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【名师档案】
张齐华，男，江苏海门人，1997年参加工作，2004年调入南京市北京东路小学工作，现任副校长，小学高级教师，南京市学科带头人。一直致力于数学课堂文化的探索与实践，曾代表江苏省参加全国小学数学专业委员会第七届教学观摩大赛荣获一等奖。《人民教育》、《小学教学》先后对其在数学文化领域的探索给予专题报道，2007年《中国教育报》专题报道了其数学课堂系列教学艺术。参与数学课程标准苏教版小学数学教材的编写，100多篇教育教学论文在省级以上刊物发表，《张齐华与小学数学文化》由北京师范大学出版社正式出版。
教学时间：2011年11月
教学地点：南京市北京东路小学
教学年级：五年级
【教学目标】
1．在具体情境中，体会“用数对确定位置”规则的合理性，会根据相应规则，用数对确定平面内物体或点的位置。
2．感受数学思维、数学方法的严谨与美。
【教学过程】
一、激疑，引发思维碰撞
师：今天这节课，我们一起来研究一个既陌生、又熟悉的问题——用数对确定位置（板书课题）。为什么说这个问题既陌生，又熟悉？
生：要说熟悉，是因为我们二年级的时候好像学过确定位置的。但那时候好像不是用数对，而是第几排、第几个之类的。所以，数对对我们来说又很陌生。
师：为了让大家对这一问题有更深入的理解，今天，我给大家带来了一位神秘的嘉宾。（出示下图）猜猜看，会是谁呢？
生：我猜是你孩子？
师：心有灵犀一点通！这么多孩子，哪一个才是张老师家的呢？是我来揭示谜底，还是大家先考验一下自己的眼力，大胆地猜一猜？
生：猜一猜！
生：我觉得应该是第２组第２个，因为他的皮肤也有点黑。（生笑）
师：你很善于观察，而且对遗传学还有一定的研究。（生大笑）
生：我觉得可能是第４组第１个，因为我觉得张老师的爱人一定很漂亮，所以孩子也应该很漂亮。（生大笑）
师：谢谢你的祝福！哈哈，既有大胆猜测，也有合情推理，了不起！
生：我觉得有可能是第３排第５个。
生：不可能！张老师那么瘦，儿子怎么可能那么胖？！（生笑）
生：老师，你能告诉我你家的是儿子还是女儿啊？
师：这个问题暂时保密。
生：那你能告诉我，他（她）穿什么衣服啊？
师：嘿，那你还不如直接问我，他（她）在第几排，第几个得了。（生笑）怎么啦，遇到什么困难了？
生：光这样猜，很难猜中。你总得给我们提供点线索吧。
师：要线索是吧？没问题！张老师历来都是个慷慨的人。要么不给，要给就绝对给到位。要说张老师的孩子在哪儿？很简单。如果这时候，有一个数学家就在我们课堂上，他除了用“第几排第几个”的方式告诉大家以外，还会选择这样一种更简洁的方法，来确定张老师孩子的位置。想知道吗？
生：想！
师：那我就真写了。不过，写完以后，我得看看谁第一个找到张老师的孩子在哪里。
(教师板书：（４，２）。片刻安静后，有人匆匆举手，也有人私下里意见不和、争论不休)
师：怎么啦？有什么问题吗？我给出的，可是数学上最标准的答案了。
生：有问题！我们组的答案不统一。
师：是吗？说来听听！
生：我和同桌觉得是那个女孩（第４组第２个），因为我们觉得，这里的４应该是第４组，２应该是第２个，而这个女孩正好满足条件。所以我们觉得她就是你女儿。可是，他们俩不同意，他们认为应该是那个男孩（第２组第２个）。
师：你听过他们俩的想法吗？
生：听过，他们说，这个男孩也在第４组第２个。不过，他们是从右往左数的。
师：噢，原来是方向上出现了分歧。还有哪些同学也找到了这两个答案的，举手示意一下。（80%左右的学生举手示意）只有这两种观点吗？
生：我觉得还可能是后面那个女孩（手指第４组第４个）。
师：猜一猜，他又是怎么理解这里的（４，２）的？
生：我想，他可能觉得这里的４表示第４组，１-２-３-４，２表示的是第２横排，只不过他可能是从后往前数的。
师：（面对前一位发言者）你是这样理解的吗？
生：是的。
师：还有不同的理解？
生：还可能是第２组的那个女孩。因为如果我们从右往左数，她正好在第４组；如果我们再从后往前数，她又正好在第２排。
师：看来也能自圆其说哦。现在，一共有四种不同的答案了。还有别的吗？
生：没有了。
(综合上述发言，教师呈现如下画面)
二、对话，建构“数对”规则
师：奇怪！我给出的是数学上最标准的答案，可同学们却给我找到了四个不同的答案。难不成张老师会有四个孩子？（生笑）
生：不可能！
师：那么，之所以出现这样的问题，你们觉得是自己没有想清楚，还是张老师没有说清楚？
生（异口同声）：张老师没有说清楚！
师：哈哈！你们倒好，遇到问题，不先从自己身上找原因，责任全推我身上来了。
生：的确是你没有说清楚啊！
师：那好，如果真觉得是我没有说清楚，那你们说说，是我哪儿没有说清楚？组内商量一下，并给出你们的见解。
学生组内商量，质疑老师表达的漏洞。
生：我们组一致觉得，老师你光说（４，２）是不够的……
师：纠正一下，是数学家说的。
生：哦，我们组一致觉得，数学家光说（４，２）是不够的，也是不准确的（生笑）。因为他们没有说清楚，这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排。
师：胆子不小，不光要质疑我，还质疑起数学家来了。（生笑）还有哪个组有补充？
生：我们觉得，数学家还需要说清楚，横排究竟该从前往后数，还是从后往前数，竖排究竟要从左往右数，还是从右往左数。如果方向不确定，答案还是没法确定的。
师：现在看来，光有这两个数组成的数对是不够的，我们还得弄清两个关键问题，一个是顺序（板书：顺序），也就是哪个数是横排，哪个数是竖排；另一个是方向（板书：方向），横排或竖排究竟从哪儿数起。对吗？
生：对！
师：不过很遗憾，这两个问题，我都不想直接告诉你们。不过，我可以透露一下，我孩子最要好的朋友小邓，他所在的位置如果也用这样的数对来表示的话，应该是（2，1）……
(稍作观察后，很快便有学生按捺不住自己的发现，开始举手)
师：别着急，把你的发现先在组内说一说。
(学生组内交流，随后全班反馈)
生：张老师，我们发现你女儿了，她在那儿（手指第4列第2个）。
师：都同意他们组的发现吗？
生：同意！
师：能说说都是怎么发现的吗？
生：你们看，小邓的数对是（2，1），而他正好在第2竖排、第1横排。所以我们发现，数对前一个数表示的是第几竖排，后一个数表示的是第几横排。而你孩子的数对是（4，2），说明她在从左往右第4竖排，从前往后第2横排，所以她就是你女儿！
师：同意他的观点吗？
生：同意！不过，我还有补充。数竖排的话应该从左往右，数横排的话应该从前往后。
生：我也有补充。横排还可以叫行，竖排可以叫列。
师：你是怎么知道的？
生：我是听我爸讲的。
生：我是刚刚从书上看来的。
师：呵呵，动作还蛮快的嘛。的确，数学上，竖排也叫列，横排也叫行。现在，你能用行和列来说说数对中的这两个数，分别表示什么意义吗？
生：前一个数表示列，后一个数表示行。
生：确定第几列应该从左往右，确定第几行应该从前往后。
师：现在，你能带领大家按照这一规则，具体数一数、说一说，为什么（4，2）确定的这个人，就是张老师的女儿？
生：4表示第4列，我们可以从左数起，第1列、第2列、第3列、第4列。2表示第2行，我们可以从下数起，第1行、第2行。所以，（4，2）就是你女儿。
师：假如，我只给你列数，你能确定她的位置吗？只给行数呢？
生：不行。只给列数，我只能确定他（她）在第几列，但至于是哪一个，就没法确定了。只给行数也一样，也只能确定他（她）在哪一行，至于是这一行中的哪一个，同样没法确定。
生：我还有一个发现。就好比说，列数是一条竖线，行数是一条横线，一竖一横正好相交，而交叉点就是需要确定的那个位置。
师：多形象的描述！这倒让我想起了……
生：步枪上的瞄准器。
师：如果瞄准器上不是十字交叉，只是一条横线或竖线，还能帮助我们瞄准吗？
生：不能！
师：现在，你有没有明白，为什么确定平面内某一人的位置，需要两个数。
生：明白了。一个数是用来确定列数的，一个数是用来确定行数的。列数和行数，就像两条相交的线，共同锁定了一个点。
(结合学生的发言，教师给出右图，以印证学生的观点)
师：像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天所要研究的内容。刚才，同学们错把另三个同学当作我的孩子。现在，掌握了用数对确定位置的方法，你知道他们的位置又该用怎样的数对来表示吗?
生：他们所在的位置如果用数对表示，分别是（2，2）、（2，4）、（4，4）。
师：你能选择其中的一个，说说理由吗？
生：我选第一个，因为他在第2列、第2行，所以用数对表示是（2，2）。
师：这个数对很有意思——
生：两个数都是2。
师：表示的意思一样吗？
生：不一样。前一个2表示列数，后一个2表示行数。
师：这样看来，同样一个数，在不同的地方就表示不同的含义。
生：我选第二个，因为她在第2列、第4个，所以用数对表示是（2，4）。
生：我选第三个，因为她在第4列、第4个，所以用数对表示是（4，4）。而且，这两个4表示的意思也不同。
师：再来看这两个数对，（4，2）和（2，4），有什么发现？
生：所用的两个数完全相同，但它俩的位置却不同。
师：知道是为什么吗？
生：因为它们所在的位置不同。（4，2）表示第4列、第2行，而（2，4）则表示第2列、第4行。两数位置一换，意思就完全不同了。
师：所以，用数对确定位置时，我们尤其需要弄清先列后行的规则。
三、巩固，形成基本技能
（略，参见后文《让儿童“创造”属于自己的知识》“练习巩固”环节设计）
四、质疑，拓展思维空间
师：关于用数对确定位置，还有什么问题吗？或者，还有没有什么新的联想、新的发现？先独立冥想，再把你的问题或发现在小组内交流。
（学生组内交流，随后全班反馈）
生：我想问一下，除了像教室里的座位，还有什么地方也需要用数对来确定位置？
师：很有价值的问题！有谁能解答他的疑惑？
生：我觉得地球仪上就有数对。经线就像是列，纬线就像是行。
生：我觉得围棋棋盘上也有数对。比如，我们老师曾讲过“三三点”，现在我知道了，它其实就是指第3列、第3行的那个点，也就是我们今天讲的数对（3，3）。
生：是的，围棋棋盘的周围好像都有数字，我觉得这些数字就是用来帮助我们用数对确定每一步棋的位置的。
生：不光是围棋，中国象棋或者国际象棋上，也有类似的数字。好像国际象棋上一侧写了数字，另一侧写的是字母。这样，一个数字、一个字母，合起来也可以组成一个数对，而且是一种杂交数对（生笑），这种数对也可以帮助我们确定位置。
（结合学生的交流，教师现场利用网络，调出国际象棋和中国象棋的棋盘图片，以印证并丰富学生对上述观点的感受）
生：其实，不只是棋盘上能够用到数对，我还知道，电影院的座位用的也是数对。
生：不对，电影院的座位上没有数对。
生：有！比如第4排第2号，其实就是一个数对。只不过，它把行数放在前面，列数放在了后面。
师：受你的启发，我觉得未来电影院的座位，没有必要写那么复杂，直接用一个数对来表示就行了。你们觉得行吗？
生：行！只要规则大家都清楚就行。
生：航班上的座位，好像也是用数对来表示的。比如，我有一次正好坐在飞机第1排靠窗的第1张座位上，我的登机牌上写的就是1A。我觉得，前面的1表示的是第1排，后面的A表示的是第1个。
师：那么，如果是第2排第3个、第7排第4个呢？
生：应该是2C，7D。
师：真了不起！当然，大家也一定发现了，航班上的数对，和我们今天研究的数对，有相似的地方，也有不同的地方。
生：相同的是，都是用两个东西确定位置。不同的是，数对用的是两个数，而航班上的位置，用的是一个数字和一个字母。
生：刚才的国际象棋棋盘上，用的也是一个字母、一个数字。
生：而且，今天研究的数对，列在前、行在后。而飞机上的“数对”，则是行在前、列在后的。
师：从座位图中的数对联想到了生活中的数对，相信大家对数对的认识更丰富，也更全面了。对于数对，还有什么问题需要深入研究吗？
（学生初无疑问，组内深入交流后，渐有人举手）
生：我们组提出，数对为什么要规定列在前、行在后。如果倒过来，行在前、列在后，可不可以？
师：有谁愿意试着解答他们的疑惑？
生：我觉得没什么不可以。如果规则换过来了，那么把数对中的两个数也换个位置就行了。
生：我觉得不可以。如果一会儿行在前列在后，一会儿又列在前、行在后，这样不就乱了吗？
生：我说的是，统一改成行在前、列在后，而不是变来变去。
师：看来，有一点是达成共识的，也就是说，不管规则怎么定，但定下后就不能变，要一直遵循统一、固定的规则，对吗？
生：对！
生：我觉得不能变。数学家最终确定了先列后行，一定是有他们的考虑的。
师：你的直觉很棒！数学上的很多规定，看起来都是人为设制的，好像很随意。但有些的确是有它的道理的。至于数对中为何要先列后行，到了中学，研究了平面几何以后，大家可能会对这一问题有更深入的思考。还有什么新的问题吗？
生：有没有3个数组成的数对？
师：从“2”想到了“3”，这是一种极有价值的突破，掌声先鼓励一下！（掌声）你们觉得有没有？
生：我觉得没有，因为无论什么情况，有两个数，就可以确定某个人的位置了。
生：我也觉得没有。因为一个“十”字叉，一定可以锁定某个点的位置，我从没看见枪的瞄准器上，有三条线组成的准星呢。
生：我不同意！我觉得有可能需要三个数，因为我们生活的是三维空间。（此语一出，全场愕然！）三维空间，当然需要三个数。
师：能举个例子吗？
生：……
师：需要我来支持一下吗？
生：嗯。
师：见过魔方吗？（见过）如果要确定其中某一块的位置……
生：哦，我明白了！魔方一共有好几层，先要确定它在第几层，然后再确定它在第几列、第几行，这样正好需要3个数。
生：但是，我们觉得4个数就不可能了。
生：我觉得可能，还可以加上时间啊！（全场侧目）
师：呵呵，看来，用数对确定位置，已经引发了大家全面、深入的思考。有没有答案并不重要，关键是，大家可以沿着自己给出的猜测，查一查资料，问问爸爸妈妈，相信大家会对这些问题有更深入的研究。
（张齐华，南京市北京东路小学，210008）
张齐华，男，江苏海门人，1997年参加工作，2004年调入南京市北京东路小学工作，现任副校长，小学高级教师，南京市学科带头人。一直致力于数学课堂文化的探索与实践，曾代表江苏省参加全国小学数学专业委员会第七届教学观摩大赛荣获一等奖。《人民教育》、《小学教学》先后对其在数学文化领域的探索给予专题报道，2007年《中国教育报》专题报道了其数学课堂系列教学艺术。参与数学课程标准苏教版小学数学教材的编写，100多篇教育教学论文在省级以上刊物发表，《张齐华与小学数学文化》由北京师范大学出版社正式出版。
教学时间：2011年11月
教学地点：南京市北京东路小学
教学年级：五年级
【教学目标】
1．在具体情境中，体会“用数对确定位置”规则的合理性，会根据相应规则，用数对确定平面内物体或点的位置。
2．感受数学思维、数学方法的严谨与美。
【教学过程】
一、激疑，引发思维碰撞
师：今天这节课，我们一起来研究一个既陌生、又熟悉的问题——用数对确定位置（板书课题）。为什么说这个问题既陌生，又熟悉？
生：要说熟悉，是因为我们二年级的时候好像学过确定位置的。但那时候好像不是用数对，而是第几排、第几个之类的。所以，数对对我们来说又很陌生。
师：为了让大家对这一问题有更深入的理解，今天，我给大家带来了一位神秘的嘉宾。（出示下图）猜猜看，会是谁呢？
生：我猜是你孩子？
师：心有灵犀一点通！这么多孩子，哪一个才是张老师家的呢？是我来揭示谜底，还是大家先考验一下自己的眼力，大胆地猜一猜？
生：猜一猜！
生：我觉得应该是第２组第２个，因为他的皮肤也有点黑。（生笑）
师：你很善于观察，而且对遗传学还有一定的研究。（生大笑）
生：我觉得可能是第４组第１个，因为我觉得张老师的爱人一定很漂亮，所以孩子也应该很漂亮。（生大笑）
师：谢谢你的祝福！哈哈，既有大胆猜测，也有合情推理，了不起！
生：我觉得有可能是第３排第５个。
生：不可能！张老师那么瘦，儿子怎么可能那么胖？！（生笑）
生：老师，你能告诉我你家的是儿子还是女儿啊？
师：这个问题暂时保密。
生：那你能告诉我，他（她）穿什么衣服啊？
师：嘿，那你还不如直接问我，他（她）在第几排，第几个得了。（生笑）怎么啦，遇到什么困难了？
生：光这样猜，很难猜中。你总得给我们提供点线索吧。
师：要线索是吧？没问题！张老师历来都是个慷慨的人。要么不给，要给就绝对给到位。要说张老师的孩子在哪儿？很简单。如果这时候，有一个数学家就在我们课堂上，他除了用“第几排第几个”的方式告诉大家以外，还会选择这样一种更简洁的方法，来确定张老师孩子的位置。想知道吗？
生：想！
师：那我就真写了。不过，写完以后，我得看看谁第一个找到张老师的孩子在哪里。
(教师板书：（４，２）。片刻安静后，有人匆匆举手，也有人私下里意见不和、争论不休)
师：怎么啦？有什么问题吗？我给出的，可是数学上最标准的答案了。
生：有问题！我们组的答案不统一。
师：是吗？说来听听！
生：我和同桌觉得是那个女孩（第４组第２个），因为我们觉得，这里的４应该是第４组，２应该是第２个，而这个女孩正好满足条件。所以我们觉得她就是你女儿。可是，他们俩不同意，他们认为应该是那个男孩（第２组第２个）。
师：你听过他们俩的想法吗？
生：听过，他们说，这个男孩也在第４组第２个。不过，他们是从右往左数的。
师：噢，原来是方向上出现了分歧。还有哪些同学也找到了这两个答案的，举手示意一下。（80%左右的学生举手示意）只有这两种观点吗？
生：我觉得还可能是后面那个女孩（手指第４组第４个）。
师：猜一猜，他又是怎么理解这里的（４，２）的？
生：我想，他可能觉得这里的４表示第４组，１-２-３-４，２表示的是第２横排，只不过他可能是从后往前数的。
师：（面对前一位发言者）你是这样理解的吗？
生：是的。
师：还有不同的理解？
生：还可能是第２组的那个女孩。因为如果我们从右往左数，她正好在第４组；如果我们再从后往前数，她又正好在第２排。
师：看来也能自圆其说哦。现在，一共有四种不同的答案了。还有别的吗？
生：没有了。
(综合上述发言，教师呈现如下画面)
二、对话，建构“数对”规则
师：奇怪！我给出的是数学上最标准的答案，可同学们却给我找到了四个不同的答案。难不成张老师会有四个孩子？（生笑）
生：不可能！
师：那么，之所以出现这样的问题，你们觉得是自己没有想清楚，还是张老师没有说清楚？
生（异口同声）：张老师没有说清楚！
师：哈哈！你们倒好，遇到问题，不先从自己身上找原因，责任全推我身上来了。
生：的确是你没有说清楚啊！
师：那好，如果真觉得是我没有说清楚，那你们说说，是我哪儿没有说清楚？组内商量一下，并给出你们的见解。
学生组内商量，质疑老师表达的漏洞。
生：我们组一致觉得，老师你光说（４，２）是不够的……
师：纠正一下，是数学家说的。
生：哦，我们组一致觉得，数学家光说（４，２）是不够的，也是不准确的（生笑）。因为他们没有说清楚，这两个数到底哪一个是横排，哪一个是竖排。
师：胆子不小，不光要质疑我，还质疑起数学家来了。（生笑）还有哪个组有补充？
生：我们觉得，数学家还需要说清楚，横排究竟该从前往后数，还是从后往前数，竖排究竟要从左往右数，还是从右往左数。如果方向不确定，答案还是没法确定的。
师：现在看来，光有这两个数组成的数对是不够的，我们还得弄清两个关键问题，一个是顺序（板书：顺序），也就是哪个数是横排，哪个数是竖排；另一个是方向（板书：方向），横排或竖排究竟从哪儿数起。对吗？
生：对！
师：不过很遗憾，这两个问题，我都不想直接告诉你们。不过，我可以透露一下，我孩子最要好的朋友小邓，他所在的位置如果也用这样的数对来表示的话，应该是（2，1）……
(稍作观察后，很快便有学生按捺不住自己的发现，开始举手)
师：别着急，把你的发现先在组内说一说。
(学生组内交流，随后全班反馈)
生：张老师，我们发现你女儿了，她在那儿（手指第4列第2个）。
师：都同意他们组的发现吗？
生：同意！
师：能说说都是怎么发现的吗？
生：你们看，小邓的数对是（2，1），而他正好在第2竖排、第1横排。所以我们发现，数对前一个数表示的是第几竖排，后一个数表示的是第几横排。而你孩子的数对是（4，2），说明她在从左往右第4竖排，从前往后第2横排，所以她就是你女儿！
师：同意他的观点吗？
生：同意！不过，我还有补充。数竖排的话应该从左往右，数横排的话应该从前往后。
生：我也有补充。横排还可以叫行，竖排可以叫列。
师：你是怎么知道的？
生：我是听我爸讲的。
生：我是刚刚从书上看来的。
师：呵呵，动作还蛮快的嘛。的确，数学上，竖排也叫列，横排也叫行。现在，你能用行和列来说说数对中的这两个数，分别表示什么意义吗？
生：前一个数表示列，后一个数表示行。
生：确定第几列应该从左往右，确定第几行应该从前往后。
师：现在，你能带领大家按照这一规则，具体数一数、说一说，为什么（4，2）确定的这个人，就是张老师的女儿？
生：4表示第4列，我们可以从左数起，第1列、第2列、第3列、第4列。2表示第2行，我们可以从下数起，第1行、第2行。所以，（4，2）就是你女儿。
师：假如，我只给你列数，你能确定她的位置吗？只给行数呢？
生：不行。只给列数，我只能确定他（她）在第几列，但至于是哪一个，就没法确定了。只给行数也一样，也只能确定他（她）在哪一行，至于是这一行中的哪一个，同样没法确定。
生：我还有一个发现。就好比说，列数是一条竖线，行数是一条横线，一竖一横正好相交，而交叉点就是需要确定的那个位置。
师：多形象的描述！这倒让我想起了……
生：步枪上的瞄准器。
师：如果瞄准器上不是十字交叉，只是一条横线或竖线，还能帮助我们瞄准吗？
生：不能！
师：现在，你有没有明白，为什么确定平面内某一人的位置，需要两个数。
生：明白了。一个数是用来确定列数的，一个数是用来确定行数的。列数和行数，就像两条相交的线，共同锁定了一个点。
(结合学生的发言，教师给出右图，以印证学生的观点)
师：像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天所要研究的内容。刚才，同学们错把另三个同学当作我的孩子。现在，掌握了用数对确定位置的方法，你知道他们的位置又该用怎样的数对来表示吗?
生：他们所在的位置如果用数对表示，分别是（2，2）、（2，4）、（4，4）。
师：你能选择其中的一个，说说理由吗？
生：我选第一个，因为他在第2列、第2行，所以用数对表示是（2，2）。
师：这个数对很有意思——
生：两个数都是2。
师：表示的意思一样吗？
生：不一样。前一个2表示列数，后一个2表示行数。
师：这样看来，同样一个数，在不同的地方就表示不同的含义。
生：我选第二个，因为她在第2列、第4个，所以用数对表示是（2，4）。
生：我选第三个，因为她在第4列、第4个，所以用数对表示是（4，4）。而且，这两个4表示的意思也不同。
师：再来看这两个数对，（4，2）和（2，4），有什么发现？
生：所用的两个数完全相同，但它俩的位置却不同。
师：知道是为什么吗？
生：因为它们所在的位置不同。（4，2）表示第4列、第2行，而（2，4）则表示第2列、第4行。两数位置一换，意思就完全不同了。
师：所以，用数对确定位置时，我们尤其需要弄清先列后行的规则。
三、巩固，形成基本技能
（略，参见后文《让儿童“创造”属于自己的知识》“练习巩固”环节设计）
四、质疑，拓展思维空间
师：关于用数对确定位置，还有什么问题吗？或者，还有没有什么新的联想、新的发现？先独立冥想，再把你的问题或发现在小组内交流。
（学生组内交流，随后全班反馈）
生：我想问一下，除了像教室里的座位，还有什么地方也需要用数对来确定位置？
师：很有价值的问题！有谁能解答他的疑惑？
生：我觉得地球仪上就有数对。经线就像是列，纬线就像是行。
生：我觉得围棋棋盘上也有数对。比如，我们老师曾讲过“三三点”，现在我知道了，它其实就是指第3列、第3行的那个点，也就是我们今天讲的数对（3，3）。
生：是的，围棋棋盘的周围好像都有数字，我觉得这些数字就是用来帮助我们用数对确定每一步棋的位置的。
生：不光是围棋，中国象棋或者国际象棋上，也有类似的数字。好像国际象棋上一侧写了数字，另一侧写的是字母。这样，一个数字、一个字母，合起来也可以组成一个数对，而且是一种杂交数对（生笑），这种数对也可以帮助我们确定位置。
（结合学生的交流，教师现场利用网络，调出国际象棋和中国象棋的棋盘图片，以印证并丰富学生对上述观点的感受）
生：其实，不只是棋盘上能够用到数对，我还知道，电影院的座位用的也是数对。
生：不对，电影院的座位上没有数对。
生：有！比如第4排第2号，其实就是一个数对。只不过，它把行数放在前面，列数放在了后面。
师：受你的启发，我觉得未来电影院的座位，没有必要写那么复杂，直接用一个数对来表示就行了。你们觉得行吗？
生：行！只要规则大家都清楚就行。
生：航班上的座位，好像也是用数对来表示的。比如，我有一次正好坐在飞机第1排靠窗的第1张座位上，我的登机牌上写的就是1A。我觉得，前面的1表示的是第1排，后面的A表示的是第1个。
师：那么，如果是第2排第3个、第7排第4个呢？
生：应该是2C，7D。
师：真了不起！当然，大家也一定发现了，航班上的数对，和我们今天研究的数对，有相似的地方，也有不同的地方。
生：相同的是，都是用两个东西确定位置。不同的是，数对用的是两个数，而航班上的位置，用的是一个数字和一个字母。
生：刚才的国际象棋棋盘上，用的也是一个字母、一个数字。
生：而且，今天研究的数对，列在前、行在后。而飞机上的“数对”，则是行在前、列在后的。
师：从座位图中的数对联想到了生活中的数对，相信大家对数对的认识更丰富，也更全面了。对于数对，还有什么问题需要深入研究吗？
（学生初无疑问，组内深入交流后，渐有人举手）
生：我们组提出，数对为什么要规定列在前、行在后。如果倒过来，行在前、列在后，可不可以？
师：有谁愿意试着解答他们的疑惑？
生：我觉得没什么不可以。如果规则换过来了，那么把数对中的两个数也换个位置就行了。
生：我觉得不可以。如果一会儿行在前列在后，一会儿又列在前、行在后，这样不就乱了吗？
生：我说的是，统一改成行在前、列在后，而不是变来变去。
师：看来，有一点是达成共识的，也就是说，不管规则怎么定，但定下后就不能变，要一直遵循统一、固定的规则，对吗？
生：对！
生：我觉得不能变。数学家最终确定了先列后行，一定是有他们的考虑的。
师：你的直觉很棒！数学上的很多规定，看起来都是人为设制的，好像很随意。但有些的确是有它的道理的。至于数对中为何要先列后行，到了中学，研究了平面几何以后，大家可能会对这一问题有更深入的思考。还有什么新的问题吗？
生：有没有3个数组成的数对？
师：从“2”想到了“3”，这是一种极有价值的突破，掌声先鼓励一下！（掌声）你们觉得有没有？
生：我觉得没有，因为无论什么情况，有两个数，就可以确定某个人的位置了。
生：我也觉得没有。因为一个“十”字叉，一定可以锁定某个点的位置，我从没看见枪的瞄准器上，有三条线组成的准星呢。
生：我不同意！我觉得有可能需要三个数，因为我们生活的是三维空间。（此语一出，全场愕然！）三维空间，当然需要三个数。
师：能举个例子吗？
生：……
师：需要我来支持一下吗？
生：嗯。
师：见过魔方吗？（见过）如果要确定其中某一块的位置……
生：哦，我明白了！魔方一共有好几层，先要确定它在第几层，然后再确定它在第几列、第几行，这样正好需要3个数。
生：但是，我们觉得4个数就不可能了。
生：我觉得可能，还可以加上时间啊！（全场侧目）
师：呵呵，看来，用数对确定位置，已经引发了大家全面、深入的思考。有没有答案并不重要，关键是，大家可以沿着自己给出的猜测，查一查资料，问问爸爸妈妈，相信大家会对这些问题有更深入的研究。
（张齐华，南京市北京东路小学，210008）