对于一些数学问题，当我们就整个问题而言不易发现其结论时，可以先考查问题的一些个别特殊情形，根据这些个别特殊情形的结论去归纳猜想出问题的一般性结论再行证明；或者根据这些个别特殊情形的解证方法去寻找解决问题的一般性方法，从而使问题得以解决。
　　例1：是否存在常数a、b、c使得等式：
　　对于一切正整数n成立？证明你的结论。（89年高考题）
　　分析：本题一要回答常数a、b、c是否存在，二要证明回答。假如这样的常数存在的话，由于它对一切正整数n成立，当然对n=1、2、3成立，因此可以用1、2、3这三个特殊数去寻找常数a、b、c，然后再证明这样的a、b、c对于一切正整数n成立。
　　解：假设这样的常数a、b、c存在，则要求等式对一切正整数n成立，必然对整数1、2、3成立，因此必有：
　　成立，即
　　这说明，若等式对正整数k成立，则等式对正整数k+1也成立。∴存在常数a=3、b=11、c=10使得等式
　　对于一切正整数n成立。
　　例2：平面上有n（n≥3）个圆，其中任何两个圆都相交于不同两点，任何三个圆都不经过同一点，记f（n） 为这n个圆把平面分成的区域数。求f（n）的解析表达式。
　　分析：本题就一般的n很难发现结论，本来n≥3，为了寻找规律，我们不妨从n=1、2、3、4开始寻找规律，特别要注意圆的增加对平面区域的增加的影响规律。
　　解：显然f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，当圆从3个增加到4个时，增加的这个圆与前3 个圆有2 3=6个交点，这6个交点 把增加的这个圆分成了6段弧，而每段弧都把它所在的平面区域一分为二，因此有f（4）=f（3）+2 3； 一般地，当圆从k个增加到k+1个时，增加的这个圆与前k个圆有2k个交点，这2k个交点把增加的这个圆分成2k段弧，这2k段弧把它们所在的平面区域一分为二，即f（k+1）=f（k）+2k…①
　　今在①式中取k=1、2、3、…、n-1得n-1个等式相加得：
　　f（n）=f（1）+2（1+2+3+…+n-1）即 = -n+2为所求。
　　*例3：对于给定的正整数n，记 为|x|+|y|　　分析：对于一般的正整数n本题十分抽象难于找到问题的结论所在。不妨先考查n=1、2、3、4这几个特殊值有何结论，从中发现规律再抽象归纳到 。
　　解：显然|x|+|y|<1有且只有一组整数解（0，0）即 =1；而|x|+|y|<2除了 组整数解外，还有（0，±1）、（±1，0）这4组整数解，即 = +4= +4 1；而|x|+|y|<3除了 组整数解外，还有（0，±2）、（±2，0）、（-1，±1）、（1，±1）这8组整数解，即 = +8= +4 2；|x|+|y|<4除了 组整数解外还有（0，±3）、（±3，0）、（-1，±2）、（1，±2），（-2，±1）、（2，±1）这12组整数解，即 = +12= +4 3；一般地，对于正整数k，|x|+|y|　　将这n-1个等式相加得到：