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数学教学常常通过解决问题的形式展开，定理的发现和证明,例题的求解和引申,习题的模仿和演练等等，都是学生学习过程的有机组成部分。于是，学生疲惫地应对大运动量的习题，但往往事倍功半。俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”教师应引导学生研究教材中的例习题，进行归纳、整理、探究、引申，掌握方法，挖掘内涵，使学生了解每个例题和习题的训练目的和要求，提高学习的效率。现以课本中的例题、习题为例，谈谈自己对例题、习题的学习、挖掘以及引申的体会。
一、对例题、习题进行归纳、探究、引申，活跃学生思维
例1：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a2+b2>2ab。
例2：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a+b>2■。
例3：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2。
例4：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a6+b6>a4b2+a2b4。
例5：已知a，b是正数，且a≠b，求证：■+■>■+■。
这是一组课本上的例、习题。让学生自己去发现，去寻找，学生自己会有这样的疑问：为什么它们可以组合在一起？有没有共性？是否有更一般的结论呢？这时学生的思维不再仅仅停留在表面上，而是更深层次的探究了。教师因势利导，学生在自主或讨论中，引申成一般形式：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a■+b■>a■b■+a■+b■。这样让学生在学习过程中摸索规律，得到快意，进一步提高探究学习的兴趣。
例6：△ABC的两顶点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于-■，求顶点C的轨迹方程。
例7：△ABC的两顶点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于■，求顶点C的轨迹方程。
这两道习题形式类似。可提出问题：△ABC中，A（-a，0），B（a，0），边AC，BC所在直线的斜率之积满足怎样关系时，顶点C的轨迹方程是①椭圆②双曲线③圆。这样对习题进行引申，使习题的训练要求更深，学生的思维得到充分发挥。
二、对例题、习题的解题过程进行研究，探究解题方法
例8：证明函数f（x）=■在其定义域上是减函数。
例9：已知△ABC三边长是a，b，c，且m为正数，求证：■+■>■。
这是课本上的两道习题。例8说明其一利用不等式进行函数单调性的证明；其二证明的方法是先利用裂项法，即f（x）=■=■=■-■；其三为例9做好铺垫。即利用不等式可进行函数单调性的证明，反之，利用函数的单调性也可进行不等式的证明。
在例9中，从结构上分析，构造函数f（x）=■，进而判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性。采用分离常数法，即f（x）=■=■=1-■，当x→大，■→小，则f（x）→大，说明f（x）在（0，+∞）上是增函数。在△ABC中有a+b>c，则f(a+b)>f(c)，即■>■。因此只需证■+■>■=■+■即可。显然有■>■，■+>■。利用放缩法问题得证。
从以上可以看出，课本上得例、习题是浓缩得精华，对它们进行挖掘，由浅入深，合理安排。使学生不再迷信资料，忽视教材，舍本求末。
三、对例题、习题的解题方法进行探索、引申，可以举一反三，提高解题能力
■
例10：求证：如图1，用一平面截去长方体的一个角，所得截面是锐角三角形。
学生往往运用余弦定理求证便作罢。但此图形较特殊，教师应引导学生考虑是否还有其它方法吗？如图2，过B作BH⊥FG,连结EH，则EH⊥FG。在Rt△EHF，Rt△EHG中，∠EFG，∠EGF为锐角。同理可证∠GEF为锐角，因此△EFG为锐角三角形。
是否可用向量法呢？更进一步地引申得到：从三棱锥一个顶点出发的三条棱两两垂直，则这个三棱锥称为直四面体。
直四面体有如下性质：三棱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD。这样一来，看似简单的一题其内涵较丰富。
总之，充分加强对例习题的研究挖掘，不但使学生活跃了思维，掌握了方法，更重要的是增强了学生的自信，提高了学生的学习能力。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
一、对例题、习题进行归纳、探究、引申，活跃学生思维
例1：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a2+b2>2ab。
例2：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a+b>2■。
例3：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2。
例4：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a6+b6>a4b2+a2b4。
例5：已知a，b是正数，且a≠b，求证：■+■>■+■。
这是一组课本上的例、习题。让学生自己去发现，去寻找，学生自己会有这样的疑问：为什么它们可以组合在一起？有没有共性？是否有更一般的结论呢？这时学生的思维不再仅仅停留在表面上，而是更深层次的探究了。教师因势利导，学生在自主或讨论中，引申成一般形式：已知a，b是正数，且a≠b，求证：a■+b■>a■b■+a■+b■。这样让学生在学习过程中摸索规律，得到快意，进一步提高探究学习的兴趣。
例6：△ABC的两顶点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于-■，求顶点C的轨迹方程。
例7：△ABC的两顶点A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC，BC所在直线的斜率之积等于■，求顶点C的轨迹方程。
这两道习题形式类似。可提出问题：△ABC中，A（-a，0），B（a，0），边AC，BC所在直线的斜率之积满足怎样关系时，顶点C的轨迹方程是①椭圆②双曲线③圆。这样对习题进行引申，使习题的训练要求更深，学生的思维得到充分发挥。
二、对例题、习题的解题过程进行研究，探究解题方法
例8：证明函数f（x）=■在其定义域上是减函数。
例9：已知△ABC三边长是a，b，c，且m为正数，求证：■+■>■。
这是课本上的两道习题。例8说明其一利用不等式进行函数单调性的证明；其二证明的方法是先利用裂项法，即f（x）=■=■=■-■；其三为例9做好铺垫。即利用不等式可进行函数单调性的证明，反之，利用函数的单调性也可进行不等式的证明。
在例9中，从结构上分析，构造函数f（x）=■，进而判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性。采用分离常数法，即f（x）=■=■=1-■，当x→大，■→小，则f（x）→大，说明f（x）在（0，+∞）上是增函数。在△ABC中有a+b>c，则f(a+b)>f(c)，即■>■。因此只需证■+■>■=■+■即可。显然有■>■，■+>■。利用放缩法问题得证。
从以上可以看出，课本上得例、习题是浓缩得精华，对它们进行挖掘，由浅入深，合理安排。使学生不再迷信资料，忽视教材，舍本求末。
三、对例题、习题的解题方法进行探索、引申，可以举一反三，提高解题能力
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例10：求证：如图1，用一平面截去长方体的一个角，所得截面是锐角三角形。
学生往往运用余弦定理求证便作罢。但此图形较特殊，教师应引导学生考虑是否还有其它方法吗？如图2，过B作BH⊥FG,连结EH，则EH⊥FG。在Rt△EHF，Rt△EHG中，∠EFG，∠EGF为锐角。同理可证∠GEF为锐角，因此△EFG为锐角三角形。
是否可用向量法呢？更进一步地引申得到：从三棱锥一个顶点出发的三条棱两两垂直，则这个三棱锥称为直四面体。
直四面体有如下性质：三棱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，则S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD。这样一来，看似简单的一题其内涵较丰富。
总之，充分加强对例习题的研究挖掘，不但使学生活跃了思维，掌握了方法，更重要的是增强了学生的自信，提高了学生的学习能力。
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