论文部分内容阅读
【摘要】文章先结合实际说明数学思想方法教学的必要性，再结合教学实践，由“授渔”思想谈在数学教学中如何渗透数学思想方法的切身体验与体会。
【关键词】高中数学思想方法；一题多解；多题一解；新授课
古语云：授人以鱼，只供一饭之需；授人以渔，则终身受用无穷。在高中数学教学中，数学思想方法的教学就是“授人以渔”。
一、数学思想方法教学在中学教学中的必要性
纵观现状，不难看到数学教学普遍存在以下现象。
学生方面，学习目的不明确，对学习抱无所谓的态度，或只是为了应付毕业时的那次考试，缺乏钻研精神，平时怕吃苦，不肯开动脑筋多思考。有的作业靠抄袭完成，认为所学的这些数学知识以后踏上社会后不会用到或不常用，有的甚至认为父母不懂函数、方程，生活一样过得好。
教师方面，为应试而教，课堂教学缺乏激情，更缺乏创新，“填鸭式”对照书本照搬照抄，先讲书上例题，而后仿做若干题，单元小结再做若干题，期中期末再循环。也有的特别偏爱板演刁钻难题而忽视基础知识与技能；有的注重知识传授，忽视知识发生过程中数学思想方法的教学，为教而教，最终渐渐泯灭了学生的学习兴趣与学习热情；有的急功近利，不断搞题海战术，淡化数学思想渗透，加重了学生的负担。
每年的高考《考试说明》很清楚地指出：强调思想方法，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度。事实上，高考数学会一直坚持在考查知识和思想方法的过程中考查学生的能力、数学素养、数学潜能。因为数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，是数学知识转化为能力的桥梁。因此，中学一线数学教师在教学生数学知识的过程中一定要认真适当地渗透数学思想方法。
二、在数学教学中如何渗透数学思想方法举例
（一）在“一题多解”中渗透数学思想方法
例1：设关于x的方程cos2x-sinx a=0在（0，]内有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≤- B. -1 答案：B
解这道题并不难，目的是借题发挥，抛砖引玉，关键从中灵活运用数学思想方法，以便把这种思考问题的方法迁移到更为复杂的数学问题中去。先通过换元，令sinx=t，0 解法1：设f（t）=t2 t-a-1，则f（0）<0且f（1）≥0；
解法2：设函数y1=t2 t-1（0 解法3：由t2 t-a-1=0，得a=t2 t-1，令h（t）=t2 t-1（0 上述三种解法，较灵活地运用了函数的思想、数形结合思想、等价转化思想解决问题，比较直观简捷，使学生对数学的理解更加透彻，对知识的应用更加有办法，对发展学生的思维灵活性有很大的帮助，同时可以激發学生的探索热情与创新欲望，充分体现了“以生为本，有效教学”的理念。
（二）在“多题一解”中渗透数学思想方法
這种情况，最好以题组的形式呈现，这种教学在高三总复习中，效果甚佳。在数学教学中，根据学生的认知规律，合理有效地选用一组相近或相似的数学问题组织教学，通过几个问题的前后联系以及解决这些问题方法的微妙变化，让学生形成一种更高层次的思维空间，从而达到对问题本质的理解、知识技能的巩固、难点的突破、规律的掌握、思维的拓展和迁移等目的。
例2：已知函数，则（ ）
A. （-∞，-1）是函数的减区间 B. （-1， ∞）是函数增区间
C. （-∞，1）是函数的增区间 D. （1， ∞）是函数减区间
答案：C
变式1：函数y=在（-1， ∞）上单调递增，则实数m的取值范围（ ）
A. m=-3 B. m<3 C. m≤-3 D. m≥-3
答案：C
变式2：若函数在（-∞，-2）上是减函数，则实数b的范围 。
答案：小于-0.5
本题组是建立在初中“反比例函数”的基础上，由相应的反比例函数经上下左右平移得来的。学生抓住平移的本质“位置改变，形状大小均不变”，再由“图形”协助，问题就很容易得到解决。
在高三教学实践中，题组教学确有其独特的功效，其中渗透了多种数学思想方法，诸如从特殊到一般、转化、类比、数形、分类与整合等数学思想方法。适当地运用，适当地安排题的顺序，能有效地培养学生的归纳问题能力和分析问题、解决问题的能力，达到举一反三、触类旁通的效果。
（三）在“新授课”中渗透数学思想方法
如在高一必修2“线面垂直的性质”一节教学中，先由直观感知抽象出线面垂直的性质定理，即“垂直于同一个平面的两条直线平行”，教师引导学生作图（如图），然后转化为符号语言。
已知：a、b为直线，α为平面，
若a⊥α，b⊥α
求证：a∥b
证明此定理后，可以先给出该性质定理的应用举例，再对性质定理的变式探究。
1.类比探究：交换“平行”与“垂直”。
2.递向探究：再对类比探究得到的结论进行探究。
探究1：设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系如何？为什么？
探究2：设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，a⊥b，则b与α的位置关系如何？为什么？ 探究3：设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，b∥a，则b与α的位置关系如何？为什么？
教师在这一节中主体渗透了类比与转化思想，先进行类比探究，再通过线线关系与线面关系反复转化，培养学生的动态思维，有目的地不断转化矛盾，达到最终解决问题目的。
事实上，在“新授课”教学中几乎每一节都会渗透相应的数学思想方法。诸如函数思想贯穿高中代数的全部内容，在实数与数轴上的点的对应关系，有序数组与坐标平面（空间）上的点的对应关系，函数与图象的对应关系，曲线与方程的对应关系，向量、复数、三解函数等教学中巧妙地运用数形结合思想方法，可起到事半功倍的效果；求含参一元二次不等式的解集，两点在同一直线的同侧、异侧，二次函数图象的对称轴相对于给定区间的不同位置，等比数列求和公式，指对数函数的单调性，排列组合的计数问题、概率问题等等教学中，都要渗透分类与整合的思想。
三、数学思想方法教学的积极现实意义
当今世界科技发展迅速，学生在今后的工作生活中有许多需要认识、探讨、分析和解决的问题，这就需要有严谨的工作态度，有逻辑论证、严密推测的科学方法与能力，这在数学“分类与整合思想”中得以培养；有科学的动态思维，去寻找有利于问题解决和变换途径和方法，做到复杂变换成简单，抽象变换成直观，含糊变成明朗，这在数学中“化归与转化思想”中得以渗透；数学中的“特殊与一般思想”可以帮助人们認识世界，由浅入深，透过现象看本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程，但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得的特点和规律解决该类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程；在生活中难免会遇到对无限个对象的研究，往往不知如何下手，显得经验不足，若把它轉化为对有限的研究，积累经验后，问题就较易得到解决，这可以在数学中渗透“有限与无限思想”；等等。因此，教师要把数学思想方法的教学作为一把金钥匙交给学生，让他们手握金钥匙去迎接未来生活的挑战。
【参考文献】
[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[2]傅赛媛.依托“题组教学”提高学生的数学解题能力[J].福建中学数学，2014（05）：30-32.
[3]谢忠明.掌握数学思想，提高解题能力[J].高中数学教与学，2006（05）：18-20.
【关键词】高中数学思想方法；一题多解；多题一解；新授课
古语云：授人以鱼，只供一饭之需；授人以渔，则终身受用无穷。在高中数学教学中，数学思想方法的教学就是“授人以渔”。
一、数学思想方法教学在中学教学中的必要性
纵观现状，不难看到数学教学普遍存在以下现象。
学生方面，学习目的不明确，对学习抱无所谓的态度，或只是为了应付毕业时的那次考试，缺乏钻研精神，平时怕吃苦，不肯开动脑筋多思考。有的作业靠抄袭完成，认为所学的这些数学知识以后踏上社会后不会用到或不常用，有的甚至认为父母不懂函数、方程，生活一样过得好。
教师方面，为应试而教，课堂教学缺乏激情，更缺乏创新，“填鸭式”对照书本照搬照抄，先讲书上例题，而后仿做若干题，单元小结再做若干题，期中期末再循环。也有的特别偏爱板演刁钻难题而忽视基础知识与技能；有的注重知识传授，忽视知识发生过程中数学思想方法的教学，为教而教，最终渐渐泯灭了学生的学习兴趣与学习热情；有的急功近利，不断搞题海战术，淡化数学思想渗透，加重了学生的负担。
每年的高考《考试说明》很清楚地指出：强调思想方法，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想、方法的理解和掌握程度。事实上，高考数学会一直坚持在考查知识和思想方法的过程中考查学生的能力、数学素养、数学潜能。因为数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，是数学知识转化为能力的桥梁。因此，中学一线数学教师在教学生数学知识的过程中一定要认真适当地渗透数学思想方法。
二、在数学教学中如何渗透数学思想方法举例
（一）在“一题多解”中渗透数学思想方法
例1：设关于x的方程cos2x-sinx a=0在（0，]内有实根，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≤- B. -1
解这道题并不难，目的是借题发挥，抛砖引玉，关键从中灵活运用数学思想方法，以便把这种思考问题的方法迁移到更为复杂的数学问题中去。先通过换元，令sinx=t，0
解法2：设函数y1=t2 t-1（0
（二）在“多题一解”中渗透数学思想方法
這种情况，最好以题组的形式呈现，这种教学在高三总复习中，效果甚佳。在数学教学中，根据学生的认知规律，合理有效地选用一组相近或相似的数学问题组织教学，通过几个问题的前后联系以及解决这些问题方法的微妙变化，让学生形成一种更高层次的思维空间，从而达到对问题本质的理解、知识技能的巩固、难点的突破、规律的掌握、思维的拓展和迁移等目的。
例2：已知函数，则（ ）
A. （-∞，-1）是函数的减区间 B. （-1， ∞）是函数增区间
C. （-∞，1）是函数的增区间 D. （1， ∞）是函数减区间
答案：C
变式1：函数y=在（-1， ∞）上单调递增，则实数m的取值范围（ ）
A. m=-3 B. m<3 C. m≤-3 D. m≥-3
答案：C
变式2：若函数在（-∞，-2）上是减函数，则实数b的范围 。
答案：小于-0.5
本题组是建立在初中“反比例函数”的基础上，由相应的反比例函数经上下左右平移得来的。学生抓住平移的本质“位置改变，形状大小均不变”，再由“图形”协助，问题就很容易得到解决。
在高三教学实践中，题组教学确有其独特的功效，其中渗透了多种数学思想方法，诸如从特殊到一般、转化、类比、数形、分类与整合等数学思想方法。适当地运用，适当地安排题的顺序，能有效地培养学生的归纳问题能力和分析问题、解决问题的能力，达到举一反三、触类旁通的效果。
（三）在“新授课”中渗透数学思想方法
如在高一必修2“线面垂直的性质”一节教学中，先由直观感知抽象出线面垂直的性质定理，即“垂直于同一个平面的两条直线平行”，教师引导学生作图（如图），然后转化为符号语言。
已知：a、b为直线，α为平面，
若a⊥α，b⊥α
求证：a∥b
证明此定理后，可以先给出该性质定理的应用举例，再对性质定理的变式探究。
1.类比探究：交换“平行”与“垂直”。
2.递向探究：再对类比探究得到的结论进行探究。
探究1：设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系如何？为什么？
探究2：设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，a⊥b，则b与α的位置关系如何？为什么？ 探究3：设a、b为直线，α为平面，若a⊥α，b∥a，则b与α的位置关系如何？为什么？
教师在这一节中主体渗透了类比与转化思想，先进行类比探究，再通过线线关系与线面关系反复转化，培养学生的动态思维，有目的地不断转化矛盾，达到最终解决问题目的。
事实上，在“新授课”教学中几乎每一节都会渗透相应的数学思想方法。诸如函数思想贯穿高中代数的全部内容，在实数与数轴上的点的对应关系，有序数组与坐标平面（空间）上的点的对应关系，函数与图象的对应关系，曲线与方程的对应关系，向量、复数、三解函数等教学中巧妙地运用数形结合思想方法，可起到事半功倍的效果；求含参一元二次不等式的解集，两点在同一直线的同侧、异侧，二次函数图象的对称轴相对于给定区间的不同位置，等比数列求和公式，指对数函数的单调性，排列组合的计数问题、概率问题等等教学中，都要渗透分类与整合的思想。
三、数学思想方法教学的积极现实意义
当今世界科技发展迅速，学生在今后的工作生活中有许多需要认识、探讨、分析和解决的问题，这就需要有严谨的工作态度，有逻辑论证、严密推测的科学方法与能力，这在数学“分类与整合思想”中得以培养；有科学的动态思维，去寻找有利于问题解决和变换途径和方法，做到复杂变换成简单，抽象变换成直观，含糊变成明朗，这在数学中“化归与转化思想”中得以渗透；数学中的“特殊与一般思想”可以帮助人们認识世界，由浅入深，透过现象看本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程，但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得的特点和规律解决该类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程；在生活中难免会遇到对无限个对象的研究，往往不知如何下手，显得经验不足，若把它轉化为对有限的研究，积累经验后，问题就较易得到解决，这可以在数学中渗透“有限与无限思想”；等等。因此，教师要把数学思想方法的教学作为一把金钥匙交给学生，让他们手握金钥匙去迎接未来生活的挑战。
【参考文献】
[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准（实验）[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[2]傅赛媛.依托“题组教学”提高学生的数学解题能力[J].福建中学数学，2014（05）：30-32.
[3]谢忠明.掌握数学思想，提高解题能力[J].高中数学教与学，2006（05）：18-20.