小波分析是一门新兴理论，广泛地应用于各种领域.小波变换克服了传统Fourier变换的不足，在时频域都具有良好的局部化特性，小波在信号处理、图像处理、数值分析、通信等领域有着重要的应用价值. 本文详细阐述了小波理论的基本知识，研究了小波在第一类奇异积分方程和逆热传导方程中的应用.首先，提出了含Hilbert核的第一类奇异积分方程的小波伽辽金(Wavelet-Galerkin)数值算法，该算法中利用了L2([0,1])上的周期小波和Hilbert核的特点进行处理，使得刚性矩阵维数降低并且通过阈值使得它更加稀疏，减少了计算量；由于Hilbert核的奇异性，通过Tikhonov正则化方法求解所得到的刚性方程组，给出了收敛性和数值结果；其次，对标准的一维逆热传导方程给出了一种基于Fourier正则化方法，给出了理论证明及其误差估计，解决了文献中算法与理论误差估计的不相匹配的现象，该正则化方法不仅保留了测量数据的部分高频成份，且与文献中的算法具有同样的计算量和误差估计.最后，对一个一维抛物型方程逆问题给出了Fourier、小波及Meyer窗函数正则化算法，给出了相应的误差估计及数值实验，验证了这些算法的有效性.