椭圆方程Cauchy问题在地质学、生物电场、等离子物理等许多领域都有着普遍的应用.Laplace方程Cauchy问题和Helmholtz方程Cauchy问题是椭圆方程Cauchy问题中两类特殊的情形,它们也都有着广泛的应用背景.Laplace方程Cauchy问题在波动方程对非空初始流行的初值问题、地球物理勘探的资料解释和数据处理中,皆有重要的应用.Helmholtz方程Cauchy问题通常用来描述结构的振动、声调问题、辐射波、散射波等.然而椭圆方程Cauchy问题是严重不适定的,它破坏了解对数据的连续依赖性,即其解会因为Cauchy数据的微小扰动产生巨大误差.这导致我们难以用经典的方法对其求解,从而给研究工作带来很大阻碍.因此,需要我们寻找一些比较有效的方法来解决这类不适定问题.本文研究的椭圆方程Cauchy问题包括以下三类:Laplace方程Cauchy问题、Helmholtz方程Cauchy问题和变系数椭圆方程Cauchy问题.我们分析了它们不适定的原因,给出了相应的正则化求解方法,得到了问题的精确解和正则近似解之间的收敛估计,并用数值例子验证了正则化方法的有效性,具体内容如下:(1)针对Laplace方程Cauchy问题,我们给出了该问题基于指数型变分正则化方法和对数型变分正则化方法的正则近似解,并得到相应的正则化参数后验选取规则下的收敛估计,数值实验表明了正则化方法的有效性.(2)针对Helmholtz方程Cauchy问题,我们通过磨光数据的思想得到了问题的正则近似解,并分别给出在正则化参数先验选取和后验选取两种参数选取规则下的收敛估计,数值实验表明了该方法的有效性.(3)针对变系数椭圆方程Cauchy问题,我们通过基于Gaussian核的磨光正则化方法得到了该问题的正则近似解,并得到正则化参数后验选取规则下的收敛估计,数值实验表明了该方法的有效性.