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摘要：指向儿童悟得的数学教学力图到达儿童内心世界的深处，让知识的生长与联结朴素自然，学科素养的积淀与提升悄然生发。儿童悟得的设计原则包括儿童先行、悟创结合、整体建构，实施策略主要有：积累图式、多元直观、经由比较、渐次悟得、适度统整。
关键词：儿童悟得；信度；通感；儿童数学
一直以来，儿童数学教学始终存在着的两大问题未能引起大家足够的重视和解决，一个是儿童对数学知识的信度问题，即认同、悦纳的程度；另一个是对数学知识的通感问题，即透彻、贯通的程度。指向儿童悟得的数学教学力图到达儿童内心世界的深处，让知识的生长与联结自然而然，绝无突兀之感，学科素养的积淀与提升悄悄生发，成于无形之间。
一、儿童悟得的内涵诠释及价值澄清
（一）内涵诠释
悟得，是一种心理体验，指通过思考内化所学内容成为自己知识结构的一部分，从而使自己的认识得到改变的过程。相对于习得、知得而言，“悟得的是一种意义理解，是一种规律性的认识，是一种智慧。”[1]
儿童悟得，指儿童在整体体验的基础上以悟得的方式（包括感悟、领悟、顿悟）把握知识的本质和内在联系，同时赋予知识以鲜活的意义，从而优化数学认知结构，满足生命发展需求。
儿童悟得，首先代表着一种方式，以符合儿童感悟、领悟、顿悟的认知方式切入和展开数学学习活动；其次，它代表着一种过程，通过自悟自得（意义建构）或共悟共得（协作交流）的认知过程推进和完成数学学习任务；最后，它还代表着一种结果，对照悟有所得、悟形悟数、得真得趣的认知评价逼近和达成数学学习目标。此外，它具有“自主性、整体性、体验性、创造性、情感性”等特征。
“儿童悟得”背后的核心思想是人的主动尝试、积极探索与自觉改变。我们认为，儿童悟得既是一种数学学习的理念和方式，同时也是一种数学教学的理念和方式，更是一种数学教育的思想和方法。
（二）价值澄清
“知识是外在于人的，是一种可以量化的‘知道’，只有在‘悟’的过程中，让知识进入人的认知本体，悟有所得，才能成为素养。”[2]而现实中因多方面因素的影响，数学课堂教学中经常出现“悟而不得”“得而不悟”“浅悟浅得”等学习现象，使得儿童对知识的认同与联结程度不高，不得不以增加记忆负担的方式学习数学。但让人永葆希望的是——儿童是天生的探索者、发现者和研究者，其精神世界中“悟得”的需求特别强烈。我们认为，教育的本义是帮助学生开悟、开窍，教师应当做启悟者。对儿童自我教育和自主发展而言，进行“儿童悟得”专题研究有着强烈的现实意义和极高的研究价值。
第一，儿童悟得顺应了儿童之为人的天赋与潜能。台湾学者黄武雄教授在《童年与解放》一书中认为，“人与生俱来地拥有一种源于自然的原始创造特质。”[3]正因为儿童具有洞察复杂事物的特征、以无畏无休的体验换取最真实的知识、免于偏见的限制等原始创造的特质，所以他们才能无边好奇、极富勇气、不存偏见。
第二，儿童悟得响应了人觉醒与发展的基本准则。俗话说，“纸上得来终觉浅，心中悟出始知深。”叶圣陶认为，“自己摸索得来比向别人学更重要”；苏格拉底曾说过，“唯有发自内心的知识，才能够变成人的智慧”；斯宾塞则说，“学习者从心智努力发现的东西，比别人告诉他的要好理解得多”；伽利略更是提醒我们，“你不能去教别人，只能帮助他自悟而已”。
第三，儿童悟得回应了教育学心理学的研究成果。心理学格式塔顿悟说代表人物韦特墨从学校实践研究学生的顿悟学习，并强调通过整体进行思维；建构主义理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者通过意义建构的方式而获得；情境教育理论在解决儿童认识断层上的贡献有“对事物的认识是整体性的、情境化的，是自我建构的，因而也是内化的”；生本教育理论的“小立课程、大作功夫”，强调借助人的悟感，在活动中发展悟感，从而使人的认识发生迁移和顿悟，更强有力地认识事物的本体。
二、儿童悟得的设计原则
学习贵在悟，教学贵在度。高效益、有价值的儿童悟得活动，来自教师有信念、有智慧的设计与实施。
（一）儿童先行原则
儿童先行表现为儿童的学习先于教师的传授，儿童想法的表达先于成人想法的表达。学习的本质就是尝试成功。探索新的数学知识，解决新的数学问题，不妨让学生先尝试着说一说，做一做。
儿童的想法和思维先于成人，成人接着儿童的想法和思维进行教学，激活了学习者的内在潜能，同时也彰显了教育者的存在价值——教育的目的在于使人成为他自己，在于按其所未行而行。
儿童先行原则要求我们及时关注学生全员参与的深入程度和教学反馈的覆盖范围，了解学生真实的学习困难和快乐，洞察错误背后的迷思与误解，彰显正确背后的智慧与风格，鼓励学生完成从错误调整到正确、从单一调整到多元的认知过程。
（二）悟创结合原则
儿童积极主动地进行认知心理活动同化或顺应的过程，是悟的表现；儿童创造性地把知识与自己建立关联，让知识具有个人意义，进而创造性地解决实际问题的过程，这是创的表现。
悟得新知识的丰富内涵和运用智慧，往往需要同时伴有或交叉进行悟与创的心理活动。悟创结合强调的是，悟与创不可缺其一者或偏废两者，努力实现数学观念的完整改造与提升，最终实现儿童“心灵的转向”。
悟创结合原则要求我们让学生能够有思考和挑战的机会与内容，鼓励并引导学生丰富或调整自己的解释，积累或拓展自己的经验，改进或完善自己的方法，从而在自悟自得和共悟共得的学习情境中建立自己的数学理解，形成创见性的经验和智慧。
（三）整体建构原则
人们认识事物的规律不是先部分后整体，而是先整体后部分，经过几个循环往复，最后形成对事物的清晰认识。可见，整体建构符合人们认识事物的一般规律。
儿童与成人均能以整体视角观照和建构数学，略有不同的是儿童更多时候是立足于生活经验的世界进行整体建构，而成人则更多时候是立足于数学学科的世界进行整体建构。生活世界与数学世界的联结浑然一体，数学世界内部众多知识之间的联系井然有序，离不开教师对课程资源的深度发掘与整体把握。 整体建构原则要求我们深度发掘教材的知识内核、整体结构和丰富内涵，研发有助于整体思考的学习素材和整体互动的学习场景，使儿童形成对知识的深刻理解，建构起有生命力的、可迁移的知识，进而悟得数学课程的知识体系和学科思想。
三、儿童悟得的实施策略
（一）策略1：积累图式
图式是人脑中已有的知识经验的网络，其决定着人做信息选择时相应的内容和倾向偏好，可引起新信息的加工。学习数学同样需要积累一定的认知图式加以储存备用，为后续的悟得活动奠定成功的基础。
比如，在学习“体积单位”一课时，接着书中的内容“容积是1立方分米的容器，正好盛水1升”，我顺势介绍了科学常识“1立方分米的净水重1千克，1立方米的净水重1吨”。谁知不经意的一次介绍，在学习“体积单位之间的进率”时，竟然有了无心插柳柳成荫的神奇效果。教材例题内容的编排思路是让学生判断棱长1分米的正方体和棱长10厘米的正方体体积是否相等，并说说为什么。因为1分米=10厘米，两个正方体棱长相等，所以二者的体积相等。然后，分别算出它们的体积分别是1立方分米、1000立方厘米。由于二者体积相等，可以用等于号将“1立方分米”和“1000立方厘米”进行连接，形成等式“1立方分米=1000立方厘米”。至于1立方米等于多少立方分米，鼓励学生用上述同样的方法进行推导或证明。
在切入例题学习之前，我先是与学生一起复习了长度单位“厘米、分米、米”相邻两个单位之间的进率是10和面积单位“平方厘米、平方分米、平方米”相邻两个单位之间的进率是100，接着追问体积单位“立方厘米、立方分米、立方米”相邻两个单位之间的进率是多少？多数孩子能推测或者知晓进率为1000。我继续发问，“你有办法证明‘1立方分米=1000立方厘米、1立方米=1000立方分米’吗？”不少孩子认为，“因为1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，而1升=1000毫升，所以1立方分米=1000立方厘米。”少数孩子认为，“因为1立方分米的净水重1千克，1立方米的净水重1吨，而1吨=1000千克，所以1立方米=1000立方分米。”
如果说孩子们能借助升与毫升之间的关系证明“1立方分米=1000立方厘米”是我在意料之中的话，那有孩子运用科学常识“1立方分米的净水重1千克，1立方米的净水重1吨”证明“1立方米=1000立方分米”则是出乎我意料之外。孩子们有了用自己的知识悟得新知识的经历，学习热情特别地高涨，充满期待地开始了领悟课本例题介绍的证明方法的学习之旅。
（二）策略2：多元直观
多元直观指运用多元的直观载体（包括图形、模型、实物、动作等）或多元的方式呈现和使用同一种直观载体，以匹配不同思维水平层次儿童的悟得活动的需要。仅仅知道“几何直观是领悟数学最有效的渠道”（阿提雅）是不够的，如何进行几何直观以及除了几何直观之外还需要做些什么，这些话题同样值得我们作进一步的思考！
比如，六年级数学上册教科书第22页的思考题（见图1）。对于抽象思维水平较高的孩子，直接观察题目中的示意图即可感悟到正方体表面对应“增加56平方厘米”的部分，找到解决问题的突破口。但有相当一部分孩子需要观察正方体变化分解图（见图2）才能确定图形变化前后其上面还在，并且没有变化，“增加56平方厘米”对应着的是新增一圈的4个相同的长方形直条，进而领会解决问题的方法“56÷4=14（平方厘米） 14÷2=7（厘米） 7-2=5（厘米） 7×7×5=245（立方厘米）”。更有一些孩子即使观察正方体变化分解图依然无力想象，任凭老师讲解类似的题目数遍，仍然不得要领。这时倘若呈现实物木块两种（见图3），让其观察和比较，才能悟得正方体表面对应“增加56平方厘米”的部分，从而取得认知活动的突破。至此，在多元直观活动的支撑下，悟得活动向每一个儿童得以顺利敞开和圆满进行。
（三）策略3：经由比较
认识源于比较，没有比较就没有认识。经由比较，可以较好地理解知识的本质属性，掌握知识的联系与区别，形成良好的认知结构，促进思维的拔节生长。比如，教学“长方体和正方体的认识”一课时，笔者确定了本节课的核心知识为“长方体的面是长方形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等”和“正方体是特殊的长方体”之后，设计与实施了三次认知比较活动：第一次是把长方体（盒子）与圆柱体（茶杯）、球体（弹力球）作比较，学生自行发现了长方体的基本特征，教师顺势介绍了“面”“棱”“顶点”等概念，并作了及时的总结，即“长方体有6个面，12条棱，8个顶点”。第二次是把长方体（盒子）与六面体（水晶纪念品）作比较（见图4），学生认识到“有6个面，12条棱，8个顶点”是长方体的一般特征，具备长方体一般特征的立体图形未必是长方体（正方体），“面是长方形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等”才是长方体的本质特征。第三次是学生亲历长方体切成正方体的过程之后，把切成的正方体与切之前的长方体进行比较，对照长方体的一般特征和本质特征，发现了正方体特征的同时，领会到“正方体是特殊的长方体”这一说法的依据所在。不难发现，第一次、第二次比较是求异比较，第三次比较是求同比较。三次认知比较活动，成功地将儿童的悟得进程推向思维的纵深之处，对长方体（正方体）形成较为深刻而完整的数学认识。
教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生真正想的是什么却更为重要。因各种原因的影响，儿童在悟得过程中容易形成思维定势或作出不适宜的联想和迁移。这时，需要教师及时地了解和干预，通过变式比较防止数学误解的产生。比如，学生认识梯形容易产生的数学误解就有两个，一是认为梯形中“正着的”是梯形，而“歪着的”不是梯形；二是误以为相互平行的那组对边，短边是上底，长边是下底。为此，我们除了对上底与下底的长度进行变式外，还要在梯形的身子“正”与“歪”方面进行变式，以丰富心理表象，强化图形的本质特征与属性是“只有一组对边平行的四边形”，至于这个四边形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，无关紧要。再比如，六年级的学生学习“分数连乘”一课时，解决的实际问题多是变换不同问题情境的同类题目而已，学生下意识地认为快速解题的方法是直接把题目中的三个数连乘列式计算即可。巩固练习即将结束时，笔者顺势补充一题“运动会上长跑的有42人，短跑的人数是长跑的■，跳远的人数是长跑的■。跳远的有多少人”，要求学生只列式不计算进行快速判断，多数孩子掉进了分数连乘思维定势的陷阱里。通过“吃一堑，长一智”的对比练习活动，学生经历犯错与矫正，深刻地领悟到弄清楚单位“1”的数量对于正确解答分数实际问题来说至关重要。 （四）策略4：渐次悟得
有效的悟得，要遵循一定的方向、次序和层级。
1.量变引起质变。如长方形面积计算公式的悟得路径是“用数面积单位个数的方法求不规则图形的面积→用数面积单位个数的方法求长方形的面积→将没有方格背景的长方形画满方格，推算面积→对没有方格背景的长方形画部分方格，推算面积→量长和宽的长度，推算方格排数和每排个数，计算面积→直接量出长和宽的长度，用长乘宽进行计算→确认长方形面积计算公式，并用字母表示面积计算公式”。采用数、画、部分画、不画的方式，学生经历多次面积计算活动，最终发现长对应着一排面积单位数，宽对应面积单位的排数，从而悟得“长×宽”即“一排面积单位个数×面积单位的排数”，成功顿悟出长方形面积计算公式。
2.历经反复逐步悟得。如题目一“少先队员用红纸做一些底是12厘米，高是20厘米的直角三角形小红旗。现有一张长80厘米，宽49厘米的长方形红纸，最多可做多少面小红旗？”和题目二“一张长方形红纸，它的长是13分米，宽是8分米，一面小旗是一个等腰直角三角形，它的直角边是4分米。用这张红纸做三角形小旗，最多能做多少面？”由于学生需要积累和转变的思维经验包括“要求直角三角形的个数可以先求出长方形的个数，然后乘2”“要求等腰直角三角形的个数可以先求出正方形的个数，然后乘2”“一排的个数×排数=长方形（正方形）的总个数”“长方形（正方形）的个数×2=小红旗总面数”以及“方法‘长方形（正方形）一排的个数×排数×2=小红旗总面数’比‘红纸总面积÷小红旗面积=小红旗的面数’更为可靠”等等。其中既有通过操作或画图悟得的直接经验，又有借助倾听和想象悟得的间接经验。因此，最终成功悟得此类问题的解题方法自然是充满艰辛和煎熬，需要历经反复才能实现。
3.尊重儿童的原初想法。数学是自己思考的产物。通过自身思考，加之亲身体验而得来的知识，容易成为自身不可分离的部分。对儿童而言，如此建构的知识世界才是最为真实的知识世界。在实际中，要从众多体验项目中优选最贴近儿童原初想法最值得体验的活动内容，以提高学生对知识的认同程度。比如，对千克的认识，非常有必要让学生多次体验1千克、2千克、3千克物体的质量，重视学生量感的培养，避免学生认识了吨之后出现笑话“电熨斗大约重10吨”和“电熨斗大约重10千克”。又如学习“三角形的内角和”一课，关于验证三角形的内角和是180°的方法，笔者进行课前学情调研时发现，孩子们在没有翻看课本的情况下，能自主想到的验证方法有三种：一种是画一个任意的三角形，量出三个内角度数相加；一种是从特殊的三角形（三角尺上的直角三角形和等边三角形）推想而得，即45° 45° 90°，30° 60° 90°，60° 60° 60°；第三种是可以找三个相同的三角形把它们不同的角放到一起“摆”拼成平角。笔者以为，第三种验证方法是儿童的数学现实，属于悟得活动的原初路径。实施教学时，我们采取四人小组为单位进行合作学习，绝大多数小组悟创结合，凭借小组内足够数量的三角形想出了“摆”拼法进行验证。之后，以阅读教材的方式了解和体验“撕”拼法（把三角形纸片3个角撕下来拼成平角）和“折”拼法（把三角形纸片各个角沿它两边中点连线对折着拼），从而在最大程度上顾及了儿童的真实感受，激发了其悟得的学习劲头。
（五）策略5：适度统整
“知识是由符号、逻辑和意义三个内在要素相互关联构成的整体。”[4]在设计儿童悟得的学习内容与路径时，需要发掘教材的深层价值，就教材的知识内核、整体结构和丰富内涵作适度统整，以促进和帮助学生赋予知识以鲜活的意义，从而让知识的内在要素之间的关联更为密切。
比如，六年级数学教科书上册第31页例3“六年级同学为国庆晚会准备了三种颜色的绸花，其中黄花有50朵。（1）红花比黄花多■，红花比黄花多多少朵？（2）绿花比黄花少■，绿花比黄花少多少朵？”的教学，第（1）题如果学生能正确地理解“红花比黄花多■”的意思，建立相应的数量关系式“黄花朵数×■=红花比黄花多的朵数”，再解决第（2）题就不存在太大的理解困难，剩下的只是迁移学习经验的问题了。事实上，学生正确地悟得“红花比黄花多■”的意思并形成清晰的解题经验，是存在很大困难的。
为此，我们把学习的视角从分数领域投放到整数领域，先让学生解决准备题目“黄花有15朵，红花比黄花多3倍。红花比黄花多多少朵？”学生先独自解答，再结合示意图（见图5上边部分）确认“3倍”是指把黄花看做单位“1”，红花比黄花多的朵数是黄花的3倍，即3倍对应的数量是红花比黄花多的朵数。接着，再鼓励学生解决尝试题目例3第（1）题。采取自悟自得的形式，迁移解决准备题时积累的思维经验，再针对示意图（见图5下边部分）确认“■”是指把黄花看做单位“1”，红花比黄花多的朵数是黄花的■，即分率■对应的数量是红花比黄花多的朵数。至于例题3第（2）题的解决，则是又一次学习经验的迁移和拓展。
综上所述，儿童悟得是儿童探索与联结数学世界的通途。教师若能对儿童有足够多的了解，对数学有足够深的解读，并积极地遵循儿童悟得的设计原则，主动地运用儿童悟得的实施策略，我们相信儿童数学学习之路较以往任何时候会更加地开阔、通畅和美好！
参考文献：
[1][2]陈立群.习得、识得与悟得[J].人民教育，2012（21）.
[3]黄武雄.童年与解放[M].北京：首都师范大学出版社，2009：22-23.
[4]季平.教什么知识：对教学的知识论基础的认识[M].北京：教育科学出版社，2009：84-100.
（朱小平，扬州市梅岭小学，225002；魏光明，南京市新华中学附属小学，210019）
责任编辑：颜莹
关键词：儿童悟得；信度；通感；儿童数学
一直以来，儿童数学教学始终存在着的两大问题未能引起大家足够的重视和解决，一个是儿童对数学知识的信度问题，即认同、悦纳的程度；另一个是对数学知识的通感问题，即透彻、贯通的程度。指向儿童悟得的数学教学力图到达儿童内心世界的深处，让知识的生长与联结自然而然，绝无突兀之感，学科素养的积淀与提升悄悄生发，成于无形之间。
一、儿童悟得的内涵诠释及价值澄清
（一）内涵诠释
悟得，是一种心理体验，指通过思考内化所学内容成为自己知识结构的一部分，从而使自己的认识得到改变的过程。相对于习得、知得而言，“悟得的是一种意义理解，是一种规律性的认识，是一种智慧。”[1]
儿童悟得，指儿童在整体体验的基础上以悟得的方式（包括感悟、领悟、顿悟）把握知识的本质和内在联系，同时赋予知识以鲜活的意义，从而优化数学认知结构，满足生命发展需求。
儿童悟得，首先代表着一种方式，以符合儿童感悟、领悟、顿悟的认知方式切入和展开数学学习活动；其次，它代表着一种过程，通过自悟自得（意义建构）或共悟共得（协作交流）的认知过程推进和完成数学学习任务；最后，它还代表着一种结果，对照悟有所得、悟形悟数、得真得趣的认知评价逼近和达成数学学习目标。此外，它具有“自主性、整体性、体验性、创造性、情感性”等特征。
“儿童悟得”背后的核心思想是人的主动尝试、积极探索与自觉改变。我们认为，儿童悟得既是一种数学学习的理念和方式，同时也是一种数学教学的理念和方式，更是一种数学教育的思想和方法。
（二）价值澄清
“知识是外在于人的，是一种可以量化的‘知道’，只有在‘悟’的过程中，让知识进入人的认知本体，悟有所得，才能成为素养。”[2]而现实中因多方面因素的影响，数学课堂教学中经常出现“悟而不得”“得而不悟”“浅悟浅得”等学习现象，使得儿童对知识的认同与联结程度不高，不得不以增加记忆负担的方式学习数学。但让人永葆希望的是——儿童是天生的探索者、发现者和研究者，其精神世界中“悟得”的需求特别强烈。我们认为，教育的本义是帮助学生开悟、开窍，教师应当做启悟者。对儿童自我教育和自主发展而言，进行“儿童悟得”专题研究有着强烈的现实意义和极高的研究价值。
第一，儿童悟得顺应了儿童之为人的天赋与潜能。台湾学者黄武雄教授在《童年与解放》一书中认为，“人与生俱来地拥有一种源于自然的原始创造特质。”[3]正因为儿童具有洞察复杂事物的特征、以无畏无休的体验换取最真实的知识、免于偏见的限制等原始创造的特质，所以他们才能无边好奇、极富勇气、不存偏见。
第二，儿童悟得响应了人觉醒与发展的基本准则。俗话说，“纸上得来终觉浅，心中悟出始知深。”叶圣陶认为，“自己摸索得来比向别人学更重要”；苏格拉底曾说过，“唯有发自内心的知识，才能够变成人的智慧”；斯宾塞则说，“学习者从心智努力发现的东西，比别人告诉他的要好理解得多”；伽利略更是提醒我们，“你不能去教别人，只能帮助他自悟而已”。
第三，儿童悟得回应了教育学心理学的研究成果。心理学格式塔顿悟说代表人物韦特墨从学校实践研究学生的顿悟学习，并强调通过整体进行思维；建构主义理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者通过意义建构的方式而获得；情境教育理论在解决儿童认识断层上的贡献有“对事物的认识是整体性的、情境化的，是自我建构的，因而也是内化的”；生本教育理论的“小立课程、大作功夫”，强调借助人的悟感，在活动中发展悟感，从而使人的认识发生迁移和顿悟，更强有力地认识事物的本体。
二、儿童悟得的设计原则
学习贵在悟，教学贵在度。高效益、有价值的儿童悟得活动，来自教师有信念、有智慧的设计与实施。
（一）儿童先行原则
儿童先行表现为儿童的学习先于教师的传授，儿童想法的表达先于成人想法的表达。学习的本质就是尝试成功。探索新的数学知识，解决新的数学问题，不妨让学生先尝试着说一说，做一做。
儿童的想法和思维先于成人，成人接着儿童的想法和思维进行教学，激活了学习者的内在潜能，同时也彰显了教育者的存在价值——教育的目的在于使人成为他自己，在于按其所未行而行。
儿童先行原则要求我们及时关注学生全员参与的深入程度和教学反馈的覆盖范围，了解学生真实的学习困难和快乐，洞察错误背后的迷思与误解，彰显正确背后的智慧与风格，鼓励学生完成从错误调整到正确、从单一调整到多元的认知过程。
（二）悟创结合原则
儿童积极主动地进行认知心理活动同化或顺应的过程，是悟的表现；儿童创造性地把知识与自己建立关联，让知识具有个人意义，进而创造性地解决实际问题的过程，这是创的表现。
悟得新知识的丰富内涵和运用智慧，往往需要同时伴有或交叉进行悟与创的心理活动。悟创结合强调的是，悟与创不可缺其一者或偏废两者，努力实现数学观念的完整改造与提升，最终实现儿童“心灵的转向”。
悟创结合原则要求我们让学生能够有思考和挑战的机会与内容，鼓励并引导学生丰富或调整自己的解释，积累或拓展自己的经验，改进或完善自己的方法，从而在自悟自得和共悟共得的学习情境中建立自己的数学理解，形成创见性的经验和智慧。
（三）整体建构原则
人们认识事物的规律不是先部分后整体，而是先整体后部分，经过几个循环往复，最后形成对事物的清晰认识。可见，整体建构符合人们认识事物的一般规律。
儿童与成人均能以整体视角观照和建构数学，略有不同的是儿童更多时候是立足于生活经验的世界进行整体建构，而成人则更多时候是立足于数学学科的世界进行整体建构。生活世界与数学世界的联结浑然一体，数学世界内部众多知识之间的联系井然有序，离不开教师对课程资源的深度发掘与整体把握。 整体建构原则要求我们深度发掘教材的知识内核、整体结构和丰富内涵，研发有助于整体思考的学习素材和整体互动的学习场景，使儿童形成对知识的深刻理解，建构起有生命力的、可迁移的知识，进而悟得数学课程的知识体系和学科思想。
三、儿童悟得的实施策略
（一）策略1：积累图式
图式是人脑中已有的知识经验的网络，其决定着人做信息选择时相应的内容和倾向偏好，可引起新信息的加工。学习数学同样需要积累一定的认知图式加以储存备用，为后续的悟得活动奠定成功的基础。
比如，在学习“体积单位”一课时，接着书中的内容“容积是1立方分米的容器，正好盛水1升”，我顺势介绍了科学常识“1立方分米的净水重1千克，1立方米的净水重1吨”。谁知不经意的一次介绍，在学习“体积单位之间的进率”时，竟然有了无心插柳柳成荫的神奇效果。教材例题内容的编排思路是让学生判断棱长1分米的正方体和棱长10厘米的正方体体积是否相等，并说说为什么。因为1分米=10厘米，两个正方体棱长相等，所以二者的体积相等。然后，分别算出它们的体积分别是1立方分米、1000立方厘米。由于二者体积相等，可以用等于号将“1立方分米”和“1000立方厘米”进行连接，形成等式“1立方分米=1000立方厘米”。至于1立方米等于多少立方分米，鼓励学生用上述同样的方法进行推导或证明。
在切入例题学习之前，我先是与学生一起复习了长度单位“厘米、分米、米”相邻两个单位之间的进率是10和面积单位“平方厘米、平方分米、平方米”相邻两个单位之间的进率是100，接着追问体积单位“立方厘米、立方分米、立方米”相邻两个单位之间的进率是多少？多数孩子能推测或者知晓进率为1000。我继续发问，“你有办法证明‘1立方分米=1000立方厘米、1立方米=1000立方分米’吗？”不少孩子认为，“因为1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，而1升=1000毫升，所以1立方分米=1000立方厘米。”少数孩子认为，“因为1立方分米的净水重1千克，1立方米的净水重1吨，而1吨=1000千克，所以1立方米=1000立方分米。”
如果说孩子们能借助升与毫升之间的关系证明“1立方分米=1000立方厘米”是我在意料之中的话，那有孩子运用科学常识“1立方分米的净水重1千克，1立方米的净水重1吨”证明“1立方米=1000立方分米”则是出乎我意料之外。孩子们有了用自己的知识悟得新知识的经历，学习热情特别地高涨，充满期待地开始了领悟课本例题介绍的证明方法的学习之旅。
（二）策略2：多元直观
多元直观指运用多元的直观载体（包括图形、模型、实物、动作等）或多元的方式呈现和使用同一种直观载体，以匹配不同思维水平层次儿童的悟得活动的需要。仅仅知道“几何直观是领悟数学最有效的渠道”（阿提雅）是不够的，如何进行几何直观以及除了几何直观之外还需要做些什么，这些话题同样值得我们作进一步的思考！
比如，六年级数学上册教科书第22页的思考题（见图1）。对于抽象思维水平较高的孩子，直接观察题目中的示意图即可感悟到正方体表面对应“增加56平方厘米”的部分，找到解决问题的突破口。但有相当一部分孩子需要观察正方体变化分解图（见图2）才能确定图形变化前后其上面还在，并且没有变化，“增加56平方厘米”对应着的是新增一圈的4个相同的长方形直条，进而领会解决问题的方法“56÷4=14（平方厘米） 14÷2=7（厘米） 7-2=5（厘米） 7×7×5=245（立方厘米）”。更有一些孩子即使观察正方体变化分解图依然无力想象，任凭老师讲解类似的题目数遍，仍然不得要领。这时倘若呈现实物木块两种（见图3），让其观察和比较，才能悟得正方体表面对应“增加56平方厘米”的部分，从而取得认知活动的突破。至此，在多元直观活动的支撑下，悟得活动向每一个儿童得以顺利敞开和圆满进行。
（三）策略3：经由比较
认识源于比较，没有比较就没有认识。经由比较，可以较好地理解知识的本质属性，掌握知识的联系与区别，形成良好的认知结构，促进思维的拔节生长。比如，教学“长方体和正方体的认识”一课时，笔者确定了本节课的核心知识为“长方体的面是长方形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等”和“正方体是特殊的长方体”之后，设计与实施了三次认知比较活动：第一次是把长方体（盒子）与圆柱体（茶杯）、球体（弹力球）作比较，学生自行发现了长方体的基本特征，教师顺势介绍了“面”“棱”“顶点”等概念，并作了及时的总结，即“长方体有6个面，12条棱，8个顶点”。第二次是把长方体（盒子）与六面体（水晶纪念品）作比较（见图4），学生认识到“有6个面，12条棱，8个顶点”是长方体的一般特征，具备长方体一般特征的立体图形未必是长方体（正方体），“面是长方形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等”才是长方体的本质特征。第三次是学生亲历长方体切成正方体的过程之后，把切成的正方体与切之前的长方体进行比较，对照长方体的一般特征和本质特征，发现了正方体特征的同时，领会到“正方体是特殊的长方体”这一说法的依据所在。不难发现，第一次、第二次比较是求异比较，第三次比较是求同比较。三次认知比较活动，成功地将儿童的悟得进程推向思维的纵深之处，对长方体（正方体）形成较为深刻而完整的数学认识。
教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生真正想的是什么却更为重要。因各种原因的影响，儿童在悟得过程中容易形成思维定势或作出不适宜的联想和迁移。这时，需要教师及时地了解和干预，通过变式比较防止数学误解的产生。比如，学生认识梯形容易产生的数学误解就有两个，一是认为梯形中“正着的”是梯形，而“歪着的”不是梯形；二是误以为相互平行的那组对边，短边是上底，长边是下底。为此，我们除了对上底与下底的长度进行变式外，还要在梯形的身子“正”与“歪”方面进行变式，以丰富心理表象，强化图形的本质特征与属性是“只有一组对边平行的四边形”，至于这个四边形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，无关紧要。再比如，六年级的学生学习“分数连乘”一课时，解决的实际问题多是变换不同问题情境的同类题目而已，学生下意识地认为快速解题的方法是直接把题目中的三个数连乘列式计算即可。巩固练习即将结束时，笔者顺势补充一题“运动会上长跑的有42人，短跑的人数是长跑的■，跳远的人数是长跑的■。跳远的有多少人”，要求学生只列式不计算进行快速判断，多数孩子掉进了分数连乘思维定势的陷阱里。通过“吃一堑，长一智”的对比练习活动，学生经历犯错与矫正，深刻地领悟到弄清楚单位“1”的数量对于正确解答分数实际问题来说至关重要。 （四）策略4：渐次悟得
有效的悟得，要遵循一定的方向、次序和层级。
1.量变引起质变。如长方形面积计算公式的悟得路径是“用数面积单位个数的方法求不规则图形的面积→用数面积单位个数的方法求长方形的面积→将没有方格背景的长方形画满方格，推算面积→对没有方格背景的长方形画部分方格，推算面积→量长和宽的长度，推算方格排数和每排个数，计算面积→直接量出长和宽的长度，用长乘宽进行计算→确认长方形面积计算公式，并用字母表示面积计算公式”。采用数、画、部分画、不画的方式，学生经历多次面积计算活动，最终发现长对应着一排面积单位数，宽对应面积单位的排数，从而悟得“长×宽”即“一排面积单位个数×面积单位的排数”，成功顿悟出长方形面积计算公式。
2.历经反复逐步悟得。如题目一“少先队员用红纸做一些底是12厘米，高是20厘米的直角三角形小红旗。现有一张长80厘米，宽49厘米的长方形红纸，最多可做多少面小红旗？”和题目二“一张长方形红纸，它的长是13分米，宽是8分米，一面小旗是一个等腰直角三角形，它的直角边是4分米。用这张红纸做三角形小旗，最多能做多少面？”由于学生需要积累和转变的思维经验包括“要求直角三角形的个数可以先求出长方形的个数，然后乘2”“要求等腰直角三角形的个数可以先求出正方形的个数，然后乘2”“一排的个数×排数=长方形（正方形）的总个数”“长方形（正方形）的个数×2=小红旗总面数”以及“方法‘长方形（正方形）一排的个数×排数×2=小红旗总面数’比‘红纸总面积÷小红旗面积=小红旗的面数’更为可靠”等等。其中既有通过操作或画图悟得的直接经验，又有借助倾听和想象悟得的间接经验。因此，最终成功悟得此类问题的解题方法自然是充满艰辛和煎熬，需要历经反复才能实现。
3.尊重儿童的原初想法。数学是自己思考的产物。通过自身思考，加之亲身体验而得来的知识，容易成为自身不可分离的部分。对儿童而言，如此建构的知识世界才是最为真实的知识世界。在实际中，要从众多体验项目中优选最贴近儿童原初想法最值得体验的活动内容，以提高学生对知识的认同程度。比如，对千克的认识，非常有必要让学生多次体验1千克、2千克、3千克物体的质量，重视学生量感的培养，避免学生认识了吨之后出现笑话“电熨斗大约重10吨”和“电熨斗大约重10千克”。又如学习“三角形的内角和”一课，关于验证三角形的内角和是180°的方法，笔者进行课前学情调研时发现，孩子们在没有翻看课本的情况下，能自主想到的验证方法有三种：一种是画一个任意的三角形，量出三个内角度数相加；一种是从特殊的三角形（三角尺上的直角三角形和等边三角形）推想而得，即45° 45° 90°，30° 60° 90°，60° 60° 60°；第三种是可以找三个相同的三角形把它们不同的角放到一起“摆”拼成平角。笔者以为，第三种验证方法是儿童的数学现实，属于悟得活动的原初路径。实施教学时，我们采取四人小组为单位进行合作学习，绝大多数小组悟创结合，凭借小组内足够数量的三角形想出了“摆”拼法进行验证。之后，以阅读教材的方式了解和体验“撕”拼法（把三角形纸片3个角撕下来拼成平角）和“折”拼法（把三角形纸片各个角沿它两边中点连线对折着拼），从而在最大程度上顾及了儿童的真实感受，激发了其悟得的学习劲头。
（五）策略5：适度统整
“知识是由符号、逻辑和意义三个内在要素相互关联构成的整体。”[4]在设计儿童悟得的学习内容与路径时，需要发掘教材的深层价值，就教材的知识内核、整体结构和丰富内涵作适度统整，以促进和帮助学生赋予知识以鲜活的意义，从而让知识的内在要素之间的关联更为密切。
比如，六年级数学教科书上册第31页例3“六年级同学为国庆晚会准备了三种颜色的绸花，其中黄花有50朵。（1）红花比黄花多■，红花比黄花多多少朵？（2）绿花比黄花少■，绿花比黄花少多少朵？”的教学，第（1）题如果学生能正确地理解“红花比黄花多■”的意思，建立相应的数量关系式“黄花朵数×■=红花比黄花多的朵数”，再解决第（2）题就不存在太大的理解困难，剩下的只是迁移学习经验的问题了。事实上，学生正确地悟得“红花比黄花多■”的意思并形成清晰的解题经验，是存在很大困难的。
为此，我们把学习的视角从分数领域投放到整数领域，先让学生解决准备题目“黄花有15朵，红花比黄花多3倍。红花比黄花多多少朵？”学生先独自解答，再结合示意图（见图5上边部分）确认“3倍”是指把黄花看做单位“1”，红花比黄花多的朵数是黄花的3倍，即3倍对应的数量是红花比黄花多的朵数。接着，再鼓励学生解决尝试题目例3第（1）题。采取自悟自得的形式，迁移解决准备题时积累的思维经验，再针对示意图（见图5下边部分）确认“■”是指把黄花看做单位“1”，红花比黄花多的朵数是黄花的■，即分率■对应的数量是红花比黄花多的朵数。至于例题3第（2）题的解决，则是又一次学习经验的迁移和拓展。
综上所述，儿童悟得是儿童探索与联结数学世界的通途。教师若能对儿童有足够多的了解，对数学有足够深的解读，并积极地遵循儿童悟得的设计原则，主动地运用儿童悟得的实施策略，我们相信儿童数学学习之路较以往任何时候会更加地开阔、通畅和美好！
参考文献：
[1][2]陈立群.习得、识得与悟得[J].人民教育，2012（21）.
[3]黄武雄.童年与解放[M].北京：首都师范大学出版社，2009：22-23.
[4]季平.教什么知识：对教学的知识论基础的认识[M].北京：教育科学出版社，2009：84-100.
（朱小平，扬州市梅岭小学，225002；魏光明，南京市新华中学附属小学，210019）
责任编辑：颜莹