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本论文考虑半线性椭圆型方程组
-△u=a(x)|v|p-1v
-△v=b(x)|w|q-1w
-△w=c(x)|u|r-1uinΩ
u=v=w=0on()Ω(*)
和 -△u(x)=f(v)+e(x)
-△vv(x)=g(u)+m(x)inΩ
u=v=0on()Ω(**)的正解的存在性，而且还讨论了方程组(**)的正解的稳定性.
为了证明方程组(*)在一有界区域上存在非平凡的正解，在第二章，首先通过对方程组在SN-1上取球平均证明了其在RN上不存在非平凡的正解，其中要求p，q，r满足一定的条件.
基于第二章，第三章应用blowup方法和拓扑度理论，证明了方程组(*)在有界区域上正解的存在性，同样，p，q，r需要满足一定的条件.
第四章考虑方程组(**)正解的存在性及稳定性.我们假设Ω是一个有界的凸区域，且f,g满足下面的条件：
(H1)f，g：R+→R是C1函数且对所有的s≥0有f(s)≥0，g(s)≥0.
(H2)存在正数a，b∈(0，∞)使得ab＞λ21，其中λ1是(-△，H01(Ω))的第一特征值，并且存在a，b∈(0，∞]使得liminf()→+∞f()/()=a，liminf()→+∞()()/()=b，且a＞a，b＞b.
(H3)存在α，β∈[0，∞)使得
lim()→+∞f(s)/sp=α,lim()→+∞g(s)/sq=β其中1≤p，q＜∞满足1/p+1+1/q+1＞N-2/NN≥3.
我们首先利用Rellich恒等式得到了(**)正解的先验估计，然后应用Leray-Schaulder度理论证明了方程组至少存在两个正解,最后证明(**)在C2(Ω)×C2(Ω)中至少存在一个稳定的和一个不稳定的正解.