基础上继续挖掘，研究建立知识之间的联系。正方形既是轴对称图形，又是旋转对称图形，学生从这一已有认知出发，可以归纳得出正方形的对称性是它最特殊的性质，那么如何对这一性质进行拓展、应用并且建构知识体系，对学生而言都是具有一定难度的。
因此，我们可以确定《中考二轮复习——正方形性质的再探究》的导学卡如下：（1）结合近几年期末试题和中考试题分析，思考：正方形主要考查的内容有哪些？（2）阅读正方形相关的概念，在梳理的过程中把重要的概念、性质等知识点用横线画出来。思考：正方形的独一无二的性质是什么？（3）你觉得本节课的重点是什么？写出在预习过程中你存在的困惑。（4）利用平板完成前测。
前测1正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.对角线互相垂直B.对角线互相平分
C.对角线相等D.对角线平分一组对角
前测2正方形的对称轴有（）条
A. 0B. 2C. 4D.无数
变式2如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG= FB。求证：DE⊥FG。
正方形的对称性不仅仅体现在它自身，我们还可以通过添加辅助线寻找藏在正方形中的对称，这两个变式的图形更加复杂，但是解题思路仍是利用正方形的对称性，寻找相等的线段、相等的角等，再利用勾股定理、面积法解题。通过解决正方形的定量问题，学生感受并理解相似三角形、勾股定理、面积法是通法，而且解题方法多样化。
“变式”的设计可以是图形的变式，也可以是题目条件的变式或结论的变式，但是其中所蕴含的核心知识点是不变的，解题思路和方法也是通用的。例如，在概念课中概念的问题变式中一般可以明显地分析、比较、综合式子的本质特征，有助于学生对概念的理解和概括，而复习课中设计的问题变式，则更注重知识本质的拓展和迁移，从而优化学生的思维活跃品质。 4.归纳拓展，深化释疑
中考拓展（2017杭州21题）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG。
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长。
在解决几何问题的过程中，首先我们要仔细审题把题中的已知条件或图形中的隐含条件用符号在图形中标记出来，然后联系课本知识和平时所积累的常用解题技巧，尽可能找出已知条件和所要证明的内容之间的联系。像上一道题，我们就可以利用正方形的对称性添加辅助线帮助解题。几何问题中，当确定条件全部用上后还是没有解题思路的，我们就可以考虑辅助线的添加，这需要平时解题的积累和反思。
正方形的性质探究是初中阶段几何部分的重点内容之一，结合近几年中考试题分析，我们可以发现正方形的对称性是重点考查内容之一，通常题目会结合正方形的性质和判定，让学生进行几何证明或者计算线段的长度、图形的面积、三角函数等。解题中应注重在复杂的图形中寻找出对称性，寻找全等或相似的基本图形，有时也需通过添加辅助线构造全等三角形或相似三角形分析解题。因此，中考二轮复习——正方形性质的再探究的复习课，我们主要拓展研究了以下两方面内容：①定性研究：对称性→全等三角形；②定量研究：相似三角形、勾股定理、面积法。
课后的作业之一是根据正方形的对称性，学生以小组为单位自主编制一道题：
学生1：
学生在编制题目的过程中，不仅深入理解了正方形的轴对称性和旋转对称性，学会了运用和拓展，而且在小组合作交流的过程中发散思维，提高了自主创新的能力。
三、探究初中数学复习教学策略的反思
学生的数学学习事实上一直不停地走在“有疑→解疑→又生疑→又解疑→再生疑→再解疑……”的道路上，学生在自主预习过程中会更多的产生疑问，质疑为什么这样定义、为什么这样思考、为什么这样解题？学生带着疑问上课，在课堂中把疑问解决了，那么这节课才是对该生真正有效的课，学生也才能在疑问中真正理解所学知识。借助大数据平台，在“导学卡”的辅助下学生能更好地完成自主预习课程，而解疑的过程事实上就是学生思维层次逐渐提高的过程。
学生在自学中生疑，而在此过程中产生的疑问我们可以用问题串的方式呈现，再通过问题变式这一途径达成解决问题的效果。学生则在这些问题的合作探究过程中，抽象归纳出问题的模型以及解决相关问题的一般方法。而且问题变式中通常还蕴含着分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想与方法，能很好地促进学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的发展。
在初中数学复习教学中，我们要关注学生的“经验”“思考”“活动”“再创造”，让学生思维深度参与课堂，更要关注帮助学生建构既科学又利于探索思考的知识结构体系，提升学生的理性思维、批判质疑、勇于探究的科学精神以及乐学善学、勤于反思、合作交流的能力，再融合数学思想和数学方法的应用，使学生在学习的深化过程中，提高数学解题能力和数学综合素养。
参考文献：
[1]倪牟双，陈杰.案例解读高效课堂教学模式[M].北京：中国轻工业出版社，2015.
[2]加里·鲍里奇.有效教学方法[M].南京：江苏教育出版社，2002.
[3]韩志英.对变式教学的认识与实践[D].考试周刊，2007.
[4]徐骏.初中数学课堂“问题串”设计的实践与思考[EB/OL].（2010-2-15）[2016-10-21]. http：//www.qikan.com.cn/Article/jxyz/jxyz201008/jxyz20100804.html
[5]數学变式训练，激活学生思维[EB/OL]（2012-12-16）[2016-08-25]. http：//news.21cnjy.com/A/100/7/V48050.shtml
（作者单位：浙江省杭州市余杭区临平第五中学311100）
关键词：复习；导学；探究；拓展
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）08-0137
復习教学是初中数学常规教学中非常重要的组成内容，它与新课教学、试卷讲评互辅互成，教学内容主要包括知识的梳理、典例的讲解、变式的应用、知识的拓展等。它是教师完善教学结构、提升教学实效的有效手段，是帮助学生吸收课堂知识、建构知识结构体系的有效策略。在实际教学中，教师也一直在思考并实践研究如何提高复习教学的有效性，在梳理巩固已学知识的基础上，继续拓展学生的思维空间、发展学生的推理能力、建构学生的知识体系，促进学生全面、持续、和谐的发展。
一、初中数学复习教学中存在的问题
初中数学复习有知识点复习、题型复习、方法复习等，教师可以根据学生的实际情况选取合适的复习内容，加深学生对该方面知识的理解、应用和拓展。在实际教学过程中，教师和学生对于如何提高数学复习的有效性，还存在较多问题没有得到解答。
下图是通过大数据平台得到的某次数学期中检测的数据统计：
通过数据反馈，我们发现除了10、15、16、22、23这些传统较难题外，13、14、19的答题情况也并不理想，13题考查代数式的变形，14题考查同底数幂相乘的逆运算，19题考查化简求值。结合试卷题目和数据反馈，发现学生答题中出现的主要问题有：方程变形错误、代数式化简计算不准确，几何证明题书写不规范等。这些问题的出现，既有学生的原因，比如学生的基本学情和解题能力的差别，也有教师的原因，比如教学能力和教学方法的差别等。
教师对教材、《课标》的阅读、理解不到位，对知识的前后联系、知识的地位和作用理解不够完整，对课堂的重点、难点和关键把握不够准确，对复习内容的选择和设计没有整体性和针对性，导致在课堂中不能有效落实数学知识和技能，同时学生所学的知识也得不到联系和拓展。而且每位教师所教班级和学生都有自身的独特性，教师需根据所教学生的学情和特点来研究设计适合自己学生的数学复习教学。
教师的教学能力在复习教学过程中没有得到有效的落实，例如教师的教学设计复习主线不清晰、环节设计不合理，在教学过程中知识梳理呈现方式单一、思考没有表达出思考过程和思考方法、解题方法归纳总结不到位，在课堂互动中师生交流合作讨论较少、交流面不够宽、学生参与评价的积极性不高，在教学反思中不能帮助学生构建完整的知识结构体系等。
复习课的目的之一是巩固所学知识，但事实上，教师在设计练习时会出现形式单一、内容简单、层次不强、练习量过多或过少的情况，学生在练习时也经常不得要领（不知道为什么练、练什么、怎样练），练习的知识彼此间联系不足，解题思路也起不到迁移作用，遇题解题，方法不能举一反三，学生知识和能力得不到延伸与拓展。部分教师并不适应当今的“大数据”时代，不能很好地利用动态精准数据分析辅助教学，增加练习的高效性和趣味性。
二、初中数学复习教学有效策略的实践探究
初中数学知识体系是由“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个方面展开的，每个领域之间既有联系又有各自的特点，例如数遵循了“数——式——方程（不等式）——函数”的发展体系，几何遵循了“点——线——面——体”的发展体系。初中数学教材中要求以“问题情境——数学活动——概括——巩固、应用和拓展”的模式呈现数学内容。下面，我们就在此基础上通过案例“中考二轮复习——正方形性质的再探究”的设计和分析，实践研究初中数学复习教学的有效策略。
1.自主梳理，导学生疑
“导学卡”是教师编制的用于引导学生自主学习、自主探究的学习方案，它以“以学定教”为指导思想，具有目标的导向作用、环节的导线作用、学法指导的导航作用、习题的导学作用和知识的导疑作用。复习教学中，我们可以借助导学卡辅助学生完成自主梳理知识的过程，学生通过前置性的练习了解自己对知识的掌握程度，利用大数据平台快速、精准的特点及时发现自己未掌握的一些问题，而且在预习过程中学生有了自己的思考与分析，那么他们在课堂学习中自然就会有更加明确的目标，也会更加积极地思考分析问题，解决自己存在的疑问。
学生早已学习过平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质，在此之前我们也已经复习了特殊平行四边形——菱形和矩形，具备了一定的研究经验。那么，作为二轮复习课，我们就需要在原有对正方形基本知识掌握的基础上继续挖掘，研究建立知识之间的联系。正方形既是轴对称图形，又是旋转对称图形，学生从这一已有认知出发，可以归纳得出正方形的对称性是它最特殊的性质，那么如何对这一性质进行拓展、应用并且建构知识体系，对学生而言都是具有一定难度的。
因此，我们可以确定《中考二轮复习——正方形性质的再探究》的导学卡如下：（1）结合近几年期末试题和中考试题分析，思考：正方形主要考查的内容有哪些？（2）阅读正方形相关的概念，在梳理的过程中把重要的概念、性质等知识点用横线画出来。思考：正方形的独一无二的性质是什么？（3）你觉得本节课的重点是什么？写出在预习过程中你存在的困惑。（4）利用平板完成前测。
前测1正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.对角线互相垂直B.对角线互相平分
C.对角线相等D.对角线平分一组对角
前测2正方形的对称轴有（）条
A. 0B. 2C. 4D.无数
变式2如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG= FB。求证：DE⊥FG。
正方形的对称性不仅仅体现在它自身，我们还可以通过添加辅助线寻找藏在正方形中的对称，这两个变式的图形更加复杂，但是解题思路仍是利用正方形的对称性，寻找相等的线段、相等的角等，再利用勾股定理、面积法解题。通过解决正方形的定量问题，学生感受并理解相似三角形、勾股定理、面积法是通法，而且解题方法多样化。
“变式”的设计可以是图形的变式，也可以是题目条件的变式或结论的变式，但是其中所蕴含的核心知识点是不变的，解题思路和方法也是通用的。例如，在概念课中概念的问题变式中一般可以明显地分析、比较、综合式子的本质特征，有助于学生对概念的理解和概括，而复习课中设计的问题变式，则更注重知识本质的拓展和迁移，从而优化学生的思维活跃品质。 4.归纳拓展，深化释疑
中考拓展（2017杭州21题）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG。
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长。
在解决几何问题的过程中，首先我们要仔细审题把题中的已知条件或图形中的隐含条件用符号在图形中标记出来，然后联系课本知识和平时所积累的常用解题技巧，尽可能找出已知条件和所要证明的内容之间的联系。像上一道题，我们就可以利用正方形的对称性添加辅助线帮助解题。几何问题中，当确定条件全部用上后还是没有解题思路的，我们就可以考虑辅助线的添加，这需要平时解题的积累和反思。
正方形的性质探究是初中阶段几何部分的重点内容之一，结合近几年中考试题分析，我们可以发现正方形的对称性是重点考查内容之一，通常题目会结合正方形的性质和判定，让学生进行几何证明或者计算线段的长度、图形的面积、三角函数等。解题中应注重在复杂的图形中寻找出对称性，寻找全等或相似的基本图形，有时也需通过添加辅助线构造全等三角形或相似三角形分析解题。因此，中考二轮复习——正方形性质的再探究的复习课，我们主要拓展研究了以下两方面内容：①定性研究：对称性→全等三角形；②定量研究：相似三角形、勾股定理、面积法。
课后的作业之一是根据正方形的对称性，学生以小组为单位自主编制一道题：
学生1：
学生在编制题目的过程中，不仅深入理解了正方形的轴对称性和旋转对称性，学会了运用和拓展，而且在小组合作交流的过程中发散思维，提高了自主创新的能力。
三、探究初中数学复习教学策略的反思
学生的数学学习事实上一直不停地走在“有疑→解疑→又生疑→又解疑→再生疑→再解疑……”的道路上，学生在自主预习过程中会更多的产生疑问，质疑为什么这样定义、为什么这样思考、为什么这样解题？学生带着疑问上课，在课堂中把疑问解决了，那么这节课才是对该生真正有效的课，学生也才能在疑问中真正理解所学知识。借助大数据平台，在“导学卡”的辅助下学生能更好地完成自主预习课程，而解疑的过程事实上就是学生思维层次逐渐提高的过程。
学生在自学中生疑，而在此过程中产生的疑问我们可以用问题串的方式呈现，再通过问题变式这一途径达成解决问题的效果。学生则在这些问题的合作探究过程中，抽象归纳出问题的模型以及解决相关问题的一般方法。而且问题变式中通常还蕴含着分类讨论思想、转化与化归思想等数学思想与方法，能很好地促进学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的发展。
在初中数学复习教学中，我们要关注学生的“经验”“思考”“活动”“再创造”，让学生思维深度参与课堂，更要关注帮助学生建构既科学又利于探索思考的知识结构体系，提升学生的理性思维、批判质疑、勇于探究的科学精神以及乐学善学、勤于反思、合作交流的能力，再融合数学思想和数学方法的应用，使学生在学习的深化过程中，提高数学解题能力和数学综合素养。
参考文献：
[1]倪牟双，陈杰.案例解读高效课堂教学模式[M].北京：中国轻工业出版社，2015.
[2]加里·鲍里奇.有效教学方法[M].南京：江苏教育出版社，2002.
[3]韩志英.对变式教学的认识与实践[D].考试周刊，2007.
[4]徐骏.初中数学课堂“问题串”设计的实践与思考[EB/OL].（2010-2-15）[2016-10-21]. http：//www.qikan.com.cn/Article/jxyz/jxyz201008/jxyz20100804.html
[5]數学变式训练，激活学生思维[EB/OL]（2012-12-16）[2016-08-25]. http：//news.21cnjy.com/A/100/7/V48050.shtml
（作者单位：浙江省杭州市余杭区临平第五中学311100）