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亚纯函数的值分布和唯一性理论是复分析中的一个重要研究课题,国内外许多学者对此已经做出了大量卓越的贡献,并得到了很多重要的成果.本文主要研究亚纯函数差分多项式的值分布和唯一性.全文共分四个部分来阐述这些问题.第一部分,介绍了一些亚纯函数差分多项式的值分布和唯一性理论的研究背景,现有成果以及本文的主要结果.第二部分,对于Nevanlinna理论的基本知识和简单记号作了介绍,并叙述了亚纯函数的值分布和唯一性理论的基本概念和结果.第三部分,利用Nevanlinna理论研究了零级的亚纯函数的q-差分多项式的值分布.主要得到了以下结果,该结果改进了定理D中n37和定理E中的n38.定理3.1.1假设f(z)是零级超越亚纯函数(超越整函数),a)(z是f的非零小函数.m是非负整数,n是正整数,a,q是非零复常数.当n35时,则()(())[()()]()n mf z f z-a f qz+c-f z-az有无穷多个零点.定理3.1.2假设f(z)是零级超越亚纯函数,a,q是非零复常数.当n35时,则()[()()]nf z+a f qz+c-f z取每个有穷非零复数b无穷多次.第四部分,运用Nevanlinna理论研究亚纯函数差分多项式的值分布和唯一性,改进了先前已知的一些结果.首先考虑了差分多项式的值分布,主要证明了定理4.1.1和4.1.2.定理4.1.1假设f是零级超越亚纯函数,a)(z是f的非零小函数,q为非零复常数.当n34时,则()()()nf z f qz+c-az有无穷多个零点.当q=1时,结论对有限级的超越亚纯函数也成立.定理4.1.1将定理A中的条件n36改进为n34,如下例4.1.1说明该条件不能再改进.定理4.1.2假设f是零级超越亚纯函数,a)(z是f的小函数,a,q为非零复常数.当n34时,则()()()nf z+af qz+c-az有无穷多个零点.当q=1时,结论对有限级的超越亚纯函数也成立.如下例4.1.2说明定理4.1.2中的条件是最佳的.其次我们考虑差分多项式的唯一性,证明了定理4.1.5-4.1.7.定理4.1.5假设f(z)和g(z)是零级超越亚纯函数,q为非零复常数,且n36.如果()()nf z f qz和()()ng z g qz计重数分担1,￥,则1()(),1nf z tg z t+o=.定理4.1.5将定理D1中的条件n38改进为n36.定理4.1.6假设f,g是零级超越整函数,q为非零复常数,且n35.如果()(()1)()nf z f z-f qz和()(()1)()ng z g z-g qz计重数分担1,则f(z)og(z).定理4.1.6将定理E1中的条件n36改进为n35.定理4.1.7假设f,g是零级超越整函数,m,n+?,且n3m+4.如果()(())()n mf z f z-a f qz+c和()(())()n mg z g z-a g qz+c计重数分担非零多项式P(z),则f(z)og(z).定理4.1.7将定理F1中的条件n3m+5改进为n3m+4.