在大数据时代,高维数据呈现在基因组和健康科学、经济与金融、天文学与物理学、信号处理与成像等学科领域.其中一个共同特征是预测变量具有稀疏性.选择最相关的预测变量是高维数据回归分析的一个主要研究内容,具有十分重要的应用价值.为此,针对线性回归假设的许多统计方法被提出和广泛研究.然而,在压缩感知、信号处理与亚波长光学成像等实际问题中,响应变量和回归参数是二次关系.所以,本文引入二次度量回归(QMR)模型,研究了其高维情形下的变量选择问题,并建立了相应的优化理论与算法.第二章引入一致正则性概念,给出相应的判定条件,并且用于高维QMR模型的可辨识性研究.第三章针对高维QMR模型的lq(0 < q < 1)正则最小二乘问题,给出了相应估计的中偏差和弱Oracle性质,得到了解的存在性及其不动点理论.在此基础上,构造了不动点迭代算法,建立了其收敛性结果.最后,通过数值模拟表明该方法的有效性.第四章针对QMR模型的l0约束最小二乘问题,给出了解的存在性及不动点理论,进而构造了稀疏投影梯度算法,并得到该算法的收敛性.最后,通过数值模拟表明l0约束最小二乘方法的有效性.第五章针对高维QMR模型的特殊情形—线性模型,研究了加权l1正则分位数回归问题.使用交替方向乘子法提出了一种快速、有效算法,得到了算法的收敛性.利用该算法和局部线性近似技巧,还构造了一类非凸惩罚的分位数回归估计的计算方法.最后,数值实验表明该算法的有效性.