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摘要：随着鹊桥中继卫星的顺利入轨，媒体报道该卫星是在绕地月系统的拉格朗日点L2的晕轨道上运行的。教辅和测练上有关在晕轨道上运动的卫星的问题和习题也多了起来，但很多学生，甚至老师对什么是晕轨道，晕轨道是否唯一，在晕轨道上运动的卫星是否只由万有引力提供向心力，以及在晕轨道上运行卫星为什么需要自带动力以修正和保持轨道等问题不甚清楚。笔者尝试对上述问题进行分析，总结的文字和读者共享。
关键词：地月系统、拉格朗日点、鹊桥中继卫星、圆周运动、向心力、HALO轨道
地月系统共有五个拉格朗日点，如图1 中的L1、L2、L3、L4、L5所示，当卫星处于地月系统拉格朗日点上时，会在地球与月球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动。若要观察月球的背面，就需要向拉格朗日点L2附近发射卫星，我国的鹊桥中继卫星要到达的地方就是这个L2点，但是L2点处在地月连线上月球背面一侧，距离月球较近，月球本身又有一定的大小，因此中继卫星发出的信号，仍然会被月球挡住。为解决这个问题，科学家把中继卫星设计成绕拉格朗日点L运动，见右边的示意图，这样就能保证卫星既可以看到月球背面，同時又不影响它向地球发射信号。我们可以把中继卫星看成绕L2点做圆周运动的同时，还随月球一起同步绕地球做圆周运动，它实际的运动是这两个运动的合运动，最终合成的轨道不是圆周，但从地球上看起来，卫星的轨道是月球背后的一个圆环，从视觉上看就好象月晕一样，故取名叫晕轨道，也叫Halo轨道。卫星在Halo轨道上运动时相对于地球和月球的位置图2。
如果中继卫星真的处于L2点，那么它随月球同步绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球和月球对卫星的万有引力的合力提供，圆周运动的圆心就是地心，圆周运动的半径就是地心到L2点的距离（R1+R2），圆周运动的周期就是月球绕地球的周期。现在问题来了，在Halo轨道运行的中继卫星既绕地球运动，同时还绕L2点运动，那么做这两个圆周运动的的向心力又分别来源于什么呢？有人认为是地球和月球对卫星的引力指向地心的分量之和提供卫星绕地心做圆周运动的向心力，而这两个引力指向L2点的分量之和提供卫星绕L2点做圆周运动的向心力，实际上这种说法是错误的。
为分析这个问题，设地球质量为M地，月球质量为M月，卫星质量为m，距离和角度关系见图2。因为卫星在与地月连线垂直的平面上绕拉格朗日点L2做圆周运动，由图知：地球、月球对卫星的引力的合力不可能向点L2，应该是这两个引力指向拉格朗日点L2的分量之和提供了卫星绕点L2做圆周运动的向心力。由于地球离卫星较远，而卫星绕L2点运动的圆周半径不太大（理论上只要大于月球半径即可，一般在3500km以上），所以α角很小（查资料得知小于1.5o），也就是地球与卫星的连线几乎与卫星绕L2点做圆周运动的平面垂直！而月球离卫星较近，所以月球对卫星的引力方向与图2 中的小圆平面不垂直，月球引力沿卫星与L2连线方向的分量就近似看作卫星绕L2运动的向心力（此处忽略了地球引力在这个方向的分量，因为地球距离卫星很远，同时地球对月球的引力几乎与卫星的晕轨道面垂直，地球对卫星的引力指向L2是非常小的），所以卫星绕拉格朗日点L2运动的向心力可以看成就是由月球对卫星的引力指向L2的分量提供，卫星绕L2点做圆周运动的周期T可由向心力公式得出，请看下面的推导：
接下来的问题是，卫星随月球同步绕地心运动的向心力又来源于什么呢？是不是就由地球和月球对卫星的引力指向地心的分量之和来提供中继卫星绕地球运动的向心力了呢？分析的结果是不可能！
我们先分析如果卫星处于拉格朗日点L2随月球同步绕地球做圆周运动时所需要向心力：
再分析卫星处在“Halo”轨道上时所受的两个引力指向地心的分量之和Fn2，因为α 角很小，所以d1≈d1cosα≈（R1+R2），也就是地球对卫星的引力可看成大小与卫星在拉格朗日点L2上所受的差不多，但月球对卫星的引力显然要比卫星在拉格朗日点L2上时要小得多（因为卫星离月球的距离比卫星处在L2点时要远一些），所以两个引力指向地心的分量之和不足于提供中继卫星随月球同步绕地球运动的向心力，这就需要卫星自带额外的动力进行弥补，具体分析如下：
卫星所受的两个引力指向地心的分量之和Fn2不足以提供卫星绕地球转动的所需的向心力，为保证卫星随月球绕地心做大圆运动时的向心力大小几乎不变，则必须由卫星喷气提供指向地心的推力F额外来补充，也就是卫星处于“Halo”轨道上时必须自带额外的动力，以保证卫星具有控制在晕轨道上运动的能力。
参考文献：
[1] 李言俊《利用拉格朗日点的深空探测技术》2.2拉格朗日点的动力学，5.1晕（Halo）轨道的计算方法西北工业大学出版社ISBN编号：9787561241813
[2] 周衍柏《理论力学教程》第3 版，高等教育出版社，ISBN编号：9787040264913，1.9有心力
作者简介：
周忠华，男，1972年 10月 6日生，1992年毕业于华东师范大学物理系，本科双学位，云南省玉溪第一中学高级教师，云南省省级骨干教师，玉溪市兴玉教学名师，长期在高中物理一线从事教学工作，在国家重点期刊发表过多篇论文，其中就包括1999年 3月发表在《中学物理》上的《一道电磁学题的解》和2007年 9月发表在《物理教学探讨》上的《带电粒子在电场中的运动归类》等文章。
关键词：地月系统、拉格朗日点、鹊桥中继卫星、圆周运动、向心力、HALO轨道
地月系统共有五个拉格朗日点，如图1 中的L1、L2、L3、L4、L5所示，当卫星处于地月系统拉格朗日点上时，会在地球与月球的共同引力作用下，几乎不消耗燃料而保持与月球同步绕地球做圆周运动。若要观察月球的背面，就需要向拉格朗日点L2附近发射卫星，我国的鹊桥中继卫星要到达的地方就是这个L2点，但是L2点处在地月连线上月球背面一侧，距离月球较近，月球本身又有一定的大小，因此中继卫星发出的信号，仍然会被月球挡住。为解决这个问题，科学家把中继卫星设计成绕拉格朗日点L运动，见右边的示意图，这样就能保证卫星既可以看到月球背面，同時又不影响它向地球发射信号。我们可以把中继卫星看成绕L2点做圆周运动的同时，还随月球一起同步绕地球做圆周运动，它实际的运动是这两个运动的合运动，最终合成的轨道不是圆周，但从地球上看起来，卫星的轨道是月球背后的一个圆环，从视觉上看就好象月晕一样，故取名叫晕轨道，也叫Halo轨道。卫星在Halo轨道上运动时相对于地球和月球的位置图2。
如果中继卫星真的处于L2点，那么它随月球同步绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球和月球对卫星的万有引力的合力提供，圆周运动的圆心就是地心，圆周运动的半径就是地心到L2点的距离（R1+R2），圆周运动的周期就是月球绕地球的周期。现在问题来了，在Halo轨道运行的中继卫星既绕地球运动，同时还绕L2点运动，那么做这两个圆周运动的的向心力又分别来源于什么呢？有人认为是地球和月球对卫星的引力指向地心的分量之和提供卫星绕地心做圆周运动的向心力，而这两个引力指向L2点的分量之和提供卫星绕L2点做圆周运动的向心力，实际上这种说法是错误的。
为分析这个问题，设地球质量为M地，月球质量为M月，卫星质量为m，距离和角度关系见图2。因为卫星在与地月连线垂直的平面上绕拉格朗日点L2做圆周运动，由图知：地球、月球对卫星的引力的合力不可能向点L2，应该是这两个引力指向拉格朗日点L2的分量之和提供了卫星绕点L2做圆周运动的向心力。由于地球离卫星较远，而卫星绕L2点运动的圆周半径不太大（理论上只要大于月球半径即可，一般在3500km以上），所以α角很小（查资料得知小于1.5o），也就是地球与卫星的连线几乎与卫星绕L2点做圆周运动的平面垂直！而月球离卫星较近，所以月球对卫星的引力方向与图2 中的小圆平面不垂直，月球引力沿卫星与L2连线方向的分量就近似看作卫星绕L2运动的向心力（此处忽略了地球引力在这个方向的分量，因为地球距离卫星很远，同时地球对月球的引力几乎与卫星的晕轨道面垂直，地球对卫星的引力指向L2是非常小的），所以卫星绕拉格朗日点L2运动的向心力可以看成就是由月球对卫星的引力指向L2的分量提供，卫星绕L2点做圆周运动的周期T可由向心力公式得出，请看下面的推导：
接下来的问题是，卫星随月球同步绕地心运动的向心力又来源于什么呢？是不是就由地球和月球对卫星的引力指向地心的分量之和来提供中继卫星绕地球运动的向心力了呢？分析的结果是不可能！
我们先分析如果卫星处于拉格朗日点L2随月球同步绕地球做圆周运动时所需要向心力：
再分析卫星处在“Halo”轨道上时所受的两个引力指向地心的分量之和Fn2，因为α 角很小，所以d1≈d1cosα≈（R1+R2），也就是地球对卫星的引力可看成大小与卫星在拉格朗日点L2上所受的差不多，但月球对卫星的引力显然要比卫星在拉格朗日点L2上时要小得多（因为卫星离月球的距离比卫星处在L2点时要远一些），所以两个引力指向地心的分量之和不足于提供中继卫星随月球同步绕地球运动的向心力，这就需要卫星自带额外的动力进行弥补，具体分析如下：
卫星所受的两个引力指向地心的分量之和Fn2不足以提供卫星绕地球转动的所需的向心力，为保证卫星随月球绕地心做大圆运动时的向心力大小几乎不变，则必须由卫星喷气提供指向地心的推力F额外来补充，也就是卫星处于“Halo”轨道上时必须自带额外的动力，以保证卫星具有控制在晕轨道上运动的能力。
参考文献：
[1] 李言俊《利用拉格朗日点的深空探测技术》2.2拉格朗日点的动力学，5.1晕（Halo）轨道的计算方法西北工业大学出版社ISBN编号：9787561241813
[2] 周衍柏《理论力学教程》第3 版，高等教育出版社，ISBN编号：9787040264913，1.9有心力
作者简介：
周忠华，男，1972年 10月 6日生，1992年毕业于华东师范大学物理系，本科双学位，云南省玉溪第一中学高级教师，云南省省级骨干教师，玉溪市兴玉教学名师，长期在高中物理一线从事教学工作，在国家重点期刊发表过多篇论文，其中就包括1999年 3月发表在《中学物理》上的《一道电磁学题的解》和2007年 9月发表在《物理教学探讨》上的《带电粒子在电场中的运动归类》等文章。