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本文研究了广义k次高斯和的均值及欧拉数的一些同余式问题.通过研究广义二次高斯和的四次均值,得到与Weil估计相联系的一个有趣的恒等式.根据这一恒等式,我们解决了广义二次高斯和高次均值方面的一个公开问题.利用剩余系和特征和的性质,我们还给出了广义k次高斯和的一些准确的均值公式,从而部分解决了广义k次高斯和高次均值方面的一个公开问题.最后,利用欧拉数、伯努利数及其多项式之间的关系和性质,我们对欧拉数的两个猜想也作了深入研究,建立了欧拉数及伯努利数模一个奇素数幂的一些精确的同余式.从而对目前国内外在这方而所得到的一些结果给出了一个更为简单的证明.