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摘 要：本文以《同角三角函数的基本关系》为例，探索深度学习理念下发展学生数学核心素养的课堂教学.从研究关系、探索发现到结合最近发展区的知识生成，从题组选择到归纳反思，不断加深对知识的主动理解.紧扣深度学习理论，重视数学知识的发生、发展、形成和理解的过程性教学，通过问题链引导学生探究发现式学习，帮助学生强化归纳猜想、数学抽象的意识，形成数学建模的自觉，培养严谨推理的习惯，提升解决数学问题的综合能力。
关键词：深度学习理论;数学核心素养;数学思维
1 深度学习理论的内涵
学习是学习者经过一定特殊的、有效的练习所出现的认知、动作技能和态度情感的变化，这种变化是长期的，通过后天习得的，可分为浅层学习和深度学习，其中深度学习更注重理解和应用，强调学习者结合已有的知识结构和个人经验，在理解的基础上主动地、批判性地学习新的知识.从本质上看，深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学生能够主动地进行知识建构、有效迁移应用和有关问题的解决.因此，教师在教学中引导学生开展深度学习，对于发展学生的数学核心素养，提升学生的数学学习兴趣和思维能力有积极的促进作用，值得一线教师在教学实践中不断探索.
2 数学核心素养的内涵
教育部公布的《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》中提出，数学核心素养包含了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面.数学课堂是培养学生数学核心素养，发展学生数学思维的有效载体，在数学知识的发生、发展、形成和理解的过程中，可以帮助学生强化数学抽象的意识，形成数学建模的自觉，培养严谨推理的习惯，提升解决数学问题的能力.在数学课堂上，以发展学生的数学核心素养为目的的深度学习，更加有利于学生基于数学知识，注重内在联系的知识建构，获得主动运用数学思想方法去研究问题的能力，即学会“用数学眼光观察世界，用数学语言表达世界，用数学思维思考世界”.
3 深度学习发展数学核心素养的教学实践
章建跃认为：“为了落实核心素养，应该结合教学内容解读核心素养，并把核心素养转化為与数学教学内容紧密结合的教学目标.”在教学中，教师应深入挖掘数学教学内容的价值，弄清楚知识的发生、发展和延续，先通过追本溯源，找到学习内容与学生已有知识之间的联系，找到探究发现的切入点，然后通过设置数学情境，一步步引导学生主动地进行知识建构，发展学生的数学思维，这样才能更好地结合课堂教学落实核心素养的培养.
3.1 从研究关系发展数学学科思维
在本节习题课教学中，教师没有采用直接让学生去算平方关系和商数关系的方式来发现同角三角函数的基本关系，也没有从三角函数线的研究直接证明，而是设计了开放性的探索问题，引导学生用研究数量关系的基本思路，尝试去主动发现同角三角函数的基本关系，教学生数学学习的方法，培养学生数学抽象的核心素养.
问题1 观察下列三组三角函数值，你能发现同角的三个三角函数之间有什么数量关系吗？
教师引导学生回忆，我们经常用运算来研究数量关系，而我们熟悉的运算就是加、减、乘、除、平方和、平方差，你能通过这些运算去研究一下，每一行的三个三角函数值之间有什么联系吗？
【设计意图】运用深度学习理论，创设学生主动探究的数学情境，教学生用高中研究数量关系的基本思路进行开放性探究，由特殊到一般，归纳猜想同角三角函数的基本关系，发展学生数学抽象的核心素养.课堂上通过小组合作交流和同伴互助学习，促使同学们在这个探究过程中都有收获，根据归纳、推理和猜想，发现同角三角函数的基本关系，然后教师引导学生发现，通过简单运算得出的同角三角函数之间的基本关系，而其他运算关系都是可以由基本关系式变形得到的.在这个过程中，关注学生的研究成果，及时给予肯定，并进行分享和展示，提升学生的学习参与度和学习兴趣.通过这样的探究性学习，不断强化学生的数学学科思维，发展学生的数学核心素养.
3.2 从最近发展区找到知识的内在联系
问题2 你能用所学的知识证明你的猜想吗？你会联想到哪些知识？
【设计意图】运用深度学习理论中的最近发展区理论，启发学生注重新旧知识的联系，将所学知识纳入已有的知识体系，不断优化数学认知结构.联系任意角三角函数的定义，借助单位圆中的三角函数线，从数形结合的角度直观感知，然后严格证明同角三角函数的基本关系式.请学生运用数形结合的方法对猜想进行说理证明，完成对同角三角函数基本关系的第一次认识.通过对轴线角的研究，发展学生思维的严谨性，学生探索获得同角三角函数的两个基本关系，教师引导完善，完成教学重点.探究和证明的过程是学生体验、认知和内化知识和思想方法的过程，同时也培养学生解决问题的数学思维，发展学生逻辑推理的核心素养.
问题3 当角α的终边与坐标轴重合时，等式也成立吗？两个等式适用的范围是什么？
【设计意图】学生经过共同分析、合作交流，得出同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.教师板书课题并分析同角三角函数基本关系式的结构特征，体会数学中变与不变，无限与有限之间的辩证联系，感受数学的美.
问题4 请判断下列等式是否成立？你能谈谈对“同角”的理解吗？
【设计意图】通过概念辨析，强化学生对同角三角函数基本关系式结构的认知，教师给出从数到字母再到式子的变化，加深学生对同角的认识.教师引导学生归纳出“同角”的两层含义：一是角相同，二是对任意有意义的角，基本关系式都成立.将同角三角函数基本关系的研究从推导证明过渡到研究本质，由感性认识上升到理性认识，完成对同角三角函数基本关系的第二次认识，加深对“同角”含义的理解，突破教学难点.在同角三角函数基本关系的发现过程中，渗透数形结合的思想方法，感受数与形的完美统一.通过对同角三角函数基本关系式的结构分析，体会变与不变，无限与有限之间的辩证联系，感受数学公式的结构美，获得美好的学习情感体验. 3.3 以素养为导向的题组设计
根据建构主义和深度学习的理论，任何知识的探究源头来源于“问题”，在课堂教学中，创设问题情境还包括选择适合的题组来促进学生思维和能力的提升.课堂知识内容的设计是促进深度学习的根本，内容设计得详略得当，有的放矢才能提升知识的内在吸引力，而题组设计更有利于学生对知识变化发展的认知，通过知识的内在联系和发展，引导学生在解决问题中自然而然地进行归纳和总结，发展学生的核心素养.让学生真正参与进来，是促进深度学习的外在动力，因此一方面习题的选择应该具有问题性、开放性，另一方面借助题组的变式，加强知识与方法之间的关联性，可以发展学生的数学思维和核心素养.
【设计意图】深度学习强调学习者结合已有的知识结构和个人经验，主动建构新知识与原有知识之间的联系.例题1的设置以同角三角函数的基本关系为基础，以方程为核心思想，旨在帮助学生从方程的角度认识同角基本关系，明确“知一求二”的基本方法，进而从正向以方程渗透消元思想，逆向以“齊次分式”结构的观察，探索出“弦化切”的适用情况和技巧.通过例题及变式的层层深入，引导学生联系已有的数学知识、数学思想方法，形成不同的解题方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
问题5 观察分式的结构特点，想一想，什么样的式子可以使用构造法来完成弦化切？
【设计意图】深度学习发生在教师设置的数学情境中，教师有效的引导，有利于学生思维的发展和核心能力的提升.三种解题方法有利于学生结合知识的最近发展去主动建构和完善解题思维，将多种方法融会贯通，提升数学思维能力.避免盲目地解题练习，而让知识和解题方法的产生水到渠成，更有利于发展学生的逻辑推理能力和数学运算能力.变式练习使得学生对商数关系的作用和同角三角函数中的“弦切互化”有了更深层次的思考和认识.教师可以追问，一定要是一次的齐次分式吗？如果是二次的齐次分式行不行？结合变式，学生探索出应该“同时除以cos2α（cos α≠0）”来构造“弦化切”？
题组式的题目设计有利于学生开展深度学习，对知识的联系比单纯练习再总结，体会更深刻，知识的内化效果好，有利于学生获得成功的学习体验.教师再给出变式5，将问题转化成弦的二次整式，让学生再分析是否可以用构造法完成“弦化切”，又延伸出“1”的恒等变换，培养学生转化与化归的数学思想，也让学生感受到数学知识运用的巧妙.
例2.化简（1+tan2α）·cos2α.
【设计意图】深度学习理论重视学生的自主学习，对于学生可以自主完成的内容，教师不需要讲也不用花费过多的时间，该例题由学生独立完成，然后讲解思路分析和做法，让学生跳一跳可以够到果子.教师需要引导学生对三角函数化简进行归纳总结，加强知识与方法之间的联系，使学生的数学运算能力获得提升.
4 实践反思
深度学习理论在数学课堂教学中的应用，首先需要老师树立学习观和教学观，精心准备才能保证教学活动的顺利开展.充分挖掘教学内容对核心素养培养的价值，根据课标的要求，在每一节数学课中贯彻落实核心素养的培养.深度学习理论能够很好地帮助学生建立知识之间的联系和优化数学认知结构.知识点的拓展要有度，能够让学生理解和接受，获得积极的学习体验，拓展延伸要根据学生的实际情况来制定教学计划.通过合作学习可以帮助不同程度的学生获得自己的提升，同时构建知识网络，对于提升学生的数学核心素养和优化数学认知结构有积极的作用.
在课堂教学中，还可以再进行优化的是：给学生更多自主学习的空间，增加一些动手实践和操作，通过调整教学形式，让课堂多一些趣味，这样学生学习的积极性会更高.在学习过程中，师生是合作互助的关系，多些互动交流会促进建立和谐的师生关系，教师对于学生过程性的表现，要及时给予积极的反馈，肯定学生的努力和取得的进步，对于学生提出的问题，要帮助学生寻求解决办法，鼓励学生不断进步，这样学生也会更积极努力地参与到教学活动中来，在寻求答案的过程中，学生的核心素养得到了锻炼.
实践证明，基于深度学习理论发展学生的数学核心素养是有效的，值得一线教师不断钻研，在积极践行中，总结出行之有效的做法并推广，使学生在数学学习中获得更多的数学能力提升.新时代需要的人才是具备良好的学习能力，能够不断提升自己，解决实际问题，同时又富有想象力和创造力，能与他人交流合作并迅速接受新知识和利用新技术的高素质人才，这些都要求我们能够终身学习和深度学习.在新形势下，我们需要不断优化教学方式，通过深度学习不断加强对学生核心素养的培养、提高学生的综合素质.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]何晓萍，沈雅云.深度学习的研究现状与发展[J].现代情报，2017.37（2）.
[3]石志群.对数学核心素养几个问题的思辨[J].中学教育教学，2016（11）：15-21.
[4]王文明.促进深度学习的高中数学课堂教学行为研究[D].苏州：苏州大学，2013.
[5]曾家延，董泽华.学生深度学习的内涵与培养路径研究[J].基础教育，2017（4）：14.
关键词：深度学习理论;数学核心素养;数学思维
1 深度学习理论的内涵
学习是学习者经过一定特殊的、有效的练习所出现的认知、动作技能和态度情感的变化，这种变化是长期的，通过后天习得的，可分为浅层学习和深度学习，其中深度学习更注重理解和应用，强调学习者结合已有的知识结构和个人经验，在理解的基础上主动地、批判性地学习新的知识.从本质上看，深度学习是一种主动的、探究式的、理解性的学习方式，要求学生能够主动地进行知识建构、有效迁移应用和有关问题的解决.因此，教师在教学中引导学生开展深度学习，对于发展学生的数学核心素养，提升学生的数学学习兴趣和思维能力有积极的促进作用，值得一线教师在教学实践中不断探索.
2 数学核心素养的内涵
教育部公布的《中国学生发展核心素养（征求意见稿）》中提出，数学核心素养包含了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面.数学课堂是培养学生数学核心素养，发展学生数学思维的有效载体，在数学知识的发生、发展、形成和理解的过程中，可以帮助学生强化数学抽象的意识，形成数学建模的自觉，培养严谨推理的习惯，提升解决数学问题的能力.在数学课堂上，以发展学生的数学核心素养为目的的深度学习，更加有利于学生基于数学知识，注重内在联系的知识建构，获得主动运用数学思想方法去研究问题的能力，即学会“用数学眼光观察世界，用数学语言表达世界，用数学思维思考世界”.
3 深度学习发展数学核心素养的教学实践
章建跃认为：“为了落实核心素养，应该结合教学内容解读核心素养，并把核心素养转化為与数学教学内容紧密结合的教学目标.”在教学中，教师应深入挖掘数学教学内容的价值，弄清楚知识的发生、发展和延续，先通过追本溯源，找到学习内容与学生已有知识之间的联系，找到探究发现的切入点，然后通过设置数学情境，一步步引导学生主动地进行知识建构，发展学生的数学思维，这样才能更好地结合课堂教学落实核心素养的培养.
3.1 从研究关系发展数学学科思维
在本节习题课教学中，教师没有采用直接让学生去算平方关系和商数关系的方式来发现同角三角函数的基本关系，也没有从三角函数线的研究直接证明，而是设计了开放性的探索问题，引导学生用研究数量关系的基本思路，尝试去主动发现同角三角函数的基本关系，教学生数学学习的方法，培养学生数学抽象的核心素养.
问题1 观察下列三组三角函数值，你能发现同角的三个三角函数之间有什么数量关系吗？
教师引导学生回忆，我们经常用运算来研究数量关系，而我们熟悉的运算就是加、减、乘、除、平方和、平方差，你能通过这些运算去研究一下，每一行的三个三角函数值之间有什么联系吗？
【设计意图】运用深度学习理论，创设学生主动探究的数学情境，教学生用高中研究数量关系的基本思路进行开放性探究，由特殊到一般，归纳猜想同角三角函数的基本关系，发展学生数学抽象的核心素养.课堂上通过小组合作交流和同伴互助学习，促使同学们在这个探究过程中都有收获，根据归纳、推理和猜想，发现同角三角函数的基本关系，然后教师引导学生发现，通过简单运算得出的同角三角函数之间的基本关系，而其他运算关系都是可以由基本关系式变形得到的.在这个过程中，关注学生的研究成果，及时给予肯定，并进行分享和展示，提升学生的学习参与度和学习兴趣.通过这样的探究性学习，不断强化学生的数学学科思维，发展学生的数学核心素养.
3.2 从最近发展区找到知识的内在联系
问题2 你能用所学的知识证明你的猜想吗？你会联想到哪些知识？
【设计意图】运用深度学习理论中的最近发展区理论，启发学生注重新旧知识的联系，将所学知识纳入已有的知识体系，不断优化数学认知结构.联系任意角三角函数的定义，借助单位圆中的三角函数线，从数形结合的角度直观感知，然后严格证明同角三角函数的基本关系式.请学生运用数形结合的方法对猜想进行说理证明，完成对同角三角函数基本关系的第一次认识.通过对轴线角的研究，发展学生思维的严谨性，学生探索获得同角三角函数的两个基本关系，教师引导完善，完成教学重点.探究和证明的过程是学生体验、认知和内化知识和思想方法的过程，同时也培养学生解决问题的数学思维，发展学生逻辑推理的核心素养.
问题3 当角α的终边与坐标轴重合时，等式也成立吗？两个等式适用的范围是什么？
【设计意图】学生经过共同分析、合作交流，得出同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.教师板书课题并分析同角三角函数基本关系式的结构特征，体会数学中变与不变，无限与有限之间的辩证联系，感受数学的美.
问题4 请判断下列等式是否成立？你能谈谈对“同角”的理解吗？
【设计意图】通过概念辨析，强化学生对同角三角函数基本关系式结构的认知，教师给出从数到字母再到式子的变化，加深学生对同角的认识.教师引导学生归纳出“同角”的两层含义：一是角相同，二是对任意有意义的角，基本关系式都成立.将同角三角函数基本关系的研究从推导证明过渡到研究本质，由感性认识上升到理性认识，完成对同角三角函数基本关系的第二次认识，加深对“同角”含义的理解，突破教学难点.在同角三角函数基本关系的发现过程中，渗透数形结合的思想方法，感受数与形的完美统一.通过对同角三角函数基本关系式的结构分析，体会变与不变，无限与有限之间的辩证联系，感受数学公式的结构美，获得美好的学习情感体验. 3.3 以素养为导向的题组设计
根据建构主义和深度学习的理论，任何知识的探究源头来源于“问题”，在课堂教学中，创设问题情境还包括选择适合的题组来促进学生思维和能力的提升.课堂知识内容的设计是促进深度学习的根本，内容设计得详略得当，有的放矢才能提升知识的内在吸引力，而题组设计更有利于学生对知识变化发展的认知，通过知识的内在联系和发展，引导学生在解决问题中自然而然地进行归纳和总结，发展学生的核心素养.让学生真正参与进来，是促进深度学习的外在动力，因此一方面习题的选择应该具有问题性、开放性，另一方面借助题组的变式，加强知识与方法之间的关联性，可以发展学生的数学思维和核心素养.
【设计意图】深度学习强调学习者结合已有的知识结构和个人经验，主动建构新知识与原有知识之间的联系.例题1的设置以同角三角函数的基本关系为基础，以方程为核心思想，旨在帮助学生从方程的角度认识同角基本关系，明确“知一求二”的基本方法，进而从正向以方程渗透消元思想，逆向以“齊次分式”结构的观察，探索出“弦化切”的适用情况和技巧.通过例题及变式的层层深入，引导学生联系已有的数学知识、数学思想方法，形成不同的解题方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养.
问题5 观察分式的结构特点，想一想，什么样的式子可以使用构造法来完成弦化切？
【设计意图】深度学习发生在教师设置的数学情境中，教师有效的引导，有利于学生思维的发展和核心能力的提升.三种解题方法有利于学生结合知识的最近发展去主动建构和完善解题思维，将多种方法融会贯通，提升数学思维能力.避免盲目地解题练习，而让知识和解题方法的产生水到渠成，更有利于发展学生的逻辑推理能力和数学运算能力.变式练习使得学生对商数关系的作用和同角三角函数中的“弦切互化”有了更深层次的思考和认识.教师可以追问，一定要是一次的齐次分式吗？如果是二次的齐次分式行不行？结合变式，学生探索出应该“同时除以cos2α（cos α≠0）”来构造“弦化切”？
题组式的题目设计有利于学生开展深度学习，对知识的联系比单纯练习再总结，体会更深刻，知识的内化效果好，有利于学生获得成功的学习体验.教师再给出变式5，将问题转化成弦的二次整式，让学生再分析是否可以用构造法完成“弦化切”，又延伸出“1”的恒等变换，培养学生转化与化归的数学思想，也让学生感受到数学知识运用的巧妙.
例2.化简（1+tan2α）·cos2α.
【设计意图】深度学习理论重视学生的自主学习，对于学生可以自主完成的内容，教师不需要讲也不用花费过多的时间，该例题由学生独立完成，然后讲解思路分析和做法，让学生跳一跳可以够到果子.教师需要引导学生对三角函数化简进行归纳总结，加强知识与方法之间的联系，使学生的数学运算能力获得提升.
4 实践反思
深度学习理论在数学课堂教学中的应用，首先需要老师树立学习观和教学观，精心准备才能保证教学活动的顺利开展.充分挖掘教学内容对核心素养培养的价值，根据课标的要求，在每一节数学课中贯彻落实核心素养的培养.深度学习理论能够很好地帮助学生建立知识之间的联系和优化数学认知结构.知识点的拓展要有度，能够让学生理解和接受，获得积极的学习体验，拓展延伸要根据学生的实际情况来制定教学计划.通过合作学习可以帮助不同程度的学生获得自己的提升，同时构建知识网络，对于提升学生的数学核心素养和优化数学认知结构有积极的作用.
在课堂教学中，还可以再进行优化的是：给学生更多自主学习的空间，增加一些动手实践和操作，通过调整教学形式，让课堂多一些趣味，这样学生学习的积极性会更高.在学习过程中，师生是合作互助的关系，多些互动交流会促进建立和谐的师生关系，教师对于学生过程性的表现，要及时给予积极的反馈，肯定学生的努力和取得的进步，对于学生提出的问题，要帮助学生寻求解决办法，鼓励学生不断进步，这样学生也会更积极努力地参与到教学活动中来，在寻求答案的过程中，学生的核心素养得到了锻炼.
实践证明，基于深度学习理论发展学生的数学核心素养是有效的，值得一线教师不断钻研，在积极践行中，总结出行之有效的做法并推广，使学生在数学学习中获得更多的数学能力提升.新时代需要的人才是具备良好的学习能力，能够不断提升自己，解决实际问题，同时又富有想象力和创造力，能与他人交流合作并迅速接受新知识和利用新技术的高素质人才，这些都要求我们能够终身学习和深度学习.在新形势下，我们需要不断优化教学方式，通过深度学习不断加强对学生核心素养的培养、提高学生的综合素质.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]何晓萍，沈雅云.深度学习的研究现状与发展[J].现代情报，2017.37（2）.
[3]石志群.对数学核心素养几个问题的思辨[J].中学教育教学，2016（11）：15-21.
[4]王文明.促进深度学习的高中数学课堂教学行为研究[D].苏州：苏州大学，2013.
[5]曾家延，董泽华.学生深度学习的内涵与培养路径研究[J].基础教育，2017（4）：14.