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抽象是一种重要的数学思维。在数学概念学习中，学生要经历从具体到抽象再到具体的认知过程，逐步达到对概念的真正理解。也就是说，数学概念的建立，离不开抽象这一重要环节。那么，在数学概念感知与建构的过程中，如何有效提升学生抽象思维水平呢？笔者认为，可以从以下四个方面入手。
一、借助“表征”，为抽象提供直观支持
抽象离不开直观的支持，因此，我们要给学生提供直观材料。这个材料可以由教师自己提供，也可以由学生生成。例如，乘法是求几个相同加数的和的简便运算，它可以用更抽象、更概括的“几个几”的方式进行表达。相对于后面的“几”（相同加数）而言，前面的“几”（相同加数的个数）是看不见摸不着的，学生理解起来必须依靠直观的支撑。因此，上课开始，教师先是直接揭题，让学生表达对于“乘法”的了解。然后让学生依赖自身已有的经验，画图表示自己所想的“3×4”的意思。结果，学生有用加法模型（只画了1个3和1个4）表示的，有用聚集模型（等量组）表示的，有用矩形模型表示的。这样，教师便可顺势介入，引导学生对乘法的含义进行抽象与概括。（图1）
学生的反馈过程，重点交流了“3在哪里”与“4在哪里”，并通过圈一圈（“3”在哪里）、数一数（“4”在哪里）、说一说等活动，引导学生逐步抽象出“几个几”。但需要注意的是，画图只是手段和途径，乘法含义的抽象与表达才是真正的目的。
二、借助“比较”，舍弃非本质特征
北京教育学院刘加霞教授指出，有相同之处与不同之处的学习素材，才能促进学生真正的观察、发现、抽象与概括。进一步来说，这样的学习素材可以使学生在比较中舍去不同的、非本质的特征，找到共同的、本质的特征，异中求同，揭开概念的本质。例如，在教学“分数的初步认识”这一内容时，笔者就通过让学生用同样图形（长方形）折出个，生成有相同之处与不同之处的学习素材。
【教学片段】用长方形纸片折一折，表示出个
师：教学进行至借助平分1个月饼认知个后。我们知道生活中的月饼有的是圆形的，也有的是方形的。现在就用长方形纸片表示方形月饼，你能通过折一折、画一画，表示出个吗？
在学生动手操作后，教师展示學生作品。
师：他们都表示出了个月饼吗？（是）
师：请每个同学仔细观察，你有什么发现？
师：他们的分法不一样，得到的形状也都不一样，但只要把它平均分成了2份，每人就能得到个。
上面的操作展示重点在于引导学生观察发现多样化折法的背后隐藏着的相同点，即都是平均分成了2份，涂色的都是1份。这样，学生在比较中自己揭示了现象的本质——只要把一个月饼平均分成2份，其中1份的大小就是个。
三、借助“变化”，着眼于量性特征
从具体形象到抽象概括，需要引导学生具备“将丰富的感觉材料去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作功夫”，使学生真正完全舍弃事物的一切物理属性，而仅仅着眼于它们的量性特征。例如，“倍”是由两个数量相比较而产生的，是两个量比较的结果。因而，它是看不见摸不着的，需要提供直观的材料让学生感悟与理解。在本课教学设计中，通过对“哪幅图表示第二行是第一行的4倍”这一问题的讨论，教师可以设计两类“变化”，实现学习素材的多次应用，逐步实现学生思维认知由“表面”走向“深刻”。
一是借助标准量不变，比较量变化，拓展认知“几倍”。在解决“白萝卜个数是胡萝卜的2倍”这一基本倍数关系后，通过不断增加白萝卜的份数，引出3倍、4倍。在此基础上，教师引导学生观察比较三幅图，进一步抽象出“它们都是把2根胡萝卜看作一份，作为标准，白萝卜有这样的几份就是它的几倍”。在这里，归纳与整理为抽象提供了帮助。
二是借助比较量不变，标准量变化，感受标准的重要性。当学生理解“瓢虫的只数是蜗牛的2倍”后，教师就追问学生：“如果我不想把4只蜗牛看作一份，你觉得蜗牛还可以几只为一份呢？”同时，让学生用三角形代替蜗牛在练习纸上画一画、圈一圈，并说一说它们的倍数关系。教师在巡视指导过程中，如果发现没有学生想到以8只（或1只）蜗牛为一份，便可以在反馈基本倍数关系后，追问学生：“除了把2只蜗牛、4只蜗牛看作一份外，还有不同的想法吗？”引导个别思维活跃的学生说出“以8只（或1只）蜗牛为一份”。教师通过学生对“几只蜗牛为一份？瓢虫也有这样的几份？它们的关系怎么说？”等问题的回答，引导学生认知特殊倍数关系。在此基础上，引导学生进一步抽象出“如果我们把标准定好了，只要瓢虫的只数有几个这样的标准，就是它的几倍”，凸显比的标准的重要性。
四、借助“辨析”，强化本质的特征
教学中不能都只呈现正例，也需要提供反例，让学生在正反辨析中深入地认知概念的本质特征。例如，“乘法的初步认识”内容的教学，笔者在引导学生理解“3×4”表示的含义之后，安排了一道对比判断练习，让学生判断哪一幅图不能用乘法表示，目的是让学生在正反对比辨析中进一步揭示出乘法的本质。
【教学片段】哪一幅图（图2）不能用乘法表示
师：③为什么不可以？
生：因为它们都不是同样的。
师：谁听到了一个很重要的词？对，乘法需要“同样”的数。（板书：同样的数）
师：（手指③）它有没有？那②不就有同样的数吗？你看，几？（9）几？（9）为什么它不可以？
生：因为它后面还有个6。
生：只要一个数跟前面的不一样，就不能用乘法。
生：必须每个数都一样，才能用乘法。
师：你们的意思是说，同样的数还要每个都一样。（板书：每个）一个不一样都不行。
师：（手指②）那把它怎么改就可以了？
生：把最后的6改成9。
生：还可以把前面的3个9，每个9都去掉3个。
师：可不可以？（可以）那你们看，现在都可以用乘法了吗？（可以）
概念教学就是一个帮助学生逐渐学会抽象，最后领悟本质的过程。教师不能采用直接告知的方式，而要设计帮助学生“舍弃”的过程，借助表征、比较、变化、辨析等手段，引导学生主动地把不同的、非本质的特征完全舍弃，得到共同的、本质的特征，从本质上完成对抽象概念的把握。
（作者单位：浙江省台州市路桥小学 本专辑责任编辑：王彬）
一、借助“表征”，为抽象提供直观支持
抽象离不开直观的支持，因此，我们要给学生提供直观材料。这个材料可以由教师自己提供，也可以由学生生成。例如，乘法是求几个相同加数的和的简便运算，它可以用更抽象、更概括的“几个几”的方式进行表达。相对于后面的“几”（相同加数）而言，前面的“几”（相同加数的个数）是看不见摸不着的，学生理解起来必须依靠直观的支撑。因此，上课开始，教师先是直接揭题，让学生表达对于“乘法”的了解。然后让学生依赖自身已有的经验，画图表示自己所想的“3×4”的意思。结果，学生有用加法模型（只画了1个3和1个4）表示的，有用聚集模型（等量组）表示的，有用矩形模型表示的。这样，教师便可顺势介入，引导学生对乘法的含义进行抽象与概括。（图1）
学生的反馈过程，重点交流了“3在哪里”与“4在哪里”，并通过圈一圈（“3”在哪里）、数一数（“4”在哪里）、说一说等活动，引导学生逐步抽象出“几个几”。但需要注意的是，画图只是手段和途径，乘法含义的抽象与表达才是真正的目的。
二、借助“比较”，舍弃非本质特征
北京教育学院刘加霞教授指出，有相同之处与不同之处的学习素材，才能促进学生真正的观察、发现、抽象与概括。进一步来说，这样的学习素材可以使学生在比较中舍去不同的、非本质的特征，找到共同的、本质的特征，异中求同，揭开概念的本质。例如，在教学“分数的初步认识”这一内容时，笔者就通过让学生用同样图形（长方形）折出个，生成有相同之处与不同之处的学习素材。
【教学片段】用长方形纸片折一折，表示出个
师：教学进行至借助平分1个月饼认知个后。我们知道生活中的月饼有的是圆形的，也有的是方形的。现在就用长方形纸片表示方形月饼，你能通过折一折、画一画，表示出个吗？
在学生动手操作后，教师展示學生作品。
师：他们都表示出了个月饼吗？（是）
师：请每个同学仔细观察，你有什么发现？
师：他们的分法不一样，得到的形状也都不一样，但只要把它平均分成了2份，每人就能得到个。
上面的操作展示重点在于引导学生观察发现多样化折法的背后隐藏着的相同点，即都是平均分成了2份，涂色的都是1份。这样，学生在比较中自己揭示了现象的本质——只要把一个月饼平均分成2份，其中1份的大小就是个。
三、借助“变化”，着眼于量性特征
从具体形象到抽象概括，需要引导学生具备“将丰富的感觉材料去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造制作功夫”，使学生真正完全舍弃事物的一切物理属性，而仅仅着眼于它们的量性特征。例如，“倍”是由两个数量相比较而产生的，是两个量比较的结果。因而，它是看不见摸不着的，需要提供直观的材料让学生感悟与理解。在本课教学设计中，通过对“哪幅图表示第二行是第一行的4倍”这一问题的讨论，教师可以设计两类“变化”，实现学习素材的多次应用，逐步实现学生思维认知由“表面”走向“深刻”。
一是借助标准量不变，比较量变化，拓展认知“几倍”。在解决“白萝卜个数是胡萝卜的2倍”这一基本倍数关系后，通过不断增加白萝卜的份数，引出3倍、4倍。在此基础上，教师引导学生观察比较三幅图，进一步抽象出“它们都是把2根胡萝卜看作一份，作为标准，白萝卜有这样的几份就是它的几倍”。在这里，归纳与整理为抽象提供了帮助。
二是借助比较量不变，标准量变化，感受标准的重要性。当学生理解“瓢虫的只数是蜗牛的2倍”后，教师就追问学生：“如果我不想把4只蜗牛看作一份，你觉得蜗牛还可以几只为一份呢？”同时，让学生用三角形代替蜗牛在练习纸上画一画、圈一圈，并说一说它们的倍数关系。教师在巡视指导过程中，如果发现没有学生想到以8只（或1只）蜗牛为一份，便可以在反馈基本倍数关系后，追问学生：“除了把2只蜗牛、4只蜗牛看作一份外，还有不同的想法吗？”引导个别思维活跃的学生说出“以8只（或1只）蜗牛为一份”。教师通过学生对“几只蜗牛为一份？瓢虫也有这样的几份？它们的关系怎么说？”等问题的回答，引导学生认知特殊倍数关系。在此基础上，引导学生进一步抽象出“如果我们把标准定好了，只要瓢虫的只数有几个这样的标准，就是它的几倍”，凸显比的标准的重要性。
四、借助“辨析”，强化本质的特征
教学中不能都只呈现正例，也需要提供反例，让学生在正反辨析中深入地认知概念的本质特征。例如，“乘法的初步认识”内容的教学，笔者在引导学生理解“3×4”表示的含义之后，安排了一道对比判断练习，让学生判断哪一幅图不能用乘法表示，目的是让学生在正反对比辨析中进一步揭示出乘法的本质。
【教学片段】哪一幅图（图2）不能用乘法表示
师：③为什么不可以？
生：因为它们都不是同样的。
师：谁听到了一个很重要的词？对，乘法需要“同样”的数。（板书：同样的数）
师：（手指③）它有没有？那②不就有同样的数吗？你看，几？（9）几？（9）为什么它不可以？
生：因为它后面还有个6。
生：只要一个数跟前面的不一样，就不能用乘法。
生：必须每个数都一样，才能用乘法。
师：你们的意思是说，同样的数还要每个都一样。（板书：每个）一个不一样都不行。
师：（手指②）那把它怎么改就可以了？
生：把最后的6改成9。
生：还可以把前面的3个9，每个9都去掉3个。
师：可不可以？（可以）那你们看，现在都可以用乘法了吗？（可以）
概念教学就是一个帮助学生逐渐学会抽象，最后领悟本质的过程。教师不能采用直接告知的方式，而要设计帮助学生“舍弃”的过程，借助表征、比较、变化、辨析等手段，引导学生主动地把不同的、非本质的特征完全舍弃，得到共同的、本质的特征，从本质上完成对抽象概念的把握。
（作者单位：浙江省台州市路桥小学 本专辑责任编辑：王彬）