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在现实生活中，“退”是一种美德，也是一种策略。在解决数学问题上，“退”是一种思维方法，也是一种解题技巧。
先看一个强盗分金的例子：
五个强盗抢到了一百个金币，但又不愿意平分，最后五个人同意先抓阄决定顺序：抓到1的是1号，抓到2的是2号，依次类推。然后由1号强盗提出分配方案，他的方案必须有所有人（包括他自己）的半数以上通过才可执行，否则他将被丢进海中喂鲨鱼，再由2号强盗提出分配方案；2号的方案也要所有剩下的人（包括他自己）的半数以上通过，否则他也将被丢进海中喂鲨鱼，依次类推。假设这五个强盗都非常理智且绝顶聪明而又一诺千金，请问，1号强盗要怎样分配才能使自己得到的金币最多？为什么？”
这是一道非常有趣的智力问题，直觉上一号很不幸，不但一无所得，还有性命之忧。但是答案会让你大吃一惊，在这里，退位思考起到了非常关键的作用。
退为最简单的情况，如果1-3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币，所以，4号惟有支持3号才能保命。3号会提（100，0，0）的分配方案，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。不过，2号推知到3号的方案，就会提出（98，0，1，1）的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。不过，2号的方案会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可落入囊中。
在解决数学问题上，如何运用退位思考呢？
一、退为简单的情形，从简单问题出发，寻找解题方法
例1.4个平面最多可以把空间分成几部分？
分析：这道题靠空间想象去得出答案是非常困难的，不妨从简单情况出发，寻找规律。一个平面把空间分成2部分，2个平面最多把空间分成4部分，此时，第二个平面和第一个平面相交，有一条交线，此交线把第二个平面分成2部分，每一部分都把其所在空间一分为二，因此，在原来的基础上多了2部分。3个平面最多把空间分成8部分，此时，第三个平面和前两个平面都相交，有两条交线，两条线最多把第三个平面分成4部分，每一部分都把其所在空间一分为二，因此，在原来的基础上多了4部分。同理，要使4个平面把空间分成最多部份，第四个平面应和前三个平面都相交，有三条交线，三条线最多把第四个平面分成7部分，每一部分都把其所在空间一分为二，因此，在原来的基础上多了7部分。因此，4个平面最多可以把空间分成15部分。
二、退为特殊情况
几乎每个学生都知道一般情况成立的命题特殊情况一定成立，但是，学生在解题过程中却往往不能很好地利用这一点。
例2.（05年，全国卷15题）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH=m（OA+OB+OC），则实数m=______。
分析：这道题用常规方法去解决有一定难度。但由题意可知，对任意△ABC，都应有OH=m（OA+OB+OC）成立，且m是一个确定的实数，因此，可用特殊三角形来求m。不能用等边三角形，因为此时OH=0，OA+OB+OC=0，不能求m。令△ABC为直角三角形，AB为斜边，则直角顶点C为两条边上的高的交点H，AB中点为外接圆的圆心O，因此，有OA+OB+OC=OC=OH，所以，m=1。
例3.（06湖南卷15题）如图，OM∥AB，点p在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动， 且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是______； 当x=- 时，y的取值范围是______。
分析：这道题用常规方法去解决思路不是很清晰，但可特殊化处理，令OA、OB为单位正交基底，则点P的坐标为（x，y），易得x的取值范围是（-∞，0）；当x=- 时，y的取值范围是（ ， ）。
三、退为问题的反面
当正面去解决问题思路不清晰或比较困难时，可从问题的反面入手，寻找突破口。
例4.已知a、b、c∈R，且a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0。求证：a>0，b>0，c>0。
分析：这道题正面去证思路不清晰，可从反面入手。由abc>0可知a≠0。假设a<0，则bc<0，b+c>-a>0，于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0。这与已知条件ab+bc+ca>0矛盾，故a>0。同理，b>0，c>0。
例5.（93全国理17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）。
A.种 B.9种 C.11种 D.23种
分析：这是4个元素的错位排列问题，正面思考有一定困难，且容易算错。但可从反面考虑，即先不考虑错位，共有A44=24种分配方式，除去不是错位的分配方式有C41×2+C42+1=15种分配方式，因此不同的分配方式有24-15=9种。
先看一个强盗分金的例子：
五个强盗抢到了一百个金币，但又不愿意平分，最后五个人同意先抓阄决定顺序：抓到1的是1号，抓到2的是2号，依次类推。然后由1号强盗提出分配方案，他的方案必须有所有人（包括他自己）的半数以上通过才可执行，否则他将被丢进海中喂鲨鱼，再由2号强盗提出分配方案；2号的方案也要所有剩下的人（包括他自己）的半数以上通过，否则他也将被丢进海中喂鲨鱼，依次类推。假设这五个强盗都非常理智且绝顶聪明而又一诺千金，请问，1号强盗要怎样分配才能使自己得到的金币最多？为什么？”
这是一道非常有趣的智力问题，直觉上一号很不幸，不但一无所得，还有性命之忧。但是答案会让你大吃一惊，在这里，退位思考起到了非常关键的作用。
退为最简单的情况，如果1-3号强盗都喂了鲨鱼，只剩4号和5号的话，5号一定投反对票让4号喂鲨鱼，以独吞全部金币，所以，4号惟有支持3号才能保命。3号会提（100，0，0）的分配方案，因为他知道4号一无所获但还是会投赞成票，再加上自己一票，他的方案即可通过。不过，2号推知到3号的方案，就会提出（98，0，1，1）的方案，即放弃3号，而给予4号和5号各一枚金币。由于该方案对于4号和5号来说比在3号分配时更为有利，他们将支持他而不希望他出局而由3号来分配。这样，2号将拿走98枚金币。不过，2号的方案会被1号所洞悉，1号并将提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放弃2号，而给3号一枚金币，同时给4号（或5号）2枚金币。由于1号的这一方案对于3号和4号（或5号）来说相比2号分配时更优，他们将投1号的赞成票，再加上1号自己的票，1号的方案可获通过，97枚金币可落入囊中。
在解决数学问题上，如何运用退位思考呢？
一、退为简单的情形，从简单问题出发，寻找解题方法
例1.4个平面最多可以把空间分成几部分？
分析：这道题靠空间想象去得出答案是非常困难的，不妨从简单情况出发，寻找规律。一个平面把空间分成2部分，2个平面最多把空间分成4部分，此时，第二个平面和第一个平面相交，有一条交线，此交线把第二个平面分成2部分，每一部分都把其所在空间一分为二，因此，在原来的基础上多了2部分。3个平面最多把空间分成8部分，此时，第三个平面和前两个平面都相交，有两条交线，两条线最多把第三个平面分成4部分，每一部分都把其所在空间一分为二，因此，在原来的基础上多了4部分。同理，要使4个平面把空间分成最多部份，第四个平面应和前三个平面都相交，有三条交线，三条线最多把第四个平面分成7部分，每一部分都把其所在空间一分为二，因此，在原来的基础上多了7部分。因此，4个平面最多可以把空间分成15部分。
二、退为特殊情况
几乎每个学生都知道一般情况成立的命题特殊情况一定成立，但是，学生在解题过程中却往往不能很好地利用这一点。
例2.（05年，全国卷15题）△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH=m（OA+OB+OC），则实数m=______。
分析：这道题用常规方法去解决有一定难度。但由题意可知，对任意△ABC，都应有OH=m（OA+OB+OC）成立，且m是一个确定的实数，因此，可用特殊三角形来求m。不能用等边三角形，因为此时OH=0，OA+OB+OC=0，不能求m。令△ABC为直角三角形，AB为斜边，则直角顶点C为两条边上的高的交点H，AB中点为外接圆的圆心O，因此，有OA+OB+OC=OC=OH，所以，m=1。
例3.（06湖南卷15题）如图，OM∥AB，点p在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动， 且OP=xOA+yOB，则x的取值范围是______； 当x=- 时，y的取值范围是______。
分析：这道题用常规方法去解决思路不是很清晰，但可特殊化处理，令OA、OB为单位正交基底，则点P的坐标为（x，y），易得x的取值范围是（-∞，0）；当x=- 时，y的取值范围是（ ， ）。
三、退为问题的反面
当正面去解决问题思路不清晰或比较困难时，可从问题的反面入手，寻找突破口。
例4.已知a、b、c∈R，且a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0。求证：a>0，b>0，c>0。
分析：这道题正面去证思路不清晰，可从反面入手。由abc>0可知a≠0。假设a<0，则bc<0，b+c>-a>0，于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc<0。这与已知条件ab+bc+ca>0矛盾，故a>0。同理，b>0，c>0。
例5.（93全国理17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）。
A.种 B.9种 C.11种 D.23种
分析：这是4个元素的错位排列问题，正面思考有一定困难，且容易算错。但可从反面考虑，即先不考虑错位，共有A44=24种分配方式，除去不是错位的分配方式有C41×2+C42+1=15种分配方式，因此不同的分配方式有24-15=9种。