【摘 要】
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本文运用改进的偏牛顿校正算法和基于插值投影Legendre-Galerkin谱方法成功解决了一类非线性四阶偏微分方程的多解问题.文章分三个部分:第一部分,首先对不具有变分结构的方程构造了推广的Nehari流形.通过修改增广变换（AT）,发展了改进的偏牛顿校正算法,建立并证明了非线性四阶偏微分方程边值问题的新解与该问题零核空间的密切关系,去掉标准收敛假设,使证明更简洁明了.分情况证明了该方程满足在N
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本文运用改进的偏牛顿校正算法和基于插值投影Legendre-Galerkin谱方法成功解决了一类非线性四阶偏微分方程的多解问题.文章分三个部分:第一部分,首先对不具有变分结构的方程构造了推广的Nehari流形.通过修改增广变换（AT）,发展了改进的偏牛顿校正算法,建立并证明了非线性四阶偏微分方程边值问题的新解与该问题零核空间的密切关系,去掉标准收敛假设,使证明更简洁明了.分情况证明了该方程满足在Nehari子流形上全局分离定理的条件,该分离定理为算法成功找到新解提供理论保障.最后进行收敛性分析,得到方法的收敛性结果.第二部分,首先建立了两种经典谱方法的数值格式,接着通过引入插值算子和投影算子,对线性算子以及非线性项的处理进行了优化,在此基础上提出了适用于二维非线性四阶偏微分方程边值问题的基于插值投影Legendre-Galerkin谱方法,实验结果表明其与经典谱方法具有相同高的收敛阶、条件数并都达到谱精度,计算所用CPU时间更少.第三部分,在正方形区域上利用本文提出的改进的偏牛顿校正算法,结合经典谱方法和基于插值投影Legendre-Galerkin谱方法分别数值计算了具有变分结构和不具有变分结构非线性四阶偏微分方程的两类边值问题多解,对比发现,新方法比经典方法计算效率更高,能计算出尽可能多的解.该问题的解决将丰富和发展偏微分方程的数值解法,为偏微分方程的理论研究提供新思路和新途径,具有重要的理论意义和潜在的应用价值.
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