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分式是中考必考内容,通常以填空题、选择题、解答题的形式出现,下面以2010年中考部分重点省市数学试卷中的考查方式、分值比例等作出相关的统计:
考点一、分式的意义
例1 若分式有意义,则实数x的取值范围是_______.
解析:因为分式要有意义,所以x-5≠0,解得x≠5.所以实数x的取值范围是x≠5.
点拨:分式有意义的条件是,分式的分母不能为0. 通过建立关于待定字母的不等式,从而求出待定字母的取值范围.
例2使分式无意义的x的值是( ).
A. x=-B. x=
C. x≠-D.x≠
解析:根据题意,得2x-1=0 .解得x=.
点拨:分母为0时,分式无意义.根据这一条件可以建立关于待定字母的方程,从而求出待定字母的值.
考点二、分式值为0的条件
例3 (1)若分式的值为0,则().
A.x=-2 B.x=- C.x= D.x=2
(2)分式的值为0,则( ).
A.x=-1 B.x=1C.x=±1D.x=0
解析:要使分式的值为零,除了要求分子的值为零外,一定要保证分母的值不为零.
(1)根据题意得,3x-6=0,且2x-1≠0,解得x=2.
(2)根据题意得,x2-1=0,且x+1≠0 ,解得x=1 .
点拨:由于只有在分式有意义的条件下,才能讨论分式值的问题,所以当分式值为0时,须同时满足①分子等于零,②分母不等于零,两个条件缺一不可.
考点三、分式的基本性质
例4 化简:=_________ .
解析:先将分子因式分解为(x-y+1)(x-y-1),然后约去(x-y-1).
==
=x-y+1.
点拨:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子与分母的公因式,也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积.(2)如果分子、分母中至少有一个是多项式,就应先分解因式,然后找它们的公因式,再约分.(3)约分时一定要把公因式约尽,使约分的结果为最简分式或整式.
考点四、分式的加减
例5 化简:-=___________.
解析:依据“同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减”, 则-===x+y.
点拨:(1)把分子相加减是指把每个分式的分子的整体相加减,即各个分子都应有括号.当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略. (2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.
例6 已知ab=-1,a+b=2,则式子 +=____.
解析:将待求分式转化为已知式的形式,再代入求值.
+===-6.
点拨:先将分式转化为条件中所给的形式,再将已知式的值代入求值.
考点五、分式的乘除
例7 化简: (a-2)•=_________.
解析:因为分式的分子和分母都是多项式,所以应先对分子与分母进行因式分解,再根据分式乘法法则进行计算.
(a-2)•=(a-2)•=a+2.
点拨:若分式的分子、分母都是单项式,可直接利用分式乘法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式.若分式的分子、分母中至少有一个是多项式,要先对分子、分母进行因式分解,然后运用分式乘法法则计算.
例8 计算:÷ =_______.
解析:根据分式的除法法则,两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.
÷ =× =-2 .
点拨:两个分式相除,分子或分母是多项式时,应先分解因式,再利用分式的除法法则进行运算,最后的运算结果要化为最简分式或整式.
考点六、分式的化简求值
例9先化简,再求值:(-)•,其中x=.
解析:(-)•
=•
=•
=.
当x=时,原式=3 .
点拨:在做分式的混合运算时,必须注意运算顺序,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号内的,若是同级混合运算,应按从左到右的顺序进行.
例10 已知x-3y=0,求•(x-y)的值.
解析:本题可以把x用含有y的代数式表示出来,再代入化简之后的式子求值.
•(x-y)=•(x-y)=.
由x-3y=0,得x=3y ,原式== .
点拨:根据题型的需要,应先化简,再整体代入求值.
考点七、分式方程及其解法
例11 若关于x的分式方程-=1无解,则a=______.
解析:先将方程-=1转化为整式方程,即(a+2)x=3,再分两种情况进行讨论:
(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根,即x=0或x=1 .
①将x=0代入方程(a+2)x=3,此时a无取值;
②将x=1代入程(a+2)x=3得,a=1.
(2)整式方程无解,即方程(a+2)x=3无解,则分式方程也无解.则有a+2=0,解得a=-2.
所以答案为1或-2.
点拨:分式方程无解问题有两种情况.(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根.此时应先求出增根,然后把增根代入整式方程,求出相应的待定系数的值;(2)整式方程无解,则分式方程也无解.此时的整式方程应满足“0•x=b(b≠0)”的形式,从而求出待定系数的值.
例12 解方程-=2时,若设y=,则方程可化为_________.
解析:因为y=,所以=,则方程-=2可变形为2y-=2,即2y2-2y-3=0 .
点拨:解分式方程的基本方法是去分母,但对于特殊形式的分式方程可采用换元法求解.
考点八、分式方程的应用
例13 如图1,点A,B 在数轴上,它们所对应的数分别是-3和,且点A,B到原点的距离相等,求x的值.
图1
解析:因为点A,B到原点的距离相等,所以 -3和互为相反数.依题意可得,3=,解得x=.经检验,x=是原方程的解.
点拨:解决此类题时,要注意数形结合,根据数的概念建立方程,从而求解.
例14 某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1 800元.已知(2)班比(1)班人均捐款多4元, (2)班的人数比(1)班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
解析:题目中的等量关系有两个,(1) 班的人数=(2)班的人数×90%,(2)班人均捐款数= (1)班人均捐款数+4元.其中一个等量关系可用来设未知数,另一个等量关系可用来列方程.
设(1)班人均捐款x元,则(2)班人均捐款为(x+4) 元,根据题意得×90%=,解得x=36.经检验,x=36是原方程的根.所以x+4=40.
答: (1)班人均捐款36元, (2)班人均捐款40元.
点拨:分式方程应用问题联系实际比较广泛,解题时要仔细分析题意、探究题中的等量关系.另外,解分式方程应用题的5个步骤,即“设未知数、列分式方程、解分式方程、检验、答”缺一不可.特别要注意,检验步骤包含了检验所得的解是否为所列分式方程的解以及是否符合实际题意两层含义.
考点一、分式的意义
例1 若分式有意义,则实数x的取值范围是_______.
解析:因为分式要有意义,所以x-5≠0,解得x≠5.所以实数x的取值范围是x≠5.
点拨:分式有意义的条件是,分式的分母不能为0. 通过建立关于待定字母的不等式,从而求出待定字母的取值范围.
例2使分式无意义的x的值是( ).
A. x=-B. x=
C. x≠-D.x≠
解析:根据题意,得2x-1=0 .解得x=.
点拨:分母为0时,分式无意义.根据这一条件可以建立关于待定字母的方程,从而求出待定字母的值.
考点二、分式值为0的条件
例3 (1)若分式的值为0,则().
A.x=-2 B.x=- C.x= D.x=2
(2)分式的值为0,则( ).
A.x=-1 B.x=1C.x=±1D.x=0
解析:要使分式的值为零,除了要求分子的值为零外,一定要保证分母的值不为零.
(1)根据题意得,3x-6=0,且2x-1≠0,解得x=2.
(2)根据题意得,x2-1=0,且x+1≠0 ,解得x=1 .
点拨:由于只有在分式有意义的条件下,才能讨论分式值的问题,所以当分式值为0时,须同时满足①分子等于零,②分母不等于零,两个条件缺一不可.
考点三、分式的基本性质
例4 化简:=_________ .
解析:先将分子因式分解为(x-y+1)(x-y-1),然后约去(x-y-1).
==
=x-y+1.
点拨:(1)如果分子、分母都是单项式,那么可直接约去分子与分母的公因式,也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积.(2)如果分子、分母中至少有一个是多项式,就应先分解因式,然后找它们的公因式,再约分.(3)约分时一定要把公因式约尽,使约分的结果为最简分式或整式.
考点四、分式的加减
例5 化简:-=___________.
解析:依据“同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减”, 则-===x+y.
点拨:(1)把分子相加减是指把每个分式的分子的整体相加减,即各个分子都应有括号.当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,括号不可以省略. (2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式.
例6 已知ab=-1,a+b=2,则式子 +=____.
解析:将待求分式转化为已知式的形式,再代入求值.
+===-6.
点拨:先将分式转化为条件中所给的形式,再将已知式的值代入求值.
考点五、分式的乘除
例7 化简: (a-2)•=_________.
解析:因为分式的分子和分母都是多项式,所以应先对分子与分母进行因式分解,再根据分式乘法法则进行计算.
(a-2)•=(a-2)•=a+2.
点拨:若分式的分子、分母都是单项式,可直接利用分式乘法法则进行计算,计算结果要通过约分化为最简分式或整式.若分式的分子、分母中至少有一个是多项式,要先对分子、分母进行因式分解,然后运用分式乘法法则计算.
例8 计算:÷ =_______.
解析:根据分式的除法法则,两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.
÷ =× =-2 .
点拨:两个分式相除,分子或分母是多项式时,应先分解因式,再利用分式的除法法则进行运算,最后的运算结果要化为最简分式或整式.
考点六、分式的化简求值
例9先化简,再求值:(-)•,其中x=.
解析:(-)•
=•
=•
=.
当x=时,原式=3 .
点拨:在做分式的混合运算时,必须注意运算顺序,即先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号内的,若是同级混合运算,应按从左到右的顺序进行.
例10 已知x-3y=0,求•(x-y)的值.
解析:本题可以把x用含有y的代数式表示出来,再代入化简之后的式子求值.
•(x-y)=•(x-y)=.
由x-3y=0,得x=3y ,原式== .
点拨:根据题型的需要,应先化简,再整体代入求值.
考点七、分式方程及其解法
例11 若关于x的分式方程-=1无解,则a=______.
解析:先将方程-=1转化为整式方程,即(a+2)x=3,再分两种情况进行讨论:
(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根,即x=0或x=1 .
①将x=0代入方程(a+2)x=3,此时a无取值;
②将x=1代入程(a+2)x=3得,a=1.
(2)整式方程无解,即方程(a+2)x=3无解,则分式方程也无解.则有a+2=0,解得a=-2.
所以答案为1或-2.
点拨:分式方程无解问题有两种情况.(1)整式方程有解,但解为分式方程的增根.此时应先求出增根,然后把增根代入整式方程,求出相应的待定系数的值;(2)整式方程无解,则分式方程也无解.此时的整式方程应满足“0•x=b(b≠0)”的形式,从而求出待定系数的值.
例12 解方程-=2时,若设y=,则方程可化为_________.
解析:因为y=,所以=,则方程-=2可变形为2y-=2,即2y2-2y-3=0 .
点拨:解分式方程的基本方法是去分母,但对于特殊形式的分式方程可采用换元法求解.
考点八、分式方程的应用
例13 如图1,点A,B 在数轴上,它们所对应的数分别是-3和,且点A,B到原点的距离相等,求x的值.
图1
解析:因为点A,B到原点的距离相等,所以 -3和互为相反数.依题意可得,3=,解得x=.经检验,x=是原方程的解.
点拨:解决此类题时,要注意数形结合,根据数的概念建立方程,从而求解.
例14 某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1 800元.已知(2)班比(1)班人均捐款多4元, (2)班的人数比(1)班的人数少10%.请你根据上述信息,就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程.
解析:题目中的等量关系有两个,(1) 班的人数=(2)班的人数×90%,(2)班人均捐款数= (1)班人均捐款数+4元.其中一个等量关系可用来设未知数,另一个等量关系可用来列方程.
设(1)班人均捐款x元,则(2)班人均捐款为(x+4) 元,根据题意得×90%=,解得x=36.经检验,x=36是原方程的根.所以x+4=40.
答: (1)班人均捐款36元, (2)班人均捐款40元.
点拨:分式方程应用问题联系实际比较广泛,解题时要仔细分析题意、探究题中的等量关系.另外,解分式方程应用题的5个步骤,即“设未知数、列分式方程、解分式方程、检验、答”缺一不可.特别要注意,检验步骤包含了检验所得的解是否为所列分式方程的解以及是否符合实际题意两层含义.