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多项式各种运算的速算法和多项式方程
——同级项科学速算法之（三）
朱昌海
海南省琼海市华侨中学 海南 琼海 571437
【摘要】本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。多项式的各种算式及方程式是不定数的式子，而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式子。因而运算一一相关统一。如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。
【关键词】科学速算法 多项式各种运算 多项式方程 充实教科文 拓展完善
多项式的各种运算，教科书上只有加减法和乘除法，而乘方也按乘法一样计算，其速算法不像数的各种运算的速算法研究那么热，甚至几乎没有谈及。在乘法运算中，教科书上都是通过一一展开，然后合并同类项，算法相当繁琐，并且两个因式的项数多了，就很难计算。多项式的开方运算和多项式方程，教科书上一片空白。
中小学数学教材第八册《整式的运算》，这一章写整式的加减法、乘除法（及分解因式），没有写乘方开方，更没有写多项式方程。多项式的加减法和乘除法除了教科书上所写的方法之外，有没有更简捷的算法？多项式能不能开方？多项式方程能不能求解？这些都是本文要研究的问题。
(1)多项式加减法的快速运算；
(2)多项式乘除法的快速运算；
(3)多项式的乘方及开方的快速运算；
(4)多项式方程的求解方法。
多项式的速算法也像数的速算法一样，采取同级（类）项科学速算法；多项式方程也像数的方程解法一样求解。
1.多项式的加减速算法
例1:已知：f（x）＝－6x7＋5x6－11x4＋3x2－10x＋6
ɡ（x）＝－4x5－6x4＋ 7x3－ 9x＋5
H（x）＝－7x6－5x4＋ 2x3－ 6x2＋13x－9
求：f（x）－ɡ（x）＋H（x）
解：将次数最高的f（x）所缺的项0x5、0x3补上，并按升幂排列或降幂排列，然后将－ɡ（x）、H（x）和f（x）的同级（类）项对齐地写在一起，算式如下：
f（x）＝－6x7＋5x6＋0x5－11x4＋0x3＋3x2－10x＋6
－ɡ（x）＝－ －4x5＋ 6x4－7x3 ＋ 9x－5
H（x）＝ +7x6 － 5x4＋2x3－6x2＋13x－9
∴f(x)－ɡ(x)＋H(x) ＝－6x7＋12x6－4x5－10x4－5x3－3x2＋12x－8（左右相加）
把减法转化为加法运算就比较简捷。
练习1
(1)已知：f(x)=－9x8＋5x6－3x3＋2x2－4
g(x)=4x9－6x7＋4x6－3x5－2x2
H(x)=－15x7－7x6＋5x4－x＋6
I(x)=x8－x7＋3x5＋7x4－2x－5
求f(x) －g(x)－H(x)＋I(x)
例2:已知：f（x）＝－5x6＋11x5＋ 7x2－9
ɡ（x）＝－8x8＋ 4x7－10x5＋12x4＋ 2x3－6
H（x）＝－7x9＋ 6x7－13x6＋ 5x2－11x＋7
求：f（x）－ɡ（x）－H（x）
2.多项式乘除法的快速运算
多项式的乘法，教科书上一般是将一个因式的每一项去乘以另一个因式的各项，然后将所得的结果合并同类项，这样不仅算式太繁，而且寻找同类项要花费很多时间，运算速度太慢，又很容易出现差错。同类项其实就是同级项，懂得这一原理，就可应用同级项理论进行计算，这样不仅式子简单，而且速度很快，准确度也很高。
例2:计算：（－4x3＋2x2＋5x－6）（4x2－3x＋4）
解：算式如下
〖TP1.TIF;%40%40,BP〗〖KH-*1〗
∴(－4x3＋2x2＋5x－6)(4x2－3x＋4)＝－16x5＋20x4－2x3－31x2＋38x－24
以上计算就相当于将一个因式升幂排列而另一个因式降幂排列，然后通过移动对项积和差来求x的各次系数（例4）
例3:已知：f(x)=7x8+13x7－25x6+32x5－x4+21x3+57x2－96x+100
g(x)= 6x7－36x6+78x5－15x4－123x3－78x2+34x－39
求：f (x)•g(x)
解：f (x)和g(x)表成如下式
f (x)=（78 137 －256 325 －14 213 572 －961 100。）
g (x) =( 67 －366 785 －154 －1233 －782 341 －39。) ①
f (x)•g(x)的各同级项系数，像例2一样应用涨缩中心对称积和法则计算如下：
〖TP2.TIF;%60%60,BP〗〖LL〗
〖TP002.TIF;%60%60,BP〗〖KH-*1〗
∴f (x)•g(x) =42x15－174x14－72x13+2001x12－4164x11+888x10+1327x9
－2792x8+4457x7－12385x6－691x5+6615x4－3693x3－13287x2+7144x－3900
这一题如按传统的计算方法是先展开，然后合并同类项，则展开后总共就有72项，因而寻找同类项要花费很多时间，而且容易出错，其缺点是没有直接的把各同类项的系数罗列在一起，而造成的计算准度。现在采取同级项方法进行运算，速度大大提高了。
像两数相乘一样，两个多项式相乘，其系数也具有顺逆移动对项性。多项式相乘其系数具有这一特性，叫作升降幂排列移动对项积和差求系数法。
例4:已知：f (x) = 9x9 － 6x7 + 12x6－3x4 + 26x3－15
g(x) = 7x8 + 5x7 － 13x5－2x2 + 6x－8
这两个多项式都缺项，所缺的项系数都为零。
解：将f (x)和g(x)的系数表成如下升降幂排列的形式
〖TP3.TIF;%50%50,BP〗〖KH-*1〗
上面两式系数对项积和差就为x9的系数。因此，f (x)•g(x)的各同类项系数，应用升降幂排列移动对项积和差求法如下：
〖TP4.TIF;%60%60,BP〗〖KH-*1〗
∴f (x)•g(x) =63x17+45x16－42x15－63x14+60x13+57x12－7x11+184x10－21x9
－503x8+45x7－90x6+125x5+180x4－208x3+30x2－90x+120
例5: 计算：(3x2+2x－7)(2x3－5x2+3x+2)
解：〖XC5.TIF;%50%50〗
∴(3x2+2x－7)(2x3－5x2+3x+2)=6x5－11x4－15x3+47x2－17x－14
上面三种算法我们都可以直接的把各同类项系数之积有序地写在一起，运算起来非常方便。
例6:已知：f (x)=14x8+13x7－58x6+132x5－324x4+450x3－325x2+120x－100
g(x) =7x3－11x2+9x－8
求：f (x)÷g(x)的商式和余式
解：应用涨缩中心对称积和法则求，算式如下：
〖XC6.TIF;%50%50〗
即f(x)=(2x5+5x4－3x3+10x2－21x+15)•g(x)+(109x2－183x+20)
练习2
1、计算：①（x4－3x3＋5x2－x＋6）（7x5－2x4－x3＋6x2＋x－4）
②（5x4＋2x3－7x2－3x＋9）（－6x4＋7x3－3x2＋5x＋8）
2、①已知：f(x)＝ 5x10－7x9＋11x8＋5x7－4x6＋15x5－17x4＋5x3＋9x2＋7x－6
ɡ(x)＝-11x11＋8x10－9x9＋12x8－7x7＋6x6－4x5＋8x4－11x3－3x2－5x＋3
求：f(x)•ɡ(x)的十次项系数和十一次项系数，并写出对项积和差的运算的式子
②已知：f(x)＝7x12－13x10＋6x9＋8x8－7x7＋10x6－4x3＋5
ɡ(x)＝-9x11＋5x10－7x8＋9x7－6x5＋ 4x3－2x2＋x－6
求：f(x)•ɡ(x)的九次项系数和十三次项系列，并写出对项积和差的运算的式子
3、①已知：f(x)＝11x8＋7x7－9x6＋4x5－7x4－8x3＋2x2－x－1
ɡ(x)＝-4x6－5x5＋8x4＋10x3－x2＋3x－6
求：f(x)•ɡ(x)
②已知：f(x)＝-10x9＋8x7－5x6＋3x4－x3＋5x－4
ɡ(x)＝ -7x8－6x7＋4x4＋6x3＋2x－5
求：f(x)•ɡ(x)
4、①已知：f(x)＝3x12－11x11－70x10＋x9＋123x8－30x7＋32x6＋113x5－67x4＋41x3
＋10x2－46x－27
ɡ(x)＝-x6＋7x5－4x3－5x－4
求：f(x)÷ɡ(x)的商式和余式
②已知：f(x)＝-24x8＋58x7－34x6－39x5＋85x4－47x3－13x2＋36x－12
ɡ(x)＝4x5－7x4＋3x3＋x2－5x＋4
求：f(x)÷ɡ(x)的商式和余式
3.多项式的乘方及开方
3.1 多项式的乘方。
多项式的乘方是乘法的特殊情况，因而平方运算次数约减少一半，立方运算次数减少三分之二以上。
例1:已知：f(x)＝5x6－3x5＋10x4＋x2－7x＋3
求：f2(x)
解：像数的运算一样，可应用二项式方法计算如下
（5x6）2＝25x12
2×x5•5x6＋( x5)2＝-30x11＋9x10
2×10x4 (5x6－3x5)＋(10x4 )2＝100x10－60x9＋100x8
2×x2（5x6－3x5＋10x4）＋(x2 )2＝10x8－6x7＋20x6＋x4
2× x (5x6－3x5＋10x4＋x2) ＋( x)2＝-70x7＋42x6－140x5－14x3＋49x2
2×3(5x6－3x5＋10x4＋〖ZZ(Z〗x2－7〖TX-〗x) ＋32 ＝30x6－ 18x5＋60x4＋6x2－42x＋9〖ZZ)〗
∴f 2（x）＝25x12－30x11＋109x10－60x9＋110x8－76x7＋92x6－158x5＋61x4－14x3＋55x2－42x＋9
例2:已知：f(x)＝19x13＋5x12－11x11＋x10－2x7＋4x6－3x4＋15x3－6
求：f2(x)的14次项
解：将f(x)所缺的项0x9、0x8、0x5、0x2、0x补上，得
〖XC7.TIF;%40%40〗
例3:已知：f(x)＝－5x8+7x7－4x6+5x4－9x3－2x+10
求：f2(x)
解：将f(x)表成如下形式
f(x)=(5〖TX-〗8 77 4〖TX-〗6 05 54 9〖TX-〗3 02 2〖TX-〗1 10)
像数的平方运算一样，f2(x)的各同类项系数依次运算如下：
〖XC8.TIF;%60%60〗
∴f2(x)=25x16－70x15+89x14－56x13－34x12+160x11－166x10+92x9
－103x8+66x7+x6－20x5+136x4－180x3+4x2－40x+100
练习3
1、在例2中求f2(x)的13次项和15次项
2、已知f(x)＝-7x9＋6x8－15x7－9x6＋3x5－2x4＋11x3＋12x2－x＋13
求f2(x)
3、已知f(x)＝6x15－7x14＋5x13＋11x12－3x10＋12x8－3x5＋2x3－4x2＋5
求f2(x)
4、已知f(x)＝-4x7＋5x6－7x5＋x4－x3＋2x2－3x＋2
求f2(x)
例3：已知f(x)＝3x13＋7x12－12x10－21x9＋6x8－11x6＋17x5＋x4－13x3－5x2＋9x－14
求f3(x)的27次项和26次项
解：把f(x)所缺的项0x11和0x7补上，f3(x)的27次项算式如下
〖XC9.TIF;%40%40〗
（线的两端同在一项上的是立方项）
带点项的平方与连线项的乘积之和的3倍＋（-21x9）3
＝3［（3x13）2•9x＋（7x12）2• 13〖TX-〗x2＋（0x11）2•17x5＋（12〖TX-〗 x10）2•0x7＋（6x8）2•0x11＋（0x7）2•3x13］＋（ 21〖TX-〗x9）3＝-10929x27
〖XC10.TIF;%40%40〗
上连线项的乘积之和的6倍与3x13的乘积
＝3x13（7x12•5〖TX-〗 x2＋0x11•13〖TX-〗 x3＋12〖TX-〗 x10•x4＋21〖TX-〗 x9•17x5＋6x8•11〖TX-〗 x6）×6＝-8460x27
下连线项的乘积之和的6倍与7x12的乘积
＝7x12（0x11•x4＋12〖TX-〗 x10•17x5＋21〖TX-〗 x9• 11〖TX-〗x6＋6x8•0x7）×6＝1134x27
上连线项的乘积之和的6倍与0x11的乘积＋下连线项乘积的6倍与 x10的积
＝0x11（ 12〖TX-〗x10•11〖TX-〗x6＋21〖TX-〗x9•0x7）×6＋12〖TX-〗x10（ 21〖TX-〗x9•6x8）×6＝9072x27
∴f3(x)的27次项＝-10929x27－8460x27＋1134x27＋9072x27＝-9183x27
f3(x)的26次项算式如下
〖XC11.TIF;%35%40〗
带点项的平方和连线项的乘积之和的3倍
＝3［（3x13）2•14〖TX-〗 ＋（7x12）25〖TX-〗• x2＋（0x11）2•x4＋（12〖TX-〗 x10）2• x6＋（ x9）2•6x8＋（6x8）2•12〖TX-〗 x10＋（0x7）2•7x12］
＝3×259x26＝777x26
〖XC12.TIF;%35%40〗
上连线项的乘积之和的6倍与3x13的积
＝3x13（7x12•9x＋0x11•5〖TX-〗 x2＋12〖TX-〗 x10•13〖TX-〗 x3＋21〖TX-〗 x9•x4＋6x8•17x5＋0x7•11〖TX-〗 x6）×6
＝3x13•300x13×6＝5400x26
下连线项的乘积之和的6倍与7x12的积
＝7x12（0x11•13〖TX-〗 x3＋12〖TX-〗 x10•x4＋21〖TX-〗 x9•17x5＋6x8•11〖TX-〗 x6）×6
＝7x12•4〖TX-〗3〖TX-〗5〖TX-〗x14×6＝-18270x26
〖XC13.TIF;%32%40〗
上连线项的乘积之和的6倍与0x11的积＋下连线项的乘积之和的6倍与 x10的积
＝0x11（12〖TX-〗 x10•17x5＋ 21〖TX-〗x9•11x6＋6x8•0x7）×6＋12〖TX-〗 x10（ 21〖TX-〗x9•0x7）×6＝0
∴f3(x)的26次项＝777x26＋5400x26－18270x26＝-12093x26
立方同级项展开公式，就是由上面方法求得。
例4:已知：f (x) =－2x4+5x3+7x2－12x+3
求：f3(x)
解：五位数的立方共有［3(位数－1)+1］级，即共13级。同样道理四次多项式的立方项数共有（3×次数+1）项，即共13项。计算时只需应用立方同级项展开公式前七级就可以了，后六级和前六级是对称的。计算时（2〖TX-〗 、5、7、12〖TX-〗 、3）分别代表前六级（a b c d e ）和后六级（e d c b a ），由同级项展开公式，得（这时f = g = 0）
〖XC14.TIF;%40%40〗
〖XC15.TIF;%40%40〗
∴f3 (x) =－8x12+60x11－66x10－439x9+987x8+663x7－3068x6+1458x5+2331x4－3105x3+1485x2－324x+27
数的运算法则和公式都适用于多项式的运算，这是它们的共同点。其不同点是相邻的两个级数之间，数的运算存在进位，多项式的运算不存在进位。
练习4
1、在例3中求f3(x)的28次项和25次项
2、已知f(x)＝x8－3x7＋5x6－7x5－6x4＋8x3－3x2＋2x－5
求f3(x)
2、多项式的开方
①多项式的开平方
例1:已知：f (x)=169x10－546x9+2339x8－2832x7+4535x6+1084x5－1961x4－1310x3+130x2+224x+49
求：〖KF(〗f(x)〖KF)〗
解：和平方根的求法一样，算式如下
〖XC16.TIF;%35%35〗
∴〖KF(〗f (x)〖KF)〗 = 13x5 － 21x4 + 73x3 + 9x2 － 16x －7
f (x)无论指数多高，项数多大，只要它是一个多项式的完全平方，应用这种方法，就可以把f (x)的开平方式求出来。
②多项式的开立方
例 2:已知：f3(x)=343x15－1617x14+5922x13－22541x12+51399x11
－107223x10+ 212822x9－228510x8 + 247842x7－214965x6－243459x5
+ 149472x4 +55863x3－28188x2－3888x + 1728
求：f (x)
解：∵3×f (x)的次数+1= f3(x)的最高次数+1=16
∴f (x)的最高次数是5，即f (x)是五次六项式，故g=h=0
多项式的开立方和立方根的求法一样，算式如下
〖XC17.TIF;%40%40〗
上面八式中的7、11、23、72、9、12分别是公式中的a、b、c、d、e、f，下面八式分别是公式中的f、e、d、c、d、a。
〖XC18.TIF;%40%40〗
上面十式相减，若全部为零，说明尽开方；若致少有一项不为零，说明不能尽开方。但用这种方法判断是否尽开方，实在是太难了。我们求出f (x)后，可把x=1或x=-1代入原式，若等式成立，说明尽开方；若不成立，说明不能尽开方。
∴f (x)=7x5－11x4+23x3－72x2－9x+12
练习5
1、已知：f(x)＝4x14－4x13＋13x12＋22x11－41x10＋64x9－27x8－134x7＋77x6－124x5＋7x4＋98x3＋13x2＋60x＋36
求：〖KF(〗f(x)〖KF)〗
2、已知：f(x)＝343x12－588x11－399x10＋1070x9－933x8＋384x7＋1171x6－1122x5＋534x4－64x3
－612x2＋216x－216
求： 〖KF(S〗3〖〗f(x)〖KF)〗
4.多项式方程
设f(x)、ɡ（x）都为未知式，那么下面等式都是多项式方程：
①（x3－3x2＋5）f(x)＋（7x5－4x3＋5x2－2x＋10）＝0
②（4x2＋6x－7）f(x)＋（5x3－3）ɡ（x）＝4x3－x2＋5x＋1
③（6x3－3x＋5）f2(x)＋（4x4＋2x－5）f(x)＋（7x6－5x2－4）＝0
④f3(x)＋（x5－3x4＋12x3－30x2＋30x－26）f(x)－（2x7－x6＋2x5＋3x4＋3x3－7x2＋3x－5）＝0
①是一元一次多项式方程，②是二元一次多项式方程，③是一元二次多项式方程，④是一元三次多项式方程。③中（6x3－3x＋5）是未知式的二次项系式，（4x4＋2x－5）是未知式的一次项系式，（7x6－5x2－4）是常式项。任意给出一个多项式方程，很可能没有整式解，它们可能是分式解或无理式解。下面以存在整式解和分式解为例，研究多项式方程的解法。
例1：解方程：（x3－3x2－2x＋4）f(x)＝4x7－13x6－2x5＋7x4＋3x3－5x2－22x＋28
解：f(x)＝（4x7－13x6－2x5＋7x4＋3x3－5x2－22x＋28）÷（x3－3x2－2x＋4）
应用传统的方法求出商式，算式如下：
4x4－x3＋ 3x2－ 2x＋7
x3－ 3x2－ 2x＋4
〖KF(〗4x7－13x6－2x5＋ 7x4＋ 3x3－ 5x2－22x＋28〖KF)〗
4x3（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX（〗4x7－12x6－8x5＋16x4〖〗-x6＋6x5－ 9x4＋ 3x3〖SX）〗
-x3（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX（〗-x6＋3x5＋ 2x4－ 4x3〖〗3x5－11x4＋ 7x3－ 5x2〖SX)〗
3x2（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX(〗3x5－ 9x4－ 6x3＋12x2〖〗-2x4＋13x3－17x2－22x〖SX)〗
-2x（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX(〗-2x4＋ 6x3＋ 4x2－ 8x〖〗7x3－21x2－14x＋28〖SX)〗
7（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX(〗7x3－21x2－14x＋28〖〗0〖SX)〗
∴f(x) ＝4x4－x3＋3x2－2x＋7
当f(x)有整式解时，余式为零。多项式的除法，应用传统的算法比现在的同级项算法容易。
例2:解方程组：
〖JP4〗〖HT6SS〗〖JB（{〗（4x2＋6x－7）f(x)＋（5x3－3）ɡ(x)＝15x5－34x4＋34x3＋36x2－5x－26 ①
（5x2＋3）f(x)＋（-4x2＋5x＋1）ɡ(x)＝-17x4＋64x3－36x2＋29x＋10 ②〖JB）〗
解：①×（5x2＋3）,得（20x4＋30x3－23x2＋18x－21）f(x)＋（25x5＋15x3－15x2－9）ɡ(x)
＝（75x7－170x6＋215x5＋78x4＋77x3－22x2－15x－78） ③
②×（4x2＋6x－7）,得（20x4＋30x3－23x2＋18x－21）f(x)＋（-16x4－4x3＋62x2－29x－7）ɡ(x)
＝-68x6＋154x5＋359x4－548x3＋466x2－143x－70 ④
③－④，得（25x5＋16x4＋19x3－77x2＋29x－2）ɡ(x)
＝75x7－102x6＋61x5－281x4＋625x3－488x2＋128x－8
ɡ(x)＝（75x7－102x6＋61x5－281x4＋625x3－488x2＋128x－8）÷（25x5＋16x4＋19x3－77x2＋29x－2）
〖XC19.TIF;%35%35〗
∴ɡ(x)＝3x2－6x＋4
把ɡ(x)＝3x2－6x＋4代入①，得
（4x2＋6x－7）f(x)＋（5x3－3）（3x2－6x＋4）＝15x5－34x4＋34x3＋36x2－5x－26
（4x2＋6x－7）f(x)＝-4x4＋14x3＋45x2－23x－14
同理可求
f(x)＝-x2＋5x＋2
∴原方程组的解为
〖JB（{〗f(x)＝-x2＋5x＋2
ɡ(x)＝3x2－6x＋4〖JB）〗
此题的解f(x)、ɡ(x)都是整式，也可能一个是整式一个分式，也可能两个都是分式。一元一次多项式方程和两元一次多项式方程组，如果没有整式解，一定有分式解。
此题的解法是加减消元法，也可代入消元法。
例3：解方程：(9x2－5x－4)f2(x)＋(6x3＋7x2－2x＋3)f(x)－(9x8－59x7＋41x6＋350x5－475x4－503x3＋873x2－47x－175)=0
(9x2－5x－4≠0)
〖XC20.TIF;%40%40〗
〖XC21.TIF;%40%40〗
以上开方应用了两项式求法。
b2－4ac的最高项如果不是平方式，常数项如果不是平方数，两者缺一则此方程只有根式解。
例4:解方程
〖XC22.TIF;%40%40〗
由公式x2＋(〖SX（〗B〖〗A〖SX）〗＋x1)x－〖SX(〗D〖〗Ax1〖SX)〗=0 （此处A=1，B=0，－D= 2x7－x6＋2x5＋3x4＋3x3－7x2＋3x－5）
x1=f1(x))
得f2(x)＋(2x2－3x＋5)f(x)＋(x5＋x4－x2－1)=0
△=b2－4ac=(2x2－3x＋5)2－4×1×(x5＋x4－x2－1)= －4x5－12x3＋33x2－30x＋29
可见〖KF(〗△〖KF)〗 是一个无理式
因此一元二次方程f2(x)＋(2x2－3x＋5)f(x)＋(x5＋x4－x2－1)=0没有有理式解
∴原方程有唯一的有理式解
f(x)=2x2－3x＋5
例5：解方程：
(12x4－4x3＋x2＋3x－2)f3(x)＋(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)f2(x)＋(30x6－13x5－100x4＋137x3＋3x2－55x＋18)f(x)＋(60x5－41x4＋33x3－23x2－27x＋18)=0
(12x4－4x3＋x2＋3x－2≠0)
解：一元三次方程求根公式
x=（〖SX（〗9AC－3B2〖〗〖KF（〗9ABC－27A2D－2B3〖KF）〗-B）〖SX)〗÷3A中的
A=12x4－4x3＋x2＋3x－2 B=－66x5＋55x4－29x3＋7x－2
C=30x6－13x5－100x4＋137x3＋3x2－55x＋18
D=60x5－41x4＋33x3－23x2－27x＋18
应用升降幂排列移动对项积和差可简捷地求得
9AC=3240x10－2484x9－10062x8＋19089x7－6399x6－7281x5＋9450x4－3528x3－1377x2＋1476x－324
－3B2=－13068x10＋21780x9－ 9075x8－ 11484x7＋12342x6－3102x5－ 1863x4＋ 1218x3－ 495x2＋84x－12
∴9AC－3B2=－9828x10＋19296x9－19137x8＋ 7605x7＋ 5943x6－10383x5＋ 7587x4－2310x3－1872x2＋1560x－336
同理可求
9ABC=-213840x15＋342144x14＋527472x13－1907244x12＋1566945x11＋396531x10－1643202x9＋1091916x8＋25020x7
－485370x6＋285588x5－21483x4－45387x3＋22482x2－5220x＋648
－27A2D=－233280x13＋314928x12－299376x11＋115560x10＋195588x9－286389x8＋195075x7
－11502x6－93420x5＋68769x4－18063x3－8694x2＋8748x－1944
－2B2=574992x15－1437480x14＋1197900x13＋425194x12－1446192x11＋883542x10＋118866x9－402006x8＋199320x7
－16760x6－24498x5＋17298x4－5558x3＋1284x2－168x＋16
∴9ABC－27A2D－2B3
=361152x15－1095336x14＋1492092x13－1167122x12－178623x11＋1395633x10－1328748x9＋403521x8＋419415x7
－513632x6＋167670x5＋64584x4－69008x3＋15072x2＋3360x－1280
∴原方程变为
g3(x)＋(－9828x10＋19296x9－19137x8＋7605x7＋5943x6－10383x5＋7587x4－2310x3－1872x2
＋1560x－336)g(x)－(361152x15－1095336x14＋1492092x13－1167122x12－178623x11＋1395633x10
－1328748x9＋403521x8＋419415x7－513632x6＋167670x5＋64584x4－69008x3＋15072x2
＋3360x－1280)=0
从方程中可以看出未知式g(x)是一元五次多项式。于是方程可简写为（非粗体部分是多余计算，可以免去）g3(x)＋(－9828x10＋19296x9－19137x8＋7605x7＋5943x6－10383x5＋…)g(x)
－(361152x15－1095336x14＋1492092x13－1167122x12－178623x11＋1395633x10＋…)=0
应用同级项求根公式计算如下
〖XC23.TIF;%40%40〗
a3－9828a=361152
3a2b＋19296a－9828b=－2196b－926208= －1095336
3b2a＋3a2c－9828c＋19296b－19137a=－2196c＋1553328=1492092
b3＋6abc＋3a2d－9828d＋19296c－19137b＋7605a=－2916d－1225442=－1167122
3b2c＋3c2a＋6abd＋3a2e－9828e＋19296d－19137c＋7605b＋5943a=－2916e－149463=－178623
3b2d＋3c2b＋6acd＋6abe＋3a2f－9828f＋19296e－19137d＋7605c＋5943b－10383a=－2916f＋1407297=1395633
〖JB（{〗a1=－48 b1=58 c1=21 d1=－20 e1=10 f1=4
a2=－66 b2=55 c2=－72 d2=13 e2=40 f2=－20
a3=114 b3=－113 c3=51 d3=7 e3=－50 f3=16〖JB）〗
∴g1(x)=－48x5＋58x4＋21x3－20x2＋10x＋4
f1(x)=(g1(x)－B)÷3A
=〔(－48x5＋58x4＋21x3－20x2＋10x＋4)－(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)〕÷3(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=(6x5＋x4＋7x3＋3x2＋x＋2)÷(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=〖SX(〗6x5＋x4＋7x3＋3x2＋x＋2〖〗(2x2－x＋1)(2x－1)(3x＋2)〖SX)〗=〖SX(〗x2＋1〖〗2x－1〖SX)〗
又∵g2(x)=－66x5＋55x4－72x3＋13x2＋40x－20
∴f2(x)=(g2(x)－B)÷3A
=〔(－66x5＋55x4－72x3＋13x2＋40x－20)－(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)〕÷
3(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=(－24x3＋14x2＋11x－6)÷(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=〖SX（〗－24x3＋14x2＋11x－6〖〗(2x2－x＋1)(6x2＋x－2) 〖SX）〗=〖SX（〗-4x＋3〖〗2x2－x＋1〖SX）〗
又∵g3(x)=114x5－113x4＋51x3＋7x2－50x＋16
∴f3(x)=(g3(x)－B)÷3A
=〔(114x5－113x4＋51x3＋7x2－50x＋16)－(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)〕÷3(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=5x－3
∴原方程的解为〖JB({〗f1(x)= 〖SX(〗x2+1〖〗2x-1〖SX)〗
f2(x)=〖SX(〗-4x+3〖〗2x2-x+1〖SX)〗
f3(x)=5x－3〖JB)〗
我们求未知式g(x)时，如果应用同级项公式继续展开，与常式项后面每项（还有10项）相减的结果都为零，说明g(x)是尽根（有理根）；如果相减的结果至少有一项不为零，说明g(x)是余根（带有余式，即无理根）。但是用这种展开的方法来检验g(x)是尽根还是余根，实在是太麻烦了。我们有更简单的检验方法，也就是求出f1(x)后，可像多项式的开立方一样处理。即把f1(x)和x=1或x=-1（须保证三次项系式不为零）代入原方程，若方程等式成立，则g1（x）是尽根（即f1(x)是尽根），若方程等式不成立，则g1（x）是余根，也就是此方程没有有理解。
由此可见，应用同级项公式进行计算求根，不仅运算次数减少了三分之二，而且还有三分之二的尾巴免于计算，其速度快之又快。如果应用传统的方法计算，仅求(9AC－3B2)与(9ABC－27A2D－2B3)就够繁了。
练习6
1、解下列方程求未知式f(x):
①(5x4－5x3－x2＋7x＋6)f(x)=(55x7＋52x6－84x5－7x4＋33x3－86x2＋x＋45)－(6x4－15)f(x)
②(8x3－5)f(x)－(48x7＋90x4＋20)=(－70x6－29x5＋8x4＋24x3－57x3＋50x＋4)－(－5x2＋3x＋7)f(x)
2、解下列方程组求未知式f(x)和g(x):
(5x2－3x＋7)f(x)＋(7x3－3x2＋5x－1)g(x)=－53x4＋36x3－69x2＋27x－54
(－2x3＋7x2－5x－3)f(x)－(6x3＋5x2－7x－3)g(x)=－4x5＋76x4－9x3－123x2＋55x＋36
(7x3－3x＋4)f(x)＋(5x2－6x－11)g(x)=45x5＋15x4－85x3＋40x2－34x－129
(－9x2＋6x－8)f(x)＋(3x2＋x－1)g(x)=6x5－52x4－14x3＋142x2＋124x＋97
3、解下列一元二次方程求未知式f(x):
①f2(x)＋(－7x2＋18x－14)f(x)＋(－91x3＋107x2－134x＋48)=0
②(39x2＋64x－63)f2(x)＋(39x3＋376x2＋449x－504)f(x)＋(－234x4－423x3＋899x2＋1023x－945)=0
③(10x2＋29x－21)f2(x)＋(15x3＋126x2－36x－27)f(x)＋(－45x4＋27x3－55x2－17x＋30)=0
④f2(x)＋f(x)－(4x4－4x3＋15x2－7x＋12)=0
4、解下列一元三次方程求未知式f(x):
①f3(x)＋(－333x2＋333x－777)f(x)＋(2268x3－5877x2－9999x＋7904)=0
②f3(x)＋(11x＋5)f2(x)＋(3x2＋62x－22)f(x)－(135x3＋39x2－170x＋56)=0
③2f3(x)＋(37x2－106x＋76)f2(x)＋(－1764x6＋15036x5－53377x4＋101012x3
－107476x2＋60960x－14400)=0
④f3(x)＋f2(x)＋f(x)－(8x6－12x5＋46x4－41x3＋78x2－34x＋39)=0
⑤(63x2＋6x－24)f3(x)＋(－336x3＋409x2＋79x－116)f2(x)＋(336x4－1284x3＋
1128x2－267x－12)f(x)＋(224x4－1192x3＋2120x2－1494x＋360)=0
数的开方和多项式的开方，数的方程和多项式方程，其计算原理相同，但性质并不一样。也就是任意给定的数都可以开方，任意给出来的方程都可以求解，但任意给出的多项式就不一定能够开方，任意给出的多项式方程，就不一定能有有理解。造成这种情况的原因是数存在进位，而多项式没有进位，因而数每次运算都可以使余数降级，而多项式每次运算就不一定能够使余式降次。
多项式的乘法运算，如果按传统的方法运算，则展开后的项数很多，寻找同类项就要花费很多时间，因而运算速度非常慢，而且容易出错。本文的计算方法就避免了这些缺点，不是先展开后合并同类项，而是通过升降幂排列移动对项等方法，直接的把各同类项的系数乘积之和有序地写在一起，从而省去展开和寻找同类项所花费的时间，其效果能够达到快和准。这和传统的计算方法相比，显然本文的计算方法要优越得多，因此值得推广。
多项式的乘方，平方运算其次数约减少了一半，立方运算其次数减少了三分之二以上，仅这一点运算速度就大大提高了，此外还有省去了展开和寻找同类项所花费的时间，其运算速度可想而知。
多项式的开方，教科文上没有谈及，这是因为对于数的开平方，人们还没有一个正确的认识，谁都只懂得怎么去求，其中的计算原理还没有弄明白，因而开方运算无法发展，现在仍然停留在开平方这个现状。弄通了这一计算原理，不仅数可以开平方，还可以开立方，开四次方（直接开），开五次方等，而且给出的多项式只要存在方根式，应用同样的计算原理也可以通过开方求得。
多项式方程，教科文上也没有谈及，本文对各类方程已经作出了一一求解，但是这并不是什么突破，这是数方程求解的拓展。
数和数方程的所有运算法则和公式，都适用于多项式和多项式方程。因而多项式的各种运算都可以像数一样速算，多项式的各种方程也都可以像数的方程一样求解。
本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。多项式的各种算式及方程式是不定数的式子，而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式子。因而运算一一相关统一。如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。
书写至此，现在可以作出下面结论：
《乘除及开平方的简捷算法——同级项科学速算法之一》《开方及一元三次方程的一般性解法——同级项科学速算法之二》和《多项式各种运算的速算法及多项式方程——同级项科学速算法之三》，这三部分的内容将对世界初算数学起着极其深远的影响，她改变了落后的计算局面，拓展了计算领域，并且将刷新联合国初等数学教科文。这是中华民族的荣誉，这是中国人民的智慧财富，这是基础教育工程的重要课题，这是一套完整而系统的速算理论。因此，希望国家有关部门引起重视，尽快投入运营和操作！
——同级项科学速算法之（三）
朱昌海
海南省琼海市华侨中学 海南 琼海 571437
【摘要】本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。多项式的各种算式及方程式是不定数的式子，而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式子。因而运算一一相关统一。如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。
【关键词】科学速算法 多项式各种运算 多项式方程 充实教科文 拓展完善
多项式的各种运算，教科书上只有加减法和乘除法，而乘方也按乘法一样计算，其速算法不像数的各种运算的速算法研究那么热，甚至几乎没有谈及。在乘法运算中，教科书上都是通过一一展开，然后合并同类项，算法相当繁琐，并且两个因式的项数多了，就很难计算。多项式的开方运算和多项式方程，教科书上一片空白。
中小学数学教材第八册《整式的运算》，这一章写整式的加减法、乘除法（及分解因式），没有写乘方开方，更没有写多项式方程。多项式的加减法和乘除法除了教科书上所写的方法之外，有没有更简捷的算法？多项式能不能开方？多项式方程能不能求解？这些都是本文要研究的问题。
(1)多项式加减法的快速运算；
(2)多项式乘除法的快速运算；
(3)多项式的乘方及开方的快速运算；
(4)多项式方程的求解方法。
多项式的速算法也像数的速算法一样，采取同级（类）项科学速算法；多项式方程也像数的方程解法一样求解。
1.多项式的加减速算法
例1:已知：f（x）＝－6x7＋5x6－11x4＋3x2－10x＋6
ɡ（x）＝－4x5－6x4＋ 7x3－ 9x＋5
H（x）＝－7x6－5x4＋ 2x3－ 6x2＋13x－9
求：f（x）－ɡ（x）＋H（x）
解：将次数最高的f（x）所缺的项0x5、0x3补上，并按升幂排列或降幂排列，然后将－ɡ（x）、H（x）和f（x）的同级（类）项对齐地写在一起，算式如下：
f（x）＝－6x7＋5x6＋0x5－11x4＋0x3＋3x2－10x＋6
－ɡ（x）＝－ －4x5＋ 6x4－7x3 ＋ 9x－5
H（x）＝ +7x6 － 5x4＋2x3－6x2＋13x－9
∴f(x)－ɡ(x)＋H(x) ＝－6x7＋12x6－4x5－10x4－5x3－3x2＋12x－8（左右相加）
把减法转化为加法运算就比较简捷。
练习1
(1)已知：f(x)=－9x8＋5x6－3x3＋2x2－4
g(x)=4x9－6x7＋4x6－3x5－2x2
H(x)=－15x7－7x6＋5x4－x＋6
I(x)=x8－x7＋3x5＋7x4－2x－5
求f(x) －g(x)－H(x)＋I(x)
例2:已知：f（x）＝－5x6＋11x5＋ 7x2－9
ɡ（x）＝－8x8＋ 4x7－10x5＋12x4＋ 2x3－6
H（x）＝－7x9＋ 6x7－13x6＋ 5x2－11x＋7
求：f（x）－ɡ（x）－H（x）
2.多项式乘除法的快速运算
多项式的乘法，教科书上一般是将一个因式的每一项去乘以另一个因式的各项，然后将所得的结果合并同类项，这样不仅算式太繁，而且寻找同类项要花费很多时间，运算速度太慢，又很容易出现差错。同类项其实就是同级项，懂得这一原理，就可应用同级项理论进行计算，这样不仅式子简单，而且速度很快，准确度也很高。
例2:计算：（－4x3＋2x2＋5x－6）（4x2－3x＋4）
解：算式如下
〖TP1.TIF;%40%40,BP〗〖KH-*1〗
∴(－4x3＋2x2＋5x－6)(4x2－3x＋4)＝－16x5＋20x4－2x3－31x2＋38x－24
以上计算就相当于将一个因式升幂排列而另一个因式降幂排列，然后通过移动对项积和差来求x的各次系数（例4）
例3:已知：f(x)=7x8+13x7－25x6+32x5－x4+21x3+57x2－96x+100
g(x)= 6x7－36x6+78x5－15x4－123x3－78x2+34x－39
求：f (x)•g(x)
解：f (x)和g(x)表成如下式
f (x)=（78 137 －256 325 －14 213 572 －961 100。）
g (x) =( 67 －366 785 －154 －1233 －782 341 －39。) ①
f (x)•g(x)的各同级项系数，像例2一样应用涨缩中心对称积和法则计算如下：
〖TP2.TIF;%60%60,BP〗〖LL〗
〖TP002.TIF;%60%60,BP〗〖KH-*1〗
∴f (x)•g(x) =42x15－174x14－72x13+2001x12－4164x11+888x10+1327x9
－2792x8+4457x7－12385x6－691x5+6615x4－3693x3－13287x2+7144x－3900
这一题如按传统的计算方法是先展开，然后合并同类项，则展开后总共就有72项，因而寻找同类项要花费很多时间，而且容易出错，其缺点是没有直接的把各同类项的系数罗列在一起，而造成的计算准度。现在采取同级项方法进行运算，速度大大提高了。
像两数相乘一样，两个多项式相乘，其系数也具有顺逆移动对项性。多项式相乘其系数具有这一特性，叫作升降幂排列移动对项积和差求系数法。
例4:已知：f (x) = 9x9 － 6x7 + 12x6－3x4 + 26x3－15
g(x) = 7x8 + 5x7 － 13x5－2x2 + 6x－8
这两个多项式都缺项，所缺的项系数都为零。
解：将f (x)和g(x)的系数表成如下升降幂排列的形式
〖TP3.TIF;%50%50,BP〗〖KH-*1〗
上面两式系数对项积和差就为x9的系数。因此，f (x)•g(x)的各同类项系数，应用升降幂排列移动对项积和差求法如下：
〖TP4.TIF;%60%60,BP〗〖KH-*1〗
∴f (x)•g(x) =63x17+45x16－42x15－63x14+60x13+57x12－7x11+184x10－21x9
－503x8+45x7－90x6+125x5+180x4－208x3+30x2－90x+120
例5: 计算：(3x2+2x－7)(2x3－5x2+3x+2)
解：〖XC5.TIF;%50%50〗
∴(3x2+2x－7)(2x3－5x2+3x+2)=6x5－11x4－15x3+47x2－17x－14
上面三种算法我们都可以直接的把各同类项系数之积有序地写在一起，运算起来非常方便。
例6:已知：f (x)=14x8+13x7－58x6+132x5－324x4+450x3－325x2+120x－100
g(x) =7x3－11x2+9x－8
求：f (x)÷g(x)的商式和余式
解：应用涨缩中心对称积和法则求，算式如下：
〖XC6.TIF;%50%50〗
即f(x)=(2x5+5x4－3x3+10x2－21x+15)•g(x)+(109x2－183x+20)
练习2
1、计算：①（x4－3x3＋5x2－x＋6）（7x5－2x4－x3＋6x2＋x－4）
②（5x4＋2x3－7x2－3x＋9）（－6x4＋7x3－3x2＋5x＋8）
2、①已知：f(x)＝ 5x10－7x9＋11x8＋5x7－4x6＋15x5－17x4＋5x3＋9x2＋7x－6
ɡ(x)＝-11x11＋8x10－9x9＋12x8－7x7＋6x6－4x5＋8x4－11x3－3x2－5x＋3
求：f(x)•ɡ(x)的十次项系数和十一次项系数，并写出对项积和差的运算的式子
②已知：f(x)＝7x12－13x10＋6x9＋8x8－7x7＋10x6－4x3＋5
ɡ(x)＝-9x11＋5x10－7x8＋9x7－6x5＋ 4x3－2x2＋x－6
求：f(x)•ɡ(x)的九次项系数和十三次项系列，并写出对项积和差的运算的式子
3、①已知：f(x)＝11x8＋7x7－9x6＋4x5－7x4－8x3＋2x2－x－1
ɡ(x)＝-4x6－5x5＋8x4＋10x3－x2＋3x－6
求：f(x)•ɡ(x)
②已知：f(x)＝-10x9＋8x7－5x6＋3x4－x3＋5x－4
ɡ(x)＝ -7x8－6x7＋4x4＋6x3＋2x－5
求：f(x)•ɡ(x)
4、①已知：f(x)＝3x12－11x11－70x10＋x9＋123x8－30x7＋32x6＋113x5－67x4＋41x3
＋10x2－46x－27
ɡ(x)＝-x6＋7x5－4x3－5x－4
求：f(x)÷ɡ(x)的商式和余式
②已知：f(x)＝-24x8＋58x7－34x6－39x5＋85x4－47x3－13x2＋36x－12
ɡ(x)＝4x5－7x4＋3x3＋x2－5x＋4
求：f(x)÷ɡ(x)的商式和余式
3.多项式的乘方及开方
3.1 多项式的乘方。
多项式的乘方是乘法的特殊情况，因而平方运算次数约减少一半，立方运算次数减少三分之二以上。
例1:已知：f(x)＝5x6－3x5＋10x4＋x2－7x＋3
求：f2(x)
解：像数的运算一样，可应用二项式方法计算如下
（5x6）2＝25x12
2×x5•5x6＋( x5)2＝-30x11＋9x10
2×10x4 (5x6－3x5)＋(10x4 )2＝100x10－60x9＋100x8
2×x2（5x6－3x5＋10x4）＋(x2 )2＝10x8－6x7＋20x6＋x4
2× x (5x6－3x5＋10x4＋x2) ＋( x)2＝-70x7＋42x6－140x5－14x3＋49x2
2×3(5x6－3x5＋10x4＋〖ZZ(Z〗x2－7〖TX-〗x) ＋32 ＝30x6－ 18x5＋60x4＋6x2－42x＋9〖ZZ)〗
∴f 2（x）＝25x12－30x11＋109x10－60x9＋110x8－76x7＋92x6－158x5＋61x4－14x3＋55x2－42x＋9
例2:已知：f(x)＝19x13＋5x12－11x11＋x10－2x7＋4x6－3x4＋15x3－6
求：f2(x)的14次项
解：将f(x)所缺的项0x9、0x8、0x5、0x2、0x补上，得
〖XC7.TIF;%40%40〗
例3:已知：f(x)＝－5x8+7x7－4x6+5x4－9x3－2x+10
求：f2(x)
解：将f(x)表成如下形式
f(x)=(5〖TX-〗8 77 4〖TX-〗6 05 54 9〖TX-〗3 02 2〖TX-〗1 10)
像数的平方运算一样，f2(x)的各同类项系数依次运算如下：
〖XC8.TIF;%60%60〗
∴f2(x)=25x16－70x15+89x14－56x13－34x12+160x11－166x10+92x9
－103x8+66x7+x6－20x5+136x4－180x3+4x2－40x+100
练习3
1、在例2中求f2(x)的13次项和15次项
2、已知f(x)＝-7x9＋6x8－15x7－9x6＋3x5－2x4＋11x3＋12x2－x＋13
求f2(x)
3、已知f(x)＝6x15－7x14＋5x13＋11x12－3x10＋12x8－3x5＋2x3－4x2＋5
求f2(x)
4、已知f(x)＝-4x7＋5x6－7x5＋x4－x3＋2x2－3x＋2
求f2(x)
例3：已知f(x)＝3x13＋7x12－12x10－21x9＋6x8－11x6＋17x5＋x4－13x3－5x2＋9x－14
求f3(x)的27次项和26次项
解：把f(x)所缺的项0x11和0x7补上，f3(x)的27次项算式如下
〖XC9.TIF;%40%40〗
（线的两端同在一项上的是立方项）
带点项的平方与连线项的乘积之和的3倍＋（-21x9）3
＝3［（3x13）2•9x＋（7x12）2• 13〖TX-〗x2＋（0x11）2•17x5＋（12〖TX-〗 x10）2•0x7＋（6x8）2•0x11＋（0x7）2•3x13］＋（ 21〖TX-〗x9）3＝-10929x27
〖XC10.TIF;%40%40〗
上连线项的乘积之和的6倍与3x13的乘积
＝3x13（7x12•5〖TX-〗 x2＋0x11•13〖TX-〗 x3＋12〖TX-〗 x10•x4＋21〖TX-〗 x9•17x5＋6x8•11〖TX-〗 x6）×6＝-8460x27
下连线项的乘积之和的6倍与7x12的乘积
＝7x12（0x11•x4＋12〖TX-〗 x10•17x5＋21〖TX-〗 x9• 11〖TX-〗x6＋6x8•0x7）×6＝1134x27
上连线项的乘积之和的6倍与0x11的乘积＋下连线项乘积的6倍与 x10的积
＝0x11（ 12〖TX-〗x10•11〖TX-〗x6＋21〖TX-〗x9•0x7）×6＋12〖TX-〗x10（ 21〖TX-〗x9•6x8）×6＝9072x27
∴f3(x)的27次项＝-10929x27－8460x27＋1134x27＋9072x27＝-9183x27
f3(x)的26次项算式如下
〖XC11.TIF;%35%40〗
带点项的平方和连线项的乘积之和的3倍
＝3［（3x13）2•14〖TX-〗 ＋（7x12）25〖TX-〗• x2＋（0x11）2•x4＋（12〖TX-〗 x10）2• x6＋（ x9）2•6x8＋（6x8）2•12〖TX-〗 x10＋（0x7）2•7x12］
＝3×259x26＝777x26
〖XC12.TIF;%35%40〗
上连线项的乘积之和的6倍与3x13的积
＝3x13（7x12•9x＋0x11•5〖TX-〗 x2＋12〖TX-〗 x10•13〖TX-〗 x3＋21〖TX-〗 x9•x4＋6x8•17x5＋0x7•11〖TX-〗 x6）×6
＝3x13•300x13×6＝5400x26
下连线项的乘积之和的6倍与7x12的积
＝7x12（0x11•13〖TX-〗 x3＋12〖TX-〗 x10•x4＋21〖TX-〗 x9•17x5＋6x8•11〖TX-〗 x6）×6
＝7x12•4〖TX-〗3〖TX-〗5〖TX-〗x14×6＝-18270x26
〖XC13.TIF;%32%40〗
上连线项的乘积之和的6倍与0x11的积＋下连线项的乘积之和的6倍与 x10的积
＝0x11（12〖TX-〗 x10•17x5＋ 21〖TX-〗x9•11x6＋6x8•0x7）×6＋12〖TX-〗 x10（ 21〖TX-〗x9•0x7）×6＝0
∴f3(x)的26次项＝777x26＋5400x26－18270x26＝-12093x26
立方同级项展开公式，就是由上面方法求得。
例4:已知：f (x) =－2x4+5x3+7x2－12x+3
求：f3(x)
解：五位数的立方共有［3(位数－1)+1］级，即共13级。同样道理四次多项式的立方项数共有（3×次数+1）项，即共13项。计算时只需应用立方同级项展开公式前七级就可以了，后六级和前六级是对称的。计算时（2〖TX-〗 、5、7、12〖TX-〗 、3）分别代表前六级（a b c d e ）和后六级（e d c b a ），由同级项展开公式，得（这时f = g = 0）
〖XC14.TIF;%40%40〗
〖XC15.TIF;%40%40〗
∴f3 (x) =－8x12+60x11－66x10－439x9+987x8+663x7－3068x6+1458x5+2331x4－3105x3+1485x2－324x+27
数的运算法则和公式都适用于多项式的运算，这是它们的共同点。其不同点是相邻的两个级数之间，数的运算存在进位，多项式的运算不存在进位。
练习4
1、在例3中求f3(x)的28次项和25次项
2、已知f(x)＝x8－3x7＋5x6－7x5－6x4＋8x3－3x2＋2x－5
求f3(x)
2、多项式的开方
①多项式的开平方
例1:已知：f (x)=169x10－546x9+2339x8－2832x7+4535x6+1084x5－1961x4－1310x3+130x2+224x+49
求：〖KF(〗f(x)〖KF)〗
解：和平方根的求法一样，算式如下
〖XC16.TIF;%35%35〗
∴〖KF(〗f (x)〖KF)〗 = 13x5 － 21x4 + 73x3 + 9x2 － 16x －7
f (x)无论指数多高，项数多大，只要它是一个多项式的完全平方，应用这种方法，就可以把f (x)的开平方式求出来。
②多项式的开立方
例 2:已知：f3(x)=343x15－1617x14+5922x13－22541x12+51399x11
－107223x10+ 212822x9－228510x8 + 247842x7－214965x6－243459x5
+ 149472x4 +55863x3－28188x2－3888x + 1728
求：f (x)
解：∵3×f (x)的次数+1= f3(x)的最高次数+1=16
∴f (x)的最高次数是5，即f (x)是五次六项式，故g=h=0
多项式的开立方和立方根的求法一样，算式如下
〖XC17.TIF;%40%40〗
上面八式中的7、11、23、72、9、12分别是公式中的a、b、c、d、e、f，下面八式分别是公式中的f、e、d、c、d、a。
〖XC18.TIF;%40%40〗
上面十式相减，若全部为零，说明尽开方；若致少有一项不为零，说明不能尽开方。但用这种方法判断是否尽开方，实在是太难了。我们求出f (x)后，可把x=1或x=-1代入原式，若等式成立，说明尽开方；若不成立，说明不能尽开方。
∴f (x)=7x5－11x4+23x3－72x2－9x+12
练习5
1、已知：f(x)＝4x14－4x13＋13x12＋22x11－41x10＋64x9－27x8－134x7＋77x6－124x5＋7x4＋98x3＋13x2＋60x＋36
求：〖KF(〗f(x)〖KF)〗
2、已知：f(x)＝343x12－588x11－399x10＋1070x9－933x8＋384x7＋1171x6－1122x5＋534x4－64x3
－612x2＋216x－216
求： 〖KF(S〗3〖〗f(x)〖KF)〗
4.多项式方程
设f(x)、ɡ（x）都为未知式，那么下面等式都是多项式方程：
①（x3－3x2＋5）f(x)＋（7x5－4x3＋5x2－2x＋10）＝0
②（4x2＋6x－7）f(x)＋（5x3－3）ɡ（x）＝4x3－x2＋5x＋1
③（6x3－3x＋5）f2(x)＋（4x4＋2x－5）f(x)＋（7x6－5x2－4）＝0
④f3(x)＋（x5－3x4＋12x3－30x2＋30x－26）f(x)－（2x7－x6＋2x5＋3x4＋3x3－7x2＋3x－5）＝0
①是一元一次多项式方程，②是二元一次多项式方程，③是一元二次多项式方程，④是一元三次多项式方程。③中（6x3－3x＋5）是未知式的二次项系式，（4x4＋2x－5）是未知式的一次项系式，（7x6－5x2－4）是常式项。任意给出一个多项式方程，很可能没有整式解，它们可能是分式解或无理式解。下面以存在整式解和分式解为例，研究多项式方程的解法。
例1：解方程：（x3－3x2－2x＋4）f(x)＝4x7－13x6－2x5＋7x4＋3x3－5x2－22x＋28
解：f(x)＝（4x7－13x6－2x5＋7x4＋3x3－5x2－22x＋28）÷（x3－3x2－2x＋4）
应用传统的方法求出商式，算式如下：
4x4－x3＋ 3x2－ 2x＋7
x3－ 3x2－ 2x＋4
〖KF(〗4x7－13x6－2x5＋ 7x4＋ 3x3－ 5x2－22x＋28〖KF)〗
4x3（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX（〗4x7－12x6－8x5＋16x4〖〗-x6＋6x5－ 9x4＋ 3x3〖SX）〗
-x3（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX（〗-x6＋3x5＋ 2x4－ 4x3〖〗3x5－11x4＋ 7x3－ 5x2〖SX)〗
3x2（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX(〗3x5－ 9x4－ 6x3＋12x2〖〗-2x4＋13x3－17x2－22x〖SX)〗
-2x（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX(〗-2x4＋ 6x3＋ 4x2－ 8x〖〗7x3－21x2－14x＋28〖SX)〗
7（x3－3x2－2x＋4）＝〖SX(〗7x3－21x2－14x＋28〖〗0〖SX)〗
∴f(x) ＝4x4－x3＋3x2－2x＋7
当f(x)有整式解时，余式为零。多项式的除法，应用传统的算法比现在的同级项算法容易。
例2:解方程组：
〖JP4〗〖HT6SS〗〖JB（{〗（4x2＋6x－7）f(x)＋（5x3－3）ɡ(x)＝15x5－34x4＋34x3＋36x2－5x－26 ①
（5x2＋3）f(x)＋（-4x2＋5x＋1）ɡ(x)＝-17x4＋64x3－36x2＋29x＋10 ②〖JB）〗
解：①×（5x2＋3）,得（20x4＋30x3－23x2＋18x－21）f(x)＋（25x5＋15x3－15x2－9）ɡ(x)
＝（75x7－170x6＋215x5＋78x4＋77x3－22x2－15x－78） ③
②×（4x2＋6x－7）,得（20x4＋30x3－23x2＋18x－21）f(x)＋（-16x4－4x3＋62x2－29x－7）ɡ(x)
＝-68x6＋154x5＋359x4－548x3＋466x2－143x－70 ④
③－④，得（25x5＋16x4＋19x3－77x2＋29x－2）ɡ(x)
＝75x7－102x6＋61x5－281x4＋625x3－488x2＋128x－8
ɡ(x)＝（75x7－102x6＋61x5－281x4＋625x3－488x2＋128x－8）÷（25x5＋16x4＋19x3－77x2＋29x－2）
〖XC19.TIF;%35%35〗
∴ɡ(x)＝3x2－6x＋4
把ɡ(x)＝3x2－6x＋4代入①，得
（4x2＋6x－7）f(x)＋（5x3－3）（3x2－6x＋4）＝15x5－34x4＋34x3＋36x2－5x－26
（4x2＋6x－7）f(x)＝-4x4＋14x3＋45x2－23x－14
同理可求
f(x)＝-x2＋5x＋2
∴原方程组的解为
〖JB（{〗f(x)＝-x2＋5x＋2
ɡ(x)＝3x2－6x＋4〖JB）〗
此题的解f(x)、ɡ(x)都是整式，也可能一个是整式一个分式，也可能两个都是分式。一元一次多项式方程和两元一次多项式方程组，如果没有整式解，一定有分式解。
此题的解法是加减消元法，也可代入消元法。
例3：解方程：(9x2－5x－4)f2(x)＋(6x3＋7x2－2x＋3)f(x)－(9x8－59x7＋41x6＋350x5－475x4－503x3＋873x2－47x－175)=0
(9x2－5x－4≠0)
〖XC20.TIF;%40%40〗
〖XC21.TIF;%40%40〗
以上开方应用了两项式求法。
b2－4ac的最高项如果不是平方式，常数项如果不是平方数，两者缺一则此方程只有根式解。
例4:解方程
〖XC22.TIF;%40%40〗
由公式x2＋(〖SX（〗B〖〗A〖SX）〗＋x1)x－〖SX(〗D〖〗Ax1〖SX)〗=0 （此处A=1，B=0，－D= 2x7－x6＋2x5＋3x4＋3x3－7x2＋3x－5）
x1=f1(x))
得f2(x)＋(2x2－3x＋5)f(x)＋(x5＋x4－x2－1)=0
△=b2－4ac=(2x2－3x＋5)2－4×1×(x5＋x4－x2－1)= －4x5－12x3＋33x2－30x＋29
可见〖KF(〗△〖KF)〗 是一个无理式
因此一元二次方程f2(x)＋(2x2－3x＋5)f(x)＋(x5＋x4－x2－1)=0没有有理式解
∴原方程有唯一的有理式解
f(x)=2x2－3x＋5
例5：解方程：
(12x4－4x3＋x2＋3x－2)f3(x)＋(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)f2(x)＋(30x6－13x5－100x4＋137x3＋3x2－55x＋18)f(x)＋(60x5－41x4＋33x3－23x2－27x＋18)=0
(12x4－4x3＋x2＋3x－2≠0)
解：一元三次方程求根公式
x=（〖SX（〗9AC－3B2〖〗〖KF（〗9ABC－27A2D－2B3〖KF）〗-B）〖SX)〗÷3A中的
A=12x4－4x3＋x2＋3x－2 B=－66x5＋55x4－29x3＋7x－2
C=30x6－13x5－100x4＋137x3＋3x2－55x＋18
D=60x5－41x4＋33x3－23x2－27x＋18
应用升降幂排列移动对项积和差可简捷地求得
9AC=3240x10－2484x9－10062x8＋19089x7－6399x6－7281x5＋9450x4－3528x3－1377x2＋1476x－324
－3B2=－13068x10＋21780x9－ 9075x8－ 11484x7＋12342x6－3102x5－ 1863x4＋ 1218x3－ 495x2＋84x－12
∴9AC－3B2=－9828x10＋19296x9－19137x8＋ 7605x7＋ 5943x6－10383x5＋ 7587x4－2310x3－1872x2＋1560x－336
同理可求
9ABC=-213840x15＋342144x14＋527472x13－1907244x12＋1566945x11＋396531x10－1643202x9＋1091916x8＋25020x7
－485370x6＋285588x5－21483x4－45387x3＋22482x2－5220x＋648
－27A2D=－233280x13＋314928x12－299376x11＋115560x10＋195588x9－286389x8＋195075x7
－11502x6－93420x5＋68769x4－18063x3－8694x2＋8748x－1944
－2B2=574992x15－1437480x14＋1197900x13＋425194x12－1446192x11＋883542x10＋118866x9－402006x8＋199320x7
－16760x6－24498x5＋17298x4－5558x3＋1284x2－168x＋16
∴9ABC－27A2D－2B3
=361152x15－1095336x14＋1492092x13－1167122x12－178623x11＋1395633x10－1328748x9＋403521x8＋419415x7
－513632x6＋167670x5＋64584x4－69008x3＋15072x2＋3360x－1280
∴原方程变为
g3(x)＋(－9828x10＋19296x9－19137x8＋7605x7＋5943x6－10383x5＋7587x4－2310x3－1872x2
＋1560x－336)g(x)－(361152x15－1095336x14＋1492092x13－1167122x12－178623x11＋1395633x10
－1328748x9＋403521x8＋419415x7－513632x6＋167670x5＋64584x4－69008x3＋15072x2
＋3360x－1280)=0
从方程中可以看出未知式g(x)是一元五次多项式。于是方程可简写为（非粗体部分是多余计算，可以免去）g3(x)＋(－9828x10＋19296x9－19137x8＋7605x7＋5943x6－10383x5＋…)g(x)
－(361152x15－1095336x14＋1492092x13－1167122x12－178623x11＋1395633x10＋…)=0
应用同级项求根公式计算如下
〖XC23.TIF;%40%40〗
a3－9828a=361152
3a2b＋19296a－9828b=－2196b－926208= －1095336
3b2a＋3a2c－9828c＋19296b－19137a=－2196c＋1553328=1492092
b3＋6abc＋3a2d－9828d＋19296c－19137b＋7605a=－2916d－1225442=－1167122
3b2c＋3c2a＋6abd＋3a2e－9828e＋19296d－19137c＋7605b＋5943a=－2916e－149463=－178623
3b2d＋3c2b＋6acd＋6abe＋3a2f－9828f＋19296e－19137d＋7605c＋5943b－10383a=－2916f＋1407297=1395633
〖JB（{〗a1=－48 b1=58 c1=21 d1=－20 e1=10 f1=4
a2=－66 b2=55 c2=－72 d2=13 e2=40 f2=－20
a3=114 b3=－113 c3=51 d3=7 e3=－50 f3=16〖JB）〗
∴g1(x)=－48x5＋58x4＋21x3－20x2＋10x＋4
f1(x)=(g1(x)－B)÷3A
=〔(－48x5＋58x4＋21x3－20x2＋10x＋4)－(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)〕÷3(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=(6x5＋x4＋7x3＋3x2＋x＋2)÷(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=〖SX(〗6x5＋x4＋7x3＋3x2＋x＋2〖〗(2x2－x＋1)(2x－1)(3x＋2)〖SX)〗=〖SX(〗x2＋1〖〗2x－1〖SX)〗
又∵g2(x)=－66x5＋55x4－72x3＋13x2＋40x－20
∴f2(x)=(g2(x)－B)÷3A
=〔(－66x5＋55x4－72x3＋13x2＋40x－20)－(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)〕÷
3(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=(－24x3＋14x2＋11x－6)÷(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=〖SX（〗－24x3＋14x2＋11x－6〖〗(2x2－x＋1)(6x2＋x－2) 〖SX）〗=〖SX（〗-4x＋3〖〗2x2－x＋1〖SX）〗
又∵g3(x)=114x5－113x4＋51x3＋7x2－50x＋16
∴f3(x)=(g3(x)－B)÷3A
=〔(114x5－113x4＋51x3＋7x2－50x＋16)－(－66x5＋55x4－29x2＋7x－2)〕÷3(12x4－4x3＋x2＋3x－2)
=5x－3
∴原方程的解为〖JB({〗f1(x)= 〖SX(〗x2+1〖〗2x-1〖SX)〗
f2(x)=〖SX(〗-4x+3〖〗2x2-x+1〖SX)〗
f3(x)=5x－3〖JB)〗
我们求未知式g(x)时，如果应用同级项公式继续展开，与常式项后面每项（还有10项）相减的结果都为零，说明g(x)是尽根（有理根）；如果相减的结果至少有一项不为零，说明g(x)是余根（带有余式，即无理根）。但是用这种展开的方法来检验g(x)是尽根还是余根，实在是太麻烦了。我们有更简单的检验方法，也就是求出f1(x)后，可像多项式的开立方一样处理。即把f1(x)和x=1或x=-1（须保证三次项系式不为零）代入原方程，若方程等式成立，则g1（x）是尽根（即f1(x)是尽根），若方程等式不成立，则g1（x）是余根，也就是此方程没有有理解。
由此可见，应用同级项公式进行计算求根，不仅运算次数减少了三分之二，而且还有三分之二的尾巴免于计算，其速度快之又快。如果应用传统的方法计算，仅求(9AC－3B2)与(9ABC－27A2D－2B3)就够繁了。
练习6
1、解下列方程求未知式f(x):
①(5x4－5x3－x2＋7x＋6)f(x)=(55x7＋52x6－84x5－7x4＋33x3－86x2＋x＋45)－(6x4－15)f(x)
②(8x3－5)f(x)－(48x7＋90x4＋20)=(－70x6－29x5＋8x4＋24x3－57x3＋50x＋4)－(－5x2＋3x＋7)f(x)
2、解下列方程组求未知式f(x)和g(x):
(5x2－3x＋7)f(x)＋(7x3－3x2＋5x－1)g(x)=－53x4＋36x3－69x2＋27x－54
(－2x3＋7x2－5x－3)f(x)－(6x3＋5x2－7x－3)g(x)=－4x5＋76x4－9x3－123x2＋55x＋36
(7x3－3x＋4)f(x)＋(5x2－6x－11)g(x)=45x5＋15x4－85x3＋40x2－34x－129
(－9x2＋6x－8)f(x)＋(3x2＋x－1)g(x)=6x5－52x4－14x3＋142x2＋124x＋97
3、解下列一元二次方程求未知式f(x):
①f2(x)＋(－7x2＋18x－14)f(x)＋(－91x3＋107x2－134x＋48)=0
②(39x2＋64x－63)f2(x)＋(39x3＋376x2＋449x－504)f(x)＋(－234x4－423x3＋899x2＋1023x－945)=0
③(10x2＋29x－21)f2(x)＋(15x3＋126x2－36x－27)f(x)＋(－45x4＋27x3－55x2－17x＋30)=0
④f2(x)＋f(x)－(4x4－4x3＋15x2－7x＋12)=0
4、解下列一元三次方程求未知式f(x):
①f3(x)＋(－333x2＋333x－777)f(x)＋(2268x3－5877x2－9999x＋7904)=0
②f3(x)＋(11x＋5)f2(x)＋(3x2＋62x－22)f(x)－(135x3＋39x2－170x＋56)=0
③2f3(x)＋(37x2－106x＋76)f2(x)＋(－1764x6＋15036x5－53377x4＋101012x3
－107476x2＋60960x－14400)=0
④f3(x)＋f2(x)＋f(x)－(8x6－12x5＋46x4－41x3＋78x2－34x＋39)=0
⑤(63x2＋6x－24)f3(x)＋(－336x3＋409x2＋79x－116)f2(x)＋(336x4－1284x3＋
1128x2－267x－12)f(x)＋(224x4－1192x3＋2120x2－1494x＋360)=0
数的开方和多项式的开方，数的方程和多项式方程，其计算原理相同，但性质并不一样。也就是任意给定的数都可以开方，任意给出来的方程都可以求解，但任意给出的多项式就不一定能够开方，任意给出的多项式方程，就不一定能有有理解。造成这种情况的原因是数存在进位，而多项式没有进位，因而数每次运算都可以使余数降级，而多项式每次运算就不一定能够使余式降次。
多项式的乘法运算，如果按传统的方法运算，则展开后的项数很多，寻找同类项就要花费很多时间，因而运算速度非常慢，而且容易出错。本文的计算方法就避免了这些缺点，不是先展开后合并同类项，而是通过升降幂排列移动对项等方法，直接的把各同类项的系数乘积之和有序地写在一起，从而省去展开和寻找同类项所花费的时间，其效果能够达到快和准。这和传统的计算方法相比，显然本文的计算方法要优越得多，因此值得推广。
多项式的乘方，平方运算其次数约减少了一半，立方运算其次数减少了三分之二以上，仅这一点运算速度就大大提高了，此外还有省去了展开和寻找同类项所花费的时间，其运算速度可想而知。
多项式的开方，教科文上没有谈及，这是因为对于数的开平方，人们还没有一个正确的认识，谁都只懂得怎么去求，其中的计算原理还没有弄明白，因而开方运算无法发展，现在仍然停留在开平方这个现状。弄通了这一计算原理，不仅数可以开平方，还可以开立方，开四次方（直接开），开五次方等，而且给出的多项式只要存在方根式，应用同样的计算原理也可以通过开方求得。
多项式方程，教科文上也没有谈及，本文对各类方程已经作出了一一求解，但是这并不是什么突破，这是数方程求解的拓展。
数和数方程的所有运算法则和公式，都适用于多项式和多项式方程。因而多项式的各种运算都可以像数一样速算，多项式的各种方程也都可以像数的方程一样求解。
本节主要写数与多项式相关运算的统一关系，把数的各种运算和数的各种方程的求根方法应用到多项式中来。多项式的各种算式及方程式是不定数的式子，而数的各种算式及方程式就是当x=10时，且系数是一位数的定数式子。因而运算一一相关统一。如二元一次多项式方程组的解法，不仅有加减消元法，同样也有代入消元法；一元二次多项式方程的解法，不仅有公式法，同样还有配方法，十字乘法等。多项式的乘方开方运算及多项式方程，这是教科书上没有的，因此本节可以充实教科文，使多项式的计算领域得以拓展而完善。
书写至此，现在可以作出下面结论：
《乘除及开平方的简捷算法——同级项科学速算法之一》《开方及一元三次方程的一般性解法——同级项科学速算法之二》和《多项式各种运算的速算法及多项式方程——同级项科学速算法之三》，这三部分的内容将对世界初算数学起着极其深远的影响，她改变了落后的计算局面，拓展了计算领域，并且将刷新联合国初等数学教科文。这是中华民族的荣誉，这是中国人民的智慧财富，这是基础教育工程的重要课题，这是一套完整而系统的速算理论。因此，希望国家有关部门引起重视，尽快投入运营和操作！