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《苏科版数学七年级下册》有这样一道题:桌上有3只杯口都朝上的茶杯,每次翻转2只,能否经过若干次翻转使3只杯子的杯口全部朝下?7只杯口都朝上的茶杯每次翻转3只呢?如果用“ 1”或“-1”分别表示杯口“朝上”或“朝下”,你能用有理数的运算说明其中的道理吗?
探究二:取3只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中2只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?
过程:
①第1次:翻转1、2号杯
②第2次:翻转1、3号杯
③……(任意翻转其中的2只茶杯)
想一想:
1. 第1次翻转后已有2只茶杯的杯口朝下,后面的每次操作总会出现几只杯口朝上?(1只或3只)
2. 把“每次翻转2只茶杯”看作“将1只茶杯连续翻转2次”,结果怎样?(杯口始终朝上)
结论:3只杯口全部朝上的茶杯,每次翻转其中2只不能使杯口全部朝下.
探究三:取4只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中2只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?(先想一想,再试一试.)
此时,杯口全部朝下.
结论:4只杯口全部朝上的茶杯,每次翻转其中3只,能使杯口全部朝下.
二、 思考延伸 解释结论
事实上,如果把杯口朝上记作“ 1”,杯口朝下记作“-1”,那么3只杯口都朝上的茶杯记为“ 1”“ 1”“ 1”,这3个数的乘积为“ 1”,3只杯口都朝下的茶杯记为“-1”“-1”“-1”,这3个数的乘积为“-1”,每次翻转2只,即改变其中两个数的符号,这3个数的积仍为“ 1”,所以每次翻转2只,不能使杯口全部朝下.4只杯口都朝上的茶杯记为“ 1”“ 1”“ 1”“ 1”,这4个数的乘积为“ 1”,4只杯口都朝下的茶杯记为“-1”“-1”“-1”“-1”,这4个数的乘积为“ 1”,每次翻转2只,4个数的乘积为“ 1”,杯口可全部朝下;每次翻转3只,即改变其中3个数的符号,这4个数的积为“-1”,再进行一次翻转这4个数的乘积为“ 1”,所以每次翻转3只,经过若干次翻转,杯口全部朝下.这样,利用有理数运算的符号法则就可以解决翻转茶杯的问题了.
“翻转茶杯”问题与茶杯总数和每次翻转的个数有关:如果茶杯的总数是偶数,不论每次翻转的个数是奇数还是偶数,经过若干次操作,都能使杯口全部朝下;如果茶杯的总数是奇数,翻转的个数是奇数,经过若干次操作,都能使杯口全部朝下,但翻转的个数是偶数时,无论经过多少次操作,都不能使杯口全部朝下.
(作者单位:江苏省连云港市赣榆外国语学校)
探究二:取3只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中2只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?
过程:
①第1次:翻转1、2号杯
②第2次:翻转1、3号杯
③……(任意翻转其中的2只茶杯)
想一想:
1. 第1次翻转后已有2只茶杯的杯口朝下,后面的每次操作总会出现几只杯口朝上?(1只或3只)
2. 把“每次翻转2只茶杯”看作“将1只茶杯连续翻转2次”,结果怎样?(杯口始终朝上)
结论:3只杯口全部朝上的茶杯,每次翻转其中2只不能使杯口全部朝下.
探究三:取4只茶杯,杯口全部朝上,每次翻转其中2只,经过若干次翻转,能否使杯口全部朝下?(先想一想,再试一试.)
此时,杯口全部朝下.
结论:4只杯口全部朝上的茶杯,每次翻转其中3只,能使杯口全部朝下.
二、 思考延伸 解释结论
事实上,如果把杯口朝上记作“ 1”,杯口朝下记作“-1”,那么3只杯口都朝上的茶杯记为“ 1”“ 1”“ 1”,这3个数的乘积为“ 1”,3只杯口都朝下的茶杯记为“-1”“-1”“-1”,这3个数的乘积为“-1”,每次翻转2只,即改变其中两个数的符号,这3个数的积仍为“ 1”,所以每次翻转2只,不能使杯口全部朝下.4只杯口都朝上的茶杯记为“ 1”“ 1”“ 1”“ 1”,这4个数的乘积为“ 1”,4只杯口都朝下的茶杯记为“-1”“-1”“-1”“-1”,这4个数的乘积为“ 1”,每次翻转2只,4个数的乘积为“ 1”,杯口可全部朝下;每次翻转3只,即改变其中3个数的符号,这4个数的积为“-1”,再进行一次翻转这4个数的乘积为“ 1”,所以每次翻转3只,经过若干次翻转,杯口全部朝下.这样,利用有理数运算的符号法则就可以解决翻转茶杯的问题了.
“翻转茶杯”问题与茶杯总数和每次翻转的个数有关:如果茶杯的总数是偶数,不论每次翻转的个数是奇数还是偶数,经过若干次操作,都能使杯口全部朝下;如果茶杯的总数是奇数,翻转的个数是奇数,经过若干次操作,都能使杯口全部朝下,但翻转的个数是偶数时,无论经过多少次操作,都不能使杯口全部朝下.
(作者单位:江苏省连云港市赣榆外国语学校)