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求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解.在现实生活中,方程X+A*X-n A=Q的来源相当广泛,包括控制理论,梯形网络分析,动态规划,统计和椭圆微分方程的差分方法求解等多个领域.由于Hermite正定解在实际中应用较多,所以在此仅讨论此类解的情况,以下所说的方程的解均指Hermite正定解.关于此类方程的求解通常涉及到三个问题:(1)可解性问题,即方程有解的充分和必要条件;(2)数值求解问题,即有效的数值方法;(3)解的扰动分析.
首先,本文研究矩阵方程X+A*X-n A=Q(n＞0)(1)当方程正定解存在时,由如下定理给出了正定解的一些性质.定理2.1若方程(1)存在正定解X,A为可逆矩阵,则(a)当0＜n≤1时,X∈[n√λmin(AQ-1A*)I,Q-A*Q-nA]Qn≥A(Q-n√λmin(AQ-1A*)I)-1A(b)当n＞1时,X∈[n√AQ-1A*,Q-λ-nmax(Q)A*A]Q≥n√A(Q-n√AQ-1A)-1A.定理2.3当0＜n≤1时,若(1)存在一正定解X,则X∈[(μ/ν1-n/n n√AQ-1A*,Q-A*Q-nA]其中μ和ν是AQ-1A*的最小特征值和最大特征值.定理2.4当n＞1时,若(1)存在一正定解X,则X∈[n√AQ-1A*,Q-(ω/θ)n-1A*Q-nA]其中ω和θ是Q的最小特征值和最大特征值.
其次,本文研究矩阵万程X+A*X-nA=I(2)拟最大解的性质及拟最大解存在的条件.定理4.1.2方程(2)至多有一个正定解X＞n/n+1I。若矩阵方程(2)存在Hermite正定解X满足X＞n/n+1I,则X一定为方程(2)的拟最大解.定理4.1.3若X为矩阵方程(2)的Hermite正定解,满足‖X-1‖n+1‖A‖2＜1/n.则X＞n/n+1I,且X为矩阵方程(2)的拟最大解.定理4.1.4若‖A‖＜√nn/(n+1)n+1,则X1是矩阵方程(2)的唯一正定解,且不可能有比它更大的解XL,即XL是拟最大解.另外有‖XL-1‖≤1+η此处0＜η＜1/n,满足‖A‖2(1+η)n+1=η.同时,本文通过矩阵方程X+A*X-2A=I(3)拟最大解的研究,提出了四种矩阵方程方程(3)的数值求解方法,并且分析了各种方法的收敛性.方法Ⅰ{X0=γIγ∈[2/3,1] Xk=I-A*Xk-1-2A方法Ⅱ{X0=Y0=I Xk=I-A*Yk-12A Yk=Yk-1(2I-Xk-1Yk-1)方法Ⅲ{Y0=I, Yk=I+A*Yk-12AYk-1 k=1,2,…定理4.2.2若‖A‖＜2√3、/9,则(I)存在XL为矩阵方程(3)的正定解,满足XL＞2/3I.(ii)‖XL-1‖≤1+η,此处0＜η＜1/2满足‖A‖2(1+η)3=η.(iii)‖YS-YL‖≤ρ‖Yk-Yk-1‖,其中ρ=3‖A‖2(1+η)3＜1.方法Ⅳ X0=I Bk=Xk-1-2A Ck=I-3A*Bk Xk-Bk*(XkXk-1+Xk-1Xk)Bk=Ck定理4.2.4矩阵方程(3)满足‖A‖＜2√3/9,则存在δ＞0,使得当‖X0-XL‖＜δ时,方法Ⅳ所构造的迭代序列收敛,且满足‖Xk-XL‖≤81‖A‖2‖XL-1‖/8-54‖A‖2‖Xk-1-XL‖2迭代序列{Xk}二次收敛于拟最大解XL·.
最后,总结并展望了矩阵方程的研究.