【摘 要】
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与经典随机微分方程相比,带有自交互项的随机微分方程的理论分析具有更高的难度.由于该随机系统很难求出解析解的显式表达式,数值计算成为研究此类随机系统的重要工具.然而,由于自交互扩散随机微分方程的系数中含有积分项,其数值格式的构造需要提出不同于经典随机微分方程数值方法的新途径.本文主要研究自交互扩散系统的数值格式构造的基本思路,并分析数值格式收敛性.本文采用由局部误差推导整体误差的思想,在均方收敛的意
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与经典随机微分方程相比,带有自交互项的随机微分方程的理论分析具有更高的难度.由于该随机系统很难求出解析解的显式表达式,数值计算成为研究此类随机系统的重要工具.然而,由于自交互扩散随机微分方程的系数中含有积分项,其数值格式的构造需要提出不同于经典随机微分方程数值方法的新途径.本文主要研究自交互扩散系统的数值格式构造的基本思路,并分析数值格式收敛性.本文采用由局部误差推导整体误差的思想,在均方收敛的意义下给出显式Euler方法、Milstein方法以及Runge-Kutta方法等数值格式收敛阶的理论证明.本文的主要特色在于:1)建立了全局Lipschitz条件下求解自交互扩散随机系统的单步数值格式在均方收敛意义下的基本定理,给出了一个收敛阶分析的整体思路,简化了后续工作中单步数值格式收敛阶分析的过程.研究结果表明,数值格式的单步近似产生的两种局部误差阶可用于推导该格式的整体误差,均方意义下的局部误差阶比整体误差阶高1/2.进一步使用这个定理验证了求解自交互扩散系统的Euler方法具有1/2阶均方收敛性.2)结合重积分近似的方法构造出几种求解自交互扩散随机系统的显式数值方法,包括Milstein方法、一类显式随机Runge-Kutta方法.随后运用均方收敛基本定理分析了这些数值格式的强收敛阶,数值算例的验证结果与上述理论结果相一致.
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