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函数的奇偶性是函数的十分重要的性质,它是反映函数本质的特征之一,它与函数其它性质联系也较广泛,下面我就函数奇偶性复习谈一点做法:
一、 必须在定义域中来研究函数的奇偶性
例1 判别下列函数的奇偶性
(1) f(x)=(1+x)1-x1+x;(2) g(x)=lg(1-x2)|x+2|-2.
解:(1) ∵函数定义域为{x|-1<x≤1}
∴它不关于数轴上原点对称,故f(x)是非奇非偶函数
(2) ∵函数定义域为1-x2>0|x+2|-2≠0
∴其定义域为{x|-1<x<1且x≠0}
此时g(x)=lg(1-x2)(x+2)-2=lg(1-x2)x
可验证g(x)是奇函数
二、 证明函数的奇偶性时,要对函数(或证明函数奇偶性过程中)加以化简或转化
例2 判断下列函数奇偶性
(1) f(x)=lg(x2+1-x);(2) g(x)=axax+1-12(a>0且a≠0).
解:(1) f(x)=lg(x2+1-x)可知定义域为R
∴f(-x)=lg(x2+1-(-x)=lg(x2+1+x)=lg(x2+1-x)-1
=-lg(x2+1-x)=-f(x)
∴函数f(x)R上为奇函数
(2) g(x)=axax+1-12
∴g(x)=ax-12(ax+1),定义域为R
又g(-x)=a-x-12(a-x+1)=1ax-121+1ax+1=1-ax2(1+ax)=-g(x)
∴函数g(x)为R上奇函数
三、 会利用图象来形象地判断函数的奇偶性
例3 判断下列函数奇偶性:f(x)=-x2+2x+1,x>0x2+2x-1,x<0.
解:y=f(x)的图象为右图,
可知它关于原点对称
∴该函数是奇函数
四、 会证明抽象函数的奇偶性
类型(一):用赋值法产生“f(0)”
例4 定义R上函数f(x),对任意x1,x2均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),求f(x)奇偶性.
解:令x1=x2=0,则f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
∴f(0)=0
∴0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
∴得f(-x)=-f(x)
∴f(x)为R上奇函数
类型(二):用赋值法产生“f(-1)”
例5 已知定义域为D={x|x≠0}上函数f(x),对x1,x2∈D均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),求f(x)奇偶性.
解:令x1=x2=1,得f(1)=f(1•1)=f(1)+f(1)f(1)=0
∴f(1)=f(-1×(-1))=f(-1)+f(-1)知f(-1)=0
∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x)
故函数f(x)是R上偶函数
类型(三):联想具体函数加以猜想
例6 已知定义R上f(x),对任意x,y均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0,求f(x)奇偶性.
解:(1) 通过题意的条件和其特征,加以联想,如f(x)=cosx就满足条件
即:cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy
∴可猜出f(x)是偶函数
(2) 令x=y=0,知f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)又f(0)≠0
∴f(0)=1
∴由题意知f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x)
∴f(x)+f(-x)=2f(x)
∴得f(-x)=f(x)
∴函数为R上偶函数
类型(四):通过代换或换元来证明函数单调性
例7 已知定义为R的函数f(x)满足:f(x)对任意x1,x2∈R均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,问f(x)+1的奇偶性.
解:令F(x)=f(x)+1,下面只要判断F(-x)与F(x)的关系,由题意知,f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+1
∴F(-x)+F(x)=[f(-x)+1]+[f(x)+1]
=f(-x)+f(x)+2
=[f(-x)+f(x)]+2
=[f(-x+x)-1]+2
=f(0)+1
又令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+1
知f(0)+1=0
∴F(-x)+F(x)=0
∴得F(-x)=-F(x)
∴F(-x)是奇函数,则f(x)+1是奇函数
五、 利用函数奇偶性求解析式
例8 已知定义R上的奇函数f(x),当x>0时f(x)=x3-x2+1,求f(x)解析式.
解:设x<0
∵函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)又-x>0
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)3-(-x)2+1]=x3-x2-1
∴f(x)解析式为f(x)=x3-x2+1,x>00,x=0x3-x2-1,x<0
不要忘记f(0)=0
六、 函数奇偶性综合运用
类型(一):与函数的单调性联系
例9 已知f(x)是R上奇函数,且函数是(-∞,0)上减函数,求f(x)在(0,+∞)上单调性.
证明:设x1>x2>0 ∴-x1<-x2<0 由题意知f(-x1)>f(-x2)
∴f(x1)-f(x2)=[-f(-x1)]-[-f(-x2)]
=f(-x2)-f(-x1)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)是(0,+∞)上减函数
类型(二):与函数周期联系
例10 f(x)是定义R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,求函数f(x)的最小正周期.
解:由题意知,f(x)满足f(-x)=f(2+x)
又f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)得f(2+x)=f(x)
∴函数f(x)的最小正周期为2
类型(三):与函数的图象联系
例11 已知函数y=f(x+1)是偶函数,且f(x)是(1,+∞)上增函数,比较f(0)与f(3)大小.
解:∵函数y=f(x+1)是偶函数,y=f(x+1)图象关于直线x=0对称
∴函数y=f(x)图象关于直线x=1对称
∴f(0)=f(2),又f(x)是(1,+∞)上是增函数
∴f(2)<f(3)
即f(0)<f(3)
类型(四):与函数的数值有联系
一、 必须在定义域中来研究函数的奇偶性
例1 判别下列函数的奇偶性
(1) f(x)=(1+x)1-x1+x;(2) g(x)=lg(1-x2)|x+2|-2.
解:(1) ∵函数定义域为{x|-1<x≤1}
∴它不关于数轴上原点对称,故f(x)是非奇非偶函数
(2) ∵函数定义域为1-x2>0|x+2|-2≠0
∴其定义域为{x|-1<x<1且x≠0}
此时g(x)=lg(1-x2)(x+2)-2=lg(1-x2)x
可验证g(x)是奇函数
二、 证明函数的奇偶性时,要对函数(或证明函数奇偶性过程中)加以化简或转化
例2 判断下列函数奇偶性
(1) f(x)=lg(x2+1-x);(2) g(x)=axax+1-12(a>0且a≠0).
解:(1) f(x)=lg(x2+1-x)可知定义域为R
∴f(-x)=lg(x2+1-(-x)=lg(x2+1+x)=lg(x2+1-x)-1
=-lg(x2+1-x)=-f(x)
∴函数f(x)R上为奇函数
(2) g(x)=axax+1-12
∴g(x)=ax-12(ax+1),定义域为R
又g(-x)=a-x-12(a-x+1)=1ax-121+1ax+1=1-ax2(1+ax)=-g(x)
∴函数g(x)为R上奇函数
三、 会利用图象来形象地判断函数的奇偶性
例3 判断下列函数奇偶性:f(x)=-x2+2x+1,x>0x2+2x-1,x<0.
解:y=f(x)的图象为右图,
可知它关于原点对称
∴该函数是奇函数
四、 会证明抽象函数的奇偶性
类型(一):用赋值法产生“f(0)”
例4 定义R上函数f(x),对任意x1,x2均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),求f(x)奇偶性.
解:令x1=x2=0,则f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)
∴f(0)=0
∴0=f(0)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
∴得f(-x)=-f(x)
∴f(x)为R上奇函数
类型(二):用赋值法产生“f(-1)”
例5 已知定义域为D={x|x≠0}上函数f(x),对x1,x2∈D均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),求f(x)奇偶性.
解:令x1=x2=1,得f(1)=f(1•1)=f(1)+f(1)f(1)=0
∴f(1)=f(-1×(-1))=f(-1)+f(-1)知f(-1)=0
∴f(-x)=f(-1•x)=f(-1)+f(x)=f(x)
故函数f(x)是R上偶函数
类型(三):联想具体函数加以猜想
例6 已知定义R上f(x),对任意x,y均有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0,求f(x)奇偶性.
解:(1) 通过题意的条件和其特征,加以联想,如f(x)=cosx就满足条件
即:cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy
∴可猜出f(x)是偶函数
(2) 令x=y=0,知f(0+0)+f(0-0)=2f(0)f(0)又f(0)≠0
∴f(0)=1
∴由题意知f(0+x)+f(0-x)=2f(0)f(x)
∴f(x)+f(-x)=2f(x)
∴得f(-x)=f(x)
∴函数为R上偶函数
类型(四):通过代换或换元来证明函数单调性
例7 已知定义为R的函数f(x)满足:f(x)对任意x1,x2∈R均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,问f(x)+1的奇偶性.
解:令F(x)=f(x)+1,下面只要判断F(-x)与F(x)的关系,由题意知,f(x+(-x))=f(x)+f(-x)+1
∴F(-x)+F(x)=[f(-x)+1]+[f(x)+1]
=f(-x)+f(x)+2
=[f(-x)+f(x)]+2
=[f(-x+x)-1]+2
=f(0)+1
又令x1=x2=0,得f(0+0)=f(0)+f(0)+1
知f(0)+1=0
∴F(-x)+F(x)=0
∴得F(-x)=-F(x)
∴F(-x)是奇函数,则f(x)+1是奇函数
五、 利用函数奇偶性求解析式
例8 已知定义R上的奇函数f(x),当x>0时f(x)=x3-x2+1,求f(x)解析式.
解:设x<0
∵函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)又-x>0
∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)3-(-x)2+1]=x3-x2-1
∴f(x)解析式为f(x)=x3-x2+1,x>00,x=0x3-x2-1,x<0
不要忘记f(0)=0
六、 函数奇偶性综合运用
类型(一):与函数的单调性联系
例9 已知f(x)是R上奇函数,且函数是(-∞,0)上减函数,求f(x)在(0,+∞)上单调性.
证明:设x1>x2>0 ∴-x1<-x2<0 由题意知f(-x1)>f(-x2)
∴f(x1)-f(x2)=[-f(-x1)]-[-f(-x2)]
=f(-x2)-f(-x1)<0
∴f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)是(0,+∞)上减函数
类型(二):与函数周期联系
例10 f(x)是定义R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,求函数f(x)的最小正周期.
解:由题意知,f(x)满足f(-x)=f(2+x)
又f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)得f(2+x)=f(x)
∴函数f(x)的最小正周期为2
类型(三):与函数的图象联系
例11 已知函数y=f(x+1)是偶函数,且f(x)是(1,+∞)上增函数,比较f(0)与f(3)大小.
解:∵函数y=f(x+1)是偶函数,y=f(x+1)图象关于直线x=0对称
∴函数y=f(x)图象关于直线x=1对称
∴f(0)=f(2),又f(x)是(1,+∞)上是增函数
∴f(2)<f(3)
即f(0)<f(3)
类型(四):与函数的数值有联系