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摘要：CPFS认知结构背景下的数学知识网络图构建的教学实践探究，旨在增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。知识网络图可以促进学生数学思维和核心能力的形成与发展;可以帮助学生理清所学知识脉络，优化系统思维;可以推动学生亲历知识建构过程，提升认知水平;可以引导学生自省认知不足之处，促进深入理解。
关键词：CPFS认知结构;知识网络图;数学思维
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）10B-0053-04
现代认知心理学认为，在影响学习的诸多因素中，认知结构是决定学习成效的一个关键和直接因素。本文主要探讨在CPFS认知结构背景下，通过构建数学知识网络图，提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养和优化学生的数学系统思维。
一、内涵阐释
2003年南京师范大学喻平等在《数学教育学报》上撰文，提出了数学学习心理的CPFS结构。文章认为，数学理论体系的基本元素是概念和命题，CPFS结构即概念域（Concept Field）、概念系（Concept System）、命題域（Proposition Field）、命题系（Proposition System）形成的结构，准确地刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式。[1]概念和命题是数学知识的基石，知识网络图即把某一单元或某个专题所要掌握理解的概念或命题等，用连线、箭头连接起来，清晰地呈现出知识点及它们之间的联系。CPFS认知结构背景下的知识网络图构建，即根据学生CPFS认知结构的本质特征，围绕某个知识单元或专题，以网络图构建的方式呈现的教学规划和方法策略。
二、知识网络图的价值探寻
概念和命题通过推理组成了中学数学的逻辑体系。知识网络图的构建过程就是梳理、获得、组织、学习知识的过程，是培养学生学会学习的重要途径，也是培养学生发现问题、分析问题和解决问题能力的重要手段。知识网络图作为初中数学教学的一种策略，能使学生更深刻地理解知识形成与发展的过程，促进学生的灵活运用。
1.知识网络图可以帮助学生理清所学知识脉络，优化系统思维
“数学思维是学生数学素养的重要体现，数学教学要注重学生认识数学、理解数学、感悟数学的思维过程。”[2]教学中，引导学生对基础知识进行梳理，理解各部分知识在发生发展过程中的横向联系和纵向联系，理清知识之间的脉络，在头脑中形成合理的网络状知识结构。这个过程可以使知识结构化、层次化、网络化，便于学生理解和掌握。
许多学生在问题分析的过程中，往往不能迅速有效地提取相关知识来解决问题，这就使得建构有序的知识网络成为了初中数学教学的重要任务。学生在构建网络图的过程中，体会知识间的相互联系，体验数学的思想和方法，大大提高了学生在数学认知活动中的效率，促进学生形成良好高效的对内调控的认知策略。例如，在函数单元教学中，构建如图1的网络图，在学生的头脑中建立起一个层次分明、脉络清晰的函数单元知识网络，充分体现函数研究的方法和逻辑顺序，这个过程可以强化数学思维在学生头脑中的认识，优化学生的系统思维能力。
2.知识网络图可以推动学生亲历知识建构过程，提升认知水平
单元教学的核心思想是系统思维。通过知识网络图的构建，学生直观把握一个单元或主题的知识体系，构建网络图的过程就是一个持续优化思维的过程。在数学课堂教学中指导学生构建知识网络图，能够有效发挥学生的主观能动性，优化学生解决数学问题的策略，形成某类问题的解决思路，是一种高效的思维策略。
例如实数单元教学，对实数按不同的标准进行分类：从是否是有理数的角度看可以分成两大类，如图2;从符号看可以分成三大类，如图3。在分类构建的过程中让学生举例，再通过习题加以巩固。通过综合的分析、比较，有效地展示了数学思维的过程，提升了学生的认知水平。这样比单纯靠记忆来学习更能促进学生进行有意义的学习，激发学生的学习兴趣，知识运用和提取的效率当然也就更高。
3.知识网络图可以引导学生自省认知不足之处，拓展深度理解
“数学概念是数学思维的核心与逻辑起点，概念是数学教学的基础。问题解决往往催生新的数学概念，概念形成过程常常就是问题解决的过程。”[3]教学中进行知识网络图的构建，可以用来检测学生对概念的掌握和理解的程度，可以促进学生自省认知上的不足。教学中，“学生会遇到数学知识发生发展的生长点和衔接点、数学思想方法的转折点、数学思维的症结点，这些关节点、转折点、症结点都是典型的思维的生惑点，这些思维生惑点的解除必须通过发展认知能力才能实现”[4]。例如，在代数式单元中，学生列出该单元的主要概念，构建知识网络图，如图4。在这个过程中，教师有目的地通过举例，引导学生对易混淆和模糊的概念，如单项式的系数、次数，多项式的系数、项数等进行判断分析，在不断的完善补充中自省认知上的不足，拓展深度理解。
三、知识网络图在教学实践中的运用
1.案例：二次函数的性质
（1）教学目标：熟练运用公式法和配方法求出二次函数的顶点坐标、对称轴，并能运用描点法画出二次函数的图像;能根据所给条件适当选择运用一般式或顶点式求出二次函数的解析式;能结合图像理解二次函数的增减性、最值等性质。
（2）教学过程：
问题1：已知抛物线y=x2-2x-3
①说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出该抛物线;
②填表总结二次函数的性质。
问题2：已知二次函数图像经过点（-3，0）和（1，0），且有最大值为4，求这个二次函数的关系式。（要求：运用二次函数的不同形式解决问题）
问题3：根据问题1和问题2的解决，构建二次函数知识网络图。
遵循“从特殊到一般，再从一般到特殊”的思想，构建二次函数知识网络图，如图5。 2.感悟与思考
（1）知识网络图可以将课堂教学层次推进，优化解题方法
“问题”是课堂教学的“引子”，是教学生成的认知动力，问题解决是指学生个体在面对问题时，“引发认知需要，在认知需要的驱动和导向下，使思维沿着认知需要的方向运行，由此不断推动个体知识的生成”[5]。在设计有效的数学活动时，涉及两个重要环节，即让学生明确学习任务的问题情境，以及可供学生进行有效活动的问题串。教学中要合理设置能启发学生思考的有针对性和代表性的问题，帮助学生把握数学内容的本质。作为情境导入的问题1，围绕二次函数的性质这个核心内容，结合学生的理解进程设计问题，驱动学生进行层次性探索，构建二次函数知识网络图。对二次函数的顶点、增减性等核心概念加深了理解，同时巩固了解决二次函数常用的基本方法如配方法、公式法。通过前后知识之间的联系，教师在教学时进行恰当的铺垫，从特殊到一般、由易到难，将探究二次函数的性质这一课堂教学活动层次推进，帮助学生构建数学学习的经验系统，优化学生的解題方法。
（2）知识网络图可以对数学知识进行梳理，提高解题技能
知识网络图将重要的概念和思想方法融合在一起，搭建了一个数学学习场，让学生亲历数学知识的建构过程。顶点式y=a（x-h）2 k（a≠0）与一般式y=ax2 bx c（a≠0）是初中数学教材重点研究的两种形式，这两种形式既有联系也有区别，决定二次函数性质的关键就是关系式中三个系数。问题2的解决，关键是如何建立解析式。而用待定系数法求抛物线的解析式是初中二次函数学习的一个重要内容，二次函数中许多问题的解决都是建立在正确求出解析式的基础上，运用交点式也可以解决这个问题。教学中，通过对二次函数性质探究的活动过程，将相关知识运用网络图进行梳理，完善了学生的解题思路和方法，提高了学生的解题技能。
四、结语
数学教学中，精心选择的例题和练习题，结合教学任务选择的适当的方法策略，突出了概念和命题的本质属性，不仅仅是知识与技能的传授，更是数学方法和数学思想的潜移默化渗透。通过知识网络图构建这一过程，除了梳理知识间的逻辑关系，学生更深刻地理解了知识的生成过程，逐步构建良好的数学学习的CPFS认知结构，头脑中的知识“网络化”“立体化”，数学思维自然地生长与延伸，数学认知不断地丰富，有利于数学核心素养的形成与发展。
参考文献：
[1]赵跃.初中生函数概念的应用水平及其CPFS结构现状调查及相关性研究[D].南京：南京师范大学， 2013：4.
[2]王亮亮.关注价值导向 突出知识本质 体现思维广度与深度 引导教学[J].数学通报，2019（7）：29.
[3]罗海霞.数学“生成知识”教学怎么“教”[J].数学通报，2019（7）：37.
[4]黄晓学.少教多学模式研究[M].天津：天津古籍出版社，2016：100.
[5]李祎.数学教学生成研究——一种基于认知的观点[D].南京：南京师范大学， 2007：37.
责任编辑：丁伟红
The Construction of Junior High School Mathematical Knowledge Network Diagram under the Background of CPFS
Tang Ping
（Department of Education of Haizhou Education Bureau， Lianyungang 222000， China）
Abstract： The teaching practice exploration of the construction of mathematical knowledge network diagram under the background of CPFS cognitive structure aims to enhance students’ ability to discover and ask questions， analyze and solve problems. The knowledge network diagram can promote the formation and development of students’ mathematical thinking and core abilities; it can help students clarify the knowledge and optimize system thinking; it can promote students to experience the process of knowledge construction and improve their cognitive level; it can guide students to introspect their insufficient cognition， promoting in-depth understanding.
Key words： CPFS cognitive structure; knowledge network diagram; mathematical thinking
关键词：CPFS认知结构;知识网络图;数学思维
中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）10B-0053-04
现代认知心理学认为，在影响学习的诸多因素中，认知结构是决定学习成效的一个关键和直接因素。本文主要探讨在CPFS认知结构背景下，通过构建数学知识网络图，提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养和优化学生的数学系统思维。
一、内涵阐释
2003年南京师范大学喻平等在《数学教育学报》上撰文，提出了数学学习心理的CPFS结构。文章认为，数学理论体系的基本元素是概念和命题，CPFS结构即概念域（Concept Field）、概念系（Concept System）、命題域（Proposition Field）、命题系（Proposition System）形成的结构，准确地刻画了数学知识在个体头脑中的组织形式。[1]概念和命题是数学知识的基石，知识网络图即把某一单元或某个专题所要掌握理解的概念或命题等，用连线、箭头连接起来，清晰地呈现出知识点及它们之间的联系。CPFS认知结构背景下的知识网络图构建，即根据学生CPFS认知结构的本质特征，围绕某个知识单元或专题，以网络图构建的方式呈现的教学规划和方法策略。
二、知识网络图的价值探寻
概念和命题通过推理组成了中学数学的逻辑体系。知识网络图的构建过程就是梳理、获得、组织、学习知识的过程，是培养学生学会学习的重要途径，也是培养学生发现问题、分析问题和解决问题能力的重要手段。知识网络图作为初中数学教学的一种策略，能使学生更深刻地理解知识形成与发展的过程，促进学生的灵活运用。
1.知识网络图可以帮助学生理清所学知识脉络，优化系统思维
“数学思维是学生数学素养的重要体现，数学教学要注重学生认识数学、理解数学、感悟数学的思维过程。”[2]教学中，引导学生对基础知识进行梳理，理解各部分知识在发生发展过程中的横向联系和纵向联系，理清知识之间的脉络，在头脑中形成合理的网络状知识结构。这个过程可以使知识结构化、层次化、网络化，便于学生理解和掌握。
许多学生在问题分析的过程中，往往不能迅速有效地提取相关知识来解决问题，这就使得建构有序的知识网络成为了初中数学教学的重要任务。学生在构建网络图的过程中，体会知识间的相互联系，体验数学的思想和方法，大大提高了学生在数学认知活动中的效率，促进学生形成良好高效的对内调控的认知策略。例如，在函数单元教学中，构建如图1的网络图，在学生的头脑中建立起一个层次分明、脉络清晰的函数单元知识网络，充分体现函数研究的方法和逻辑顺序，这个过程可以强化数学思维在学生头脑中的认识，优化学生的系统思维能力。
2.知识网络图可以推动学生亲历知识建构过程，提升认知水平
单元教学的核心思想是系统思维。通过知识网络图的构建，学生直观把握一个单元或主题的知识体系，构建网络图的过程就是一个持续优化思维的过程。在数学课堂教学中指导学生构建知识网络图，能够有效发挥学生的主观能动性，优化学生解决数学问题的策略，形成某类问题的解决思路，是一种高效的思维策略。
例如实数单元教学，对实数按不同的标准进行分类：从是否是有理数的角度看可以分成两大类，如图2;从符号看可以分成三大类，如图3。在分类构建的过程中让学生举例，再通过习题加以巩固。通过综合的分析、比较，有效地展示了数学思维的过程，提升了学生的认知水平。这样比单纯靠记忆来学习更能促进学生进行有意义的学习，激发学生的学习兴趣，知识运用和提取的效率当然也就更高。
3.知识网络图可以引导学生自省认知不足之处，拓展深度理解
“数学概念是数学思维的核心与逻辑起点，概念是数学教学的基础。问题解决往往催生新的数学概念，概念形成过程常常就是问题解决的过程。”[3]教学中进行知识网络图的构建，可以用来检测学生对概念的掌握和理解的程度，可以促进学生自省认知上的不足。教学中，“学生会遇到数学知识发生发展的生长点和衔接点、数学思想方法的转折点、数学思维的症结点，这些关节点、转折点、症结点都是典型的思维的生惑点，这些思维生惑点的解除必须通过发展认知能力才能实现”[4]。例如，在代数式单元中，学生列出该单元的主要概念，构建知识网络图，如图4。在这个过程中，教师有目的地通过举例，引导学生对易混淆和模糊的概念，如单项式的系数、次数，多项式的系数、项数等进行判断分析，在不断的完善补充中自省认知上的不足，拓展深度理解。
三、知识网络图在教学实践中的运用
1.案例：二次函数的性质
（1）教学目标：熟练运用公式法和配方法求出二次函数的顶点坐标、对称轴，并能运用描点法画出二次函数的图像;能根据所给条件适当选择运用一般式或顶点式求出二次函数的解析式;能结合图像理解二次函数的增减性、最值等性质。
（2）教学过程：
问题1：已知抛物线y=x2-2x-3
①说出该抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出该抛物线;
②填表总结二次函数的性质。
问题2：已知二次函数图像经过点（-3，0）和（1，0），且有最大值为4，求这个二次函数的关系式。（要求：运用二次函数的不同形式解决问题）
问题3：根据问题1和问题2的解决，构建二次函数知识网络图。
遵循“从特殊到一般，再从一般到特殊”的思想，构建二次函数知识网络图，如图5。 2.感悟与思考
（1）知识网络图可以将课堂教学层次推进，优化解题方法
“问题”是课堂教学的“引子”，是教学生成的认知动力，问题解决是指学生个体在面对问题时，“引发认知需要，在认知需要的驱动和导向下，使思维沿着认知需要的方向运行，由此不断推动个体知识的生成”[5]。在设计有效的数学活动时，涉及两个重要环节，即让学生明确学习任务的问题情境，以及可供学生进行有效活动的问题串。教学中要合理设置能启发学生思考的有针对性和代表性的问题，帮助学生把握数学内容的本质。作为情境导入的问题1，围绕二次函数的性质这个核心内容，结合学生的理解进程设计问题，驱动学生进行层次性探索，构建二次函数知识网络图。对二次函数的顶点、增减性等核心概念加深了理解，同时巩固了解决二次函数常用的基本方法如配方法、公式法。通过前后知识之间的联系，教师在教学时进行恰当的铺垫，从特殊到一般、由易到难，将探究二次函数的性质这一课堂教学活动层次推进，帮助学生构建数学学习的经验系统，优化学生的解題方法。
（2）知识网络图可以对数学知识进行梳理，提高解题技能
知识网络图将重要的概念和思想方法融合在一起，搭建了一个数学学习场，让学生亲历数学知识的建构过程。顶点式y=a（x-h）2 k（a≠0）与一般式y=ax2 bx c（a≠0）是初中数学教材重点研究的两种形式，这两种形式既有联系也有区别，决定二次函数性质的关键就是关系式中三个系数。问题2的解决，关键是如何建立解析式。而用待定系数法求抛物线的解析式是初中二次函数学习的一个重要内容，二次函数中许多问题的解决都是建立在正确求出解析式的基础上，运用交点式也可以解决这个问题。教学中，通过对二次函数性质探究的活动过程，将相关知识运用网络图进行梳理，完善了学生的解题思路和方法，提高了学生的解题技能。
四、结语
数学教学中，精心选择的例题和练习题，结合教学任务选择的适当的方法策略，突出了概念和命题的本质属性，不仅仅是知识与技能的传授，更是数学方法和数学思想的潜移默化渗透。通过知识网络图构建这一过程，除了梳理知识间的逻辑关系，学生更深刻地理解了知识的生成过程，逐步构建良好的数学学习的CPFS认知结构，头脑中的知识“网络化”“立体化”，数学思维自然地生长与延伸，数学认知不断地丰富，有利于数学核心素养的形成与发展。
参考文献：
[1]赵跃.初中生函数概念的应用水平及其CPFS结构现状调查及相关性研究[D].南京：南京师范大学， 2013：4.
[2]王亮亮.关注价值导向 突出知识本质 体现思维广度与深度 引导教学[J].数学通报，2019（7）：29.
[3]罗海霞.数学“生成知识”教学怎么“教”[J].数学通报，2019（7）：37.
[4]黄晓学.少教多学模式研究[M].天津：天津古籍出版社，2016：100.
[5]李祎.数学教学生成研究——一种基于认知的观点[D].南京：南京师范大学， 2007：37.
责任编辑：丁伟红
The Construction of Junior High School Mathematical Knowledge Network Diagram under the Background of CPFS
Tang Ping
（Department of Education of Haizhou Education Bureau， Lianyungang 222000， China）
Abstract： The teaching practice exploration of the construction of mathematical knowledge network diagram under the background of CPFS cognitive structure aims to enhance students’ ability to discover and ask questions， analyze and solve problems. The knowledge network diagram can promote the formation and development of students’ mathematical thinking and core abilities; it can help students clarify the knowledge and optimize system thinking; it can promote students to experience the process of knowledge construction and improve their cognitive level; it can guide students to introspect their insufficient cognition， promoting in-depth understanding.
Key words： CPFS cognitive structure; knowledge network diagram; mathematical thinking