本文主要研究了有限域上L-函数和正规基.　　 在第一章引言里,我们在第一节里介绍了有限域上的指数和与L-函数,以及L-函数的牛顿多边形,泛牛顿多边形和牛顿多边形的下界-霍奇多边形.在第二节里介绍了有限域上的正规多项式,并且提出我们主要研究的问题:n次正规多项式集合与n次迹非零的首一不可约多项式集合相等的充要条件.　　 在第二章里,我们主要研究了在Iwaniec关于Laplace-Beltrami算子作用在г0(p)的自守函数的小特征值估计工作中出现的一族Laurent多项式F(a,b,c)(x,y,z)的指数和以及L-函数进行了细致的分析.我们详细讨论了F(a,b,c)(x,y,z)的L-函数的零点和极点的算术性质.利用Dwork的p-adic理论和万大庆关于L-函数的分解定理,我们得到F(a,b,c)(x,y,z)的L-函数的牛顿多边形当(a,b,c)在F3q的一个Zariski开集上达到下界.并且这个Zariski开集为一个所谓的Hasse的多项式的零点的补,进一步的我们求出了这个Hasse多项式.　　 在第三章中,我们研究了有限域上的正规基和正规多项式.有限域Fq上的所有n次正规多项式集合是包含在Fq上的n次非零迹的首一多项式集合里的,但是这两个集合什么时候恰好相等,是一个有意义的问题.Perlis,Pei与Chang等人分别在文献[54][53],[16]研究了这个问题.综合起来可以得到Fq上的n次正规多项式集合等于Fq上的n次非零迹的首一多项式集合当且仅当n为p的方幂或n为不等于p的素数且q是n的原根.在本文中,我们利用正规多项式和迹非零的首一不可约多项式的计数公式,给出上面问题的一个统一的简单证明.