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[摘 要] 对于高中数学而言，数学学科核心素养的落地，如何在知识教学的过程中顺利实现？这个问题值得每位一线教师认真思考. 高中数学教学中如何培育学生的核心素养，这需要界定好知识与核心素养的关系. 在教学设计的时候，要注意：一是给学生设计体验性的学习情境，二是让学生通过交流讨论将默会知识显性化. 利用默会知识培育学生的数学学科核心素养，有两个挑战：一是默会知识的形态以及形成机制把握，二是重视默会知识的作用，并不意味着忽视显性知识的作用，事实上两者是并重的. 数学学科是基础学科，学生在数学学科的学习中获得核心素养的过程，无论是对于其他学科的学习而言，还是对于学生的成长而言，都有着积极的意义.
[关键词] 高中数学;默会知识;核心素养;教学启发
纵观近数十年来的课程改革，可以发现有一个概念始终长盛不衰，这个概念就是“知识”. 众所周知，中国的教育曾经走过了知识为本的时代，而在不断地反思与改进的过程中，人们越来越多地意识到应当培养学生的能力，尽管将注意力转换到能力上，但是能力与知识之间的关系依然是热议的话题之一. 在第八轮课程改革中，明确提出了三维目标，这三维目标中提及了知识，同时也提到了技能方法以及情感态度、价值观等. 人们通过深入研究发现，其他教学目标的达成都离不开知识的教学. 时至今日，核心素养的概念被提出，通过具体学科的教学让核心素养落地，成为一个重要话题. 对于高中数学而言，数学学科核心素养的落地，如何在知识教学的过程中顺利实现？这个问题值得每位一线教师认真思考. 有研究者指出，高中数学教学中如何培育学生的核心素养，这需要界定好知识与核心素养的关系. 而进一步的研究表明，知识与核心素养并非二元对立，后者可以在前者中得到生长，且知识教学的方式对核心素养的培育效果有着明显的影响. 正是基于这样的原因，在高中数学教学中，应当给予学生足够的思维空间，让学生经历问题解决的过程，这样的教学方式可以更好地促进核心素养的培育.
知识可以分为两种：一种是显性知识，一种是隐性知识. 隐性知识又叫默会知识，这一类知识容易为教师所忽视，但是对于学生的知识建构以及问题解决而言，又起着非常重要的作用，可以肯定的是，其在核心素养培育的过程中，也有着不可忽视的作用，因此在高中数学教学中值得研究.
[?] 默会知识之数学学科核心素养的意义
默会知识是二十世纪有影响的科学家和哲学家迈克尔·波兰尼提出的，其在1958年发表的全面体现其哲学思想的著作《个人知识》中，对传统的主客观分离的知识观进行了无情的批判，他认为知识是客观性与个人性的结合，具有默会的成分，在一定程度上是不可言传的，由此产生了“默会知识论”. 在人的学习过程中，确实存在默会知识，就拿高中数学教学而言，当很多学生尤其是优秀学生能够顺利地建构数学知识及其体系，并且能够顺利地解决问题时，如果你问他是如何学习的，那么这些优秀学生往往都会回答“我也不知道，在学习或者解题的时候，自然而然地就想到了……”在这种“知其然而不知其所以然”的背后，其实就是默会知识在发挥着作用.
高中数学学科核心素养由数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析等六个要素组成. 这些数学学科核心素养要素的落地，当然取决于教师给学生创设的学习情境，更取决于学生在学习过程中是如何主动建构并内化知识的. 当学生学习一些显性的数学概念或者规律，又或者是加工数学定义、图表等，他们是如何完成信息输入的，又是怎样进行加工的？……这些过程值得研究，同时也是默会知识研究的重要内涵.
以数学抽象为例，培养学生的数学抽象素养，往往要给学生提供一个生活素材的情境. 一个好的情境，总能让学生沉浸其中时迅速完成正确的指向，也就是学生的思维方向不会发生散乱或者偏移;相反，一个差的情境，学生进入其中之后往往无所适从，把握不住准确的学习方向与问题解决方向. 从这个角度来看，在数学抽象素养培养的过程中，教师要摸准学生的默会知识范围，然后去创设相应的情境;而如果真正做到这一点，实际上也就真正实现了因材施教，而这正是数学学科核心素养落地的重要途径.
[?] 基于默会知识培育数学核心素养的途径
通过以上分析，在具体的数学学科核心素养培育的过程中，教师就可以基于默会知识去设计教学. 这里分为理论认识与实践两个层面，从理论的角度来看，教师要认识到对于高中数学来讲，提高数学成绩仅仅是其中一方面，培养学生的核心素养更加重要，教师要引导学生在学习数学时勤于思考，及时归纳总结;从实践的角度来看，基于默会知识培育数学核心素养，需要教师在积累的经验基础之上，把握学生的默会知识——因为知识是默会的，因此把握起来存在一定的困难，但可以通过学生有形的学习过程来表现. 因此在实践操作的时候，这一途径是可寻觅、可确定的. 仍然以数学抽象为例，在“空间几何体的三视图和直观图”的教学中，建立中心投影与平层投影的概念，是一个典型的数学抽象过程. 这里涉及一些基本的概念，如投影、投影线、投影面、中心投影、平行投影等，这些概念的建立都是数学抽象的产物（当然还涉及其他一些过程，比如用数学语言描述数学抽象的结果等）. 笔者在教学中跟部分学生进行过交流，通过交流研究发现，学生在生活中对与投影相关的一些现象有所关注，在大脑中也进行了一些初步的思考，但是这个思考是模糊的、不成系统的. 考虑到学生的这些前方概念，笔者在教学设计的时候，重点设计了两个教学环节：
一是给学生设计体验性的学习情境. 情境中涉及的素材包括手影游戏，3Dmax设计的可互动、可调节光源的课件. 学生的体验过程主要体现在：手影游戏的过程中，通过改变手的形状以及手与光源之间的距离，改变手影的形状与大小;通过调节课件中的光源，得到不同的影. 这一体验的过程是为了帮助学生建立感性经验，事实证明，感性经验生成的过程，既与外界输入的信息（也就是学生在体验过程中获得的信息）有关，也与学生原有的默会知识有关. 根据默会知识的形成原理，人在活动中进行的“身体化活动”，与在觉察过程中生成的“附带的觉察”，是默会知识的两大来源. 在上述体验的过程中，学生通过手柄游戏的完成，通过课件的互动体验，不仅有身体化的活動，在集中觉察的同时也有附带的觉察，于是就会生成一些默会知识.
二是让学生通过交流讨论将默会知识显性化. 生成的默会知识如何发挥作用？这也是值得研究的一个课题. 根据有关研究，让默会知识显性化，可以在提升学生学习品质的同时进一步更好地培育数学学科核心素养.
例如，在上面的例子中，学生在体验过程中，发现改变相关要素，手影就会发生相应的变化. 其中的变化之一来源于光源，这是学生在讨论交流的过程中认识到的. 当光源是点光源或者平行光源的时候，视觉效果是有所不同的，这种自主发现，实际上就是学生默会知识变成显性知识的过程. 有了这一过程，数学抽象素养的落地就有了保障. 这是因为，学生在比较之后发现的不同，正成为学生给予自己的体验，进而将体验结果变成数学知识的过程.
[?] 利用默会知识培育数学核心素养的关键
相对于显性知识而言，利用默会知识来培养数学学科核心素养虽然更具挑战性，但是由于默会知识对学生学习结果以及学习品质的提升影响不可忽视，因此这个研究又是有价值的.
需要注意的是，利用默会知识培育学生的数学学科核心素养，有两个挑战：一是默会知识的形态以及形成机制的把握，在理论研究领域还存在一些空间. 作为一线教师，利用其来培育数学学科核心素养，相应地也就存在一些挑战. 二是重视默会知识的作用，并不意味着忽视显性知识的作用，事实上两者是并重的. 此外，重视知识也不意味着忽视情感. 大量事实表明，在承认言语可述知识的重要价值时，将认知主体的情感、态度和价值等默会认知能力概括为知识范畴，进而跨越主客二分鸿沟，从明述与默会、普遍与具体等交叉维度重构个人知识内涵，赋予个人知识以逻辑品格与情境理性之特质，是基本的方法取向.
以上是笔者对高中数学教学中，运用默会知识培育学生数学学科核心素养的一点浅显探究. 实际上对默会知识的研究以及对数学学科核心素养培育的研究都是新的课题，将两个新的课题结合在一起的挑战性可想而知. 尽管如此，面对这个挑战依然是有必要的，数学学科是基础学科，学生在数学学科的学习中获得核心素养的过程，无论是对于其他学科的学习而言，还是对于学生的成长而言，都有着积极的意义. 充分发挥这一意义，可以为核心素养的研究带来更多有益的思考.
[关键词] 高中数学;默会知识;核心素养;教学启发
纵观近数十年来的课程改革，可以发现有一个概念始终长盛不衰，这个概念就是“知识”. 众所周知，中国的教育曾经走过了知识为本的时代，而在不断地反思与改进的过程中，人们越来越多地意识到应当培养学生的能力，尽管将注意力转换到能力上，但是能力与知识之间的关系依然是热议的话题之一. 在第八轮课程改革中，明确提出了三维目标，这三维目标中提及了知识，同时也提到了技能方法以及情感态度、价值观等. 人们通过深入研究发现，其他教学目标的达成都离不开知识的教学. 时至今日，核心素养的概念被提出，通过具体学科的教学让核心素养落地，成为一个重要话题. 对于高中数学而言，数学学科核心素养的落地，如何在知识教学的过程中顺利实现？这个问题值得每位一线教师认真思考. 有研究者指出，高中数学教学中如何培育学生的核心素养，这需要界定好知识与核心素养的关系. 而进一步的研究表明，知识与核心素养并非二元对立，后者可以在前者中得到生长，且知识教学的方式对核心素养的培育效果有着明显的影响. 正是基于这样的原因，在高中数学教学中，应当给予学生足够的思维空间，让学生经历问题解决的过程，这样的教学方式可以更好地促进核心素养的培育.
知识可以分为两种：一种是显性知识，一种是隐性知识. 隐性知识又叫默会知识，这一类知识容易为教师所忽视，但是对于学生的知识建构以及问题解决而言，又起着非常重要的作用，可以肯定的是，其在核心素养培育的过程中，也有着不可忽视的作用，因此在高中数学教学中值得研究.
[?] 默会知识之数学学科核心素养的意义
默会知识是二十世纪有影响的科学家和哲学家迈克尔·波兰尼提出的，其在1958年发表的全面体现其哲学思想的著作《个人知识》中，对传统的主客观分离的知识观进行了无情的批判，他认为知识是客观性与个人性的结合，具有默会的成分，在一定程度上是不可言传的，由此产生了“默会知识论”. 在人的学习过程中，确实存在默会知识，就拿高中数学教学而言，当很多学生尤其是优秀学生能够顺利地建构数学知识及其体系，并且能够顺利地解决问题时，如果你问他是如何学习的，那么这些优秀学生往往都会回答“我也不知道，在学习或者解题的时候，自然而然地就想到了……”在这种“知其然而不知其所以然”的背后，其实就是默会知识在发挥着作用.
高中数学学科核心素养由数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析等六个要素组成. 这些数学学科核心素养要素的落地，当然取决于教师给学生创设的学习情境，更取决于学生在学习过程中是如何主动建构并内化知识的. 当学生学习一些显性的数学概念或者规律，又或者是加工数学定义、图表等，他们是如何完成信息输入的，又是怎样进行加工的？……这些过程值得研究，同时也是默会知识研究的重要内涵.
以数学抽象为例，培养学生的数学抽象素养，往往要给学生提供一个生活素材的情境. 一个好的情境，总能让学生沉浸其中时迅速完成正确的指向，也就是学生的思维方向不会发生散乱或者偏移;相反，一个差的情境，学生进入其中之后往往无所适从，把握不住准确的学习方向与问题解决方向. 从这个角度来看，在数学抽象素养培养的过程中，教师要摸准学生的默会知识范围，然后去创设相应的情境;而如果真正做到这一点，实际上也就真正实现了因材施教，而这正是数学学科核心素养落地的重要途径.
[?] 基于默会知识培育数学核心素养的途径
通过以上分析，在具体的数学学科核心素养培育的过程中，教师就可以基于默会知识去设计教学. 这里分为理论认识与实践两个层面，从理论的角度来看，教师要认识到对于高中数学来讲，提高数学成绩仅仅是其中一方面，培养学生的核心素养更加重要，教师要引导学生在学习数学时勤于思考，及时归纳总结;从实践的角度来看，基于默会知识培育数学核心素养，需要教师在积累的经验基础之上，把握学生的默会知识——因为知识是默会的，因此把握起来存在一定的困难，但可以通过学生有形的学习过程来表现. 因此在实践操作的时候，这一途径是可寻觅、可确定的. 仍然以数学抽象为例，在“空间几何体的三视图和直观图”的教学中，建立中心投影与平层投影的概念，是一个典型的数学抽象过程. 这里涉及一些基本的概念，如投影、投影线、投影面、中心投影、平行投影等，这些概念的建立都是数学抽象的产物（当然还涉及其他一些过程，比如用数学语言描述数学抽象的结果等）. 笔者在教学中跟部分学生进行过交流，通过交流研究发现，学生在生活中对与投影相关的一些现象有所关注，在大脑中也进行了一些初步的思考，但是这个思考是模糊的、不成系统的. 考虑到学生的这些前方概念，笔者在教学设计的时候，重点设计了两个教学环节：
一是给学生设计体验性的学习情境. 情境中涉及的素材包括手影游戏，3Dmax设计的可互动、可调节光源的课件. 学生的体验过程主要体现在：手影游戏的过程中，通过改变手的形状以及手与光源之间的距离，改变手影的形状与大小;通过调节课件中的光源，得到不同的影. 这一体验的过程是为了帮助学生建立感性经验，事实证明，感性经验生成的过程，既与外界输入的信息（也就是学生在体验过程中获得的信息）有关，也与学生原有的默会知识有关. 根据默会知识的形成原理，人在活动中进行的“身体化活动”，与在觉察过程中生成的“附带的觉察”，是默会知识的两大来源. 在上述体验的过程中，学生通过手柄游戏的完成，通过课件的互动体验，不仅有身体化的活動，在集中觉察的同时也有附带的觉察，于是就会生成一些默会知识.
二是让学生通过交流讨论将默会知识显性化. 生成的默会知识如何发挥作用？这也是值得研究的一个课题. 根据有关研究，让默会知识显性化，可以在提升学生学习品质的同时进一步更好地培育数学学科核心素养.
例如，在上面的例子中，学生在体验过程中，发现改变相关要素，手影就会发生相应的变化. 其中的变化之一来源于光源，这是学生在讨论交流的过程中认识到的. 当光源是点光源或者平行光源的时候，视觉效果是有所不同的，这种自主发现，实际上就是学生默会知识变成显性知识的过程. 有了这一过程，数学抽象素养的落地就有了保障. 这是因为，学生在比较之后发现的不同，正成为学生给予自己的体验，进而将体验结果变成数学知识的过程.
[?] 利用默会知识培育数学核心素养的关键
相对于显性知识而言，利用默会知识来培养数学学科核心素养虽然更具挑战性，但是由于默会知识对学生学习结果以及学习品质的提升影响不可忽视，因此这个研究又是有价值的.
需要注意的是，利用默会知识培育学生的数学学科核心素养，有两个挑战：一是默会知识的形态以及形成机制的把握，在理论研究领域还存在一些空间. 作为一线教师，利用其来培育数学学科核心素养，相应地也就存在一些挑战. 二是重视默会知识的作用，并不意味着忽视显性知识的作用，事实上两者是并重的. 此外，重视知识也不意味着忽视情感. 大量事实表明，在承认言语可述知识的重要价值时，将认知主体的情感、态度和价值等默会认知能力概括为知识范畴，进而跨越主客二分鸿沟，从明述与默会、普遍与具体等交叉维度重构个人知识内涵，赋予个人知识以逻辑品格与情境理性之特质，是基本的方法取向.
以上是笔者对高中数学教学中，运用默会知识培育学生数学学科核心素养的一点浅显探究. 实际上对默会知识的研究以及对数学学科核心素养培育的研究都是新的课题，将两个新的课题结合在一起的挑战性可想而知. 尽管如此，面对这个挑战依然是有必要的，数学学科是基础学科，学生在数学学科的学习中获得核心素养的过程，无论是对于其他学科的学习而言，还是对于学生的成长而言，都有着积极的意义. 充分发挥这一意义，可以为核心素养的研究带来更多有益的思考.