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【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）16-0238-02
在日常生活中，我们常常要判断事物的是非好坏。而推理则是在已知判断的基础上，去推断未知判断的思维过程。归纳推理在自然科学研究中扮演非常重要的角色，在数学研究中也不例外。法国数学家拉普拉斯曾说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比”。中学数学学习阶段是学生推理能力发展的重要阶段。为此，本文探讨了归纳推理的内涵，以及归纳推理对于数学教育的重要价值，并给出一些教学策略，希望为广大教育工作者开展归纳推理的教学提供一些参考。
1.归纳推理的内涵
归纳推理亦称或然推理，最早对它进行研究的是波利亚。波利亚在《怎样解题》中提出：“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程。”[1]其中，“观察”是感知事物的直观操作方式，而“组合”是对内在思想的组合，是进行数学发现或发明的基本方式。可见，归纳推理具有创造性思维，是发现数学规律的过程。
史宁中教授这样描述归纳推理的定义：“从经验和概念出发，按照某些法则进行的、前提与结论之间有着或然联系的推理。”
2.归纳推理在数学教育中的价值
2.1积累数学基本活动经验
数学基本活动经验的内涵是经历和感悟了归纳推理和演绎推理过程后积淀形成的思维模式，最终建立一定的数学直观。中学生的数学学习，需要经历数学基本活动的完整过程，包括观察、归纳与猜想、表达、验证四个部分。其中，前三个部分属于归纳推理。只有学生亲身经历和感悟数学探究的全过程，才能积累一定的数学基本活动经验。
2.2丰富数学核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出了高中数学核心素养。逻辑推理作为数学核心素养的六个成分之一，主要表现为发现问题和提出问题，探索和表征论证过程。其中“发现命题和提出命题”指的就是归纳推理能力。此外，归纳推理的过程中需要不断地观察和比较事物，还要从具体问题入手抽象出一般数学模型。也就是说，归纳推理的学习还能促进学生数学抽象、直观想象等核心素养的发展。
2.3培养创新意识和创造力
数学家的创造性工作是论证，即证明。但这种证明是通过归纳推理和猜想发现的。归纳推理在解决问题的过程中具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，学生要从个别的、特殊的现象总结并预测一般的、普遍的规律，从观察到已知的现象，推测未曾经验过的规律，这是培养学生创新意识和创造力的过程。也正因如此，如何培养学生的归纳推理能力是一个至关重要的问题。
3.归纳推理的教学策略
3.1提供的例子要足够多且典型
归纳推理的教学要让学生感知到归纳应具备的要素：（1）多個特例的综合分析;（2）特例共性的发现;（3）共性的概括。可见，作为前提的例子是影响归纳推理可靠性的一个重要因素。如果没有足够多的例子，就无法体现出共同特征或本质属性，也就无法进行归纳。
除了注意所提供的例子在数量上要足够多以外，在质量上也要有典型性。例如，“数列的概念”新授课的引入阶段，教师往往需要通过几个例子来帮助学生理解数列的概念，给学生充分的时间去观察和思考，归纳出一般数列的概念。所谓典型性，就是既能突出关键性质，又能剔除无关性质的干扰。
3.2从具体数字出发计算，从具体问题入手计算
我们考虑鸡兔同笼的问题“笼子里有鸡和兔共16只，合计有腿56条，问鸡和兔各有多少只”，这个问题可以用四则运算来求解，也可以用方程来求解。所谓归纳推理的方法，就是从具体的数字出发计算，在计算的过程中探索和发现规律。我们可以先假设16只全是兔，那么共有16×4=64条腿，这比问题中说的60条腿多，依据顺序归纳推理，我们需要逐步减少兔子的数量，增加鸡的数量，即变为15只兔，1只鸡，那么共有15×4+1×2=62，仍然过多，还需要减少兔，增加鸡，如此类推，学生可以发现12×4+4×2=56。这样，问题的答案就是12只兔和4只鸡。
对于一名教师来说，能够把一个具体问题抽象为用符号表达的一类问题是有意义的，因为只有通过这种抽象才能真正把握一类问题的本质，才能实现举一反三，才能给学生展示出归纳推理的一般过程;对学生来说，建立四则运算的算式的思维过程是必须要经历的，看起来有点笨拙，不如列方程来的简单，但它能够促进学生的逻辑推理、直观想象和数学抽象素养的发展。
参考文献：
[1]G·波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
作者简介：
宗丽颖（1996.07-），女，汉族，浙江省金华市人，硕士研究生在读。
在日常生活中，我们常常要判断事物的是非好坏。而推理则是在已知判断的基础上，去推断未知判断的思维过程。归纳推理在自然科学研究中扮演非常重要的角色，在数学研究中也不例外。法国数学家拉普拉斯曾说过：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比”。中学数学学习阶段是学生推理能力发展的重要阶段。为此，本文探讨了归纳推理的内涵，以及归纳推理对于数学教育的重要价值，并给出一些教学策略，希望为广大教育工作者开展归纳推理的教学提供一些参考。
1.归纳推理的内涵
归纳推理亦称或然推理，最早对它进行研究的是波利亚。波利亚在《怎样解题》中提出：“归纳是通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程。”[1]其中，“观察”是感知事物的直观操作方式，而“组合”是对内在思想的组合，是进行数学发现或发明的基本方式。可见，归纳推理具有创造性思维，是发现数学规律的过程。
史宁中教授这样描述归纳推理的定义：“从经验和概念出发，按照某些法则进行的、前提与结论之间有着或然联系的推理。”
2.归纳推理在数学教育中的价值
2.1积累数学基本活动经验
数学基本活动经验的内涵是经历和感悟了归纳推理和演绎推理过程后积淀形成的思维模式，最终建立一定的数学直观。中学生的数学学习，需要经历数学基本活动的完整过程，包括观察、归纳与猜想、表达、验证四个部分。其中，前三个部分属于归纳推理。只有学生亲身经历和感悟数学探究的全过程，才能积累一定的数学基本活动经验。
2.2丰富数学核心素养
《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出了高中数学核心素养。逻辑推理作为数学核心素养的六个成分之一，主要表现为发现问题和提出问题，探索和表征论证过程。其中“发现命题和提出命题”指的就是归纳推理能力。此外，归纳推理的过程中需要不断地观察和比较事物，还要从具体问题入手抽象出一般数学模型。也就是说，归纳推理的学习还能促进学生数学抽象、直观想象等核心素养的发展。
2.3培养创新意识和创造力
数学家的创造性工作是论证，即证明。但这种证明是通过归纳推理和猜想发现的。归纳推理在解决问题的过程中具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，学生要从个别的、特殊的现象总结并预测一般的、普遍的规律，从观察到已知的现象，推测未曾经验过的规律，这是培养学生创新意识和创造力的过程。也正因如此，如何培养学生的归纳推理能力是一个至关重要的问题。
3.归纳推理的教学策略
3.1提供的例子要足够多且典型
归纳推理的教学要让学生感知到归纳应具备的要素：（1）多個特例的综合分析;（2）特例共性的发现;（3）共性的概括。可见，作为前提的例子是影响归纳推理可靠性的一个重要因素。如果没有足够多的例子，就无法体现出共同特征或本质属性，也就无法进行归纳。
除了注意所提供的例子在数量上要足够多以外，在质量上也要有典型性。例如，“数列的概念”新授课的引入阶段，教师往往需要通过几个例子来帮助学生理解数列的概念，给学生充分的时间去观察和思考，归纳出一般数列的概念。所谓典型性，就是既能突出关键性质，又能剔除无关性质的干扰。
3.2从具体数字出发计算，从具体问题入手计算
我们考虑鸡兔同笼的问题“笼子里有鸡和兔共16只，合计有腿56条，问鸡和兔各有多少只”，这个问题可以用四则运算来求解，也可以用方程来求解。所谓归纳推理的方法，就是从具体的数字出发计算，在计算的过程中探索和发现规律。我们可以先假设16只全是兔，那么共有16×4=64条腿，这比问题中说的60条腿多，依据顺序归纳推理，我们需要逐步减少兔子的数量，增加鸡的数量，即变为15只兔，1只鸡，那么共有15×4+1×2=62，仍然过多，还需要减少兔，增加鸡，如此类推，学生可以发现12×4+4×2=56。这样，问题的答案就是12只兔和4只鸡。
对于一名教师来说，能够把一个具体问题抽象为用符号表达的一类问题是有意义的，因为只有通过这种抽象才能真正把握一类问题的本质，才能实现举一反三，才能给学生展示出归纳推理的一般过程;对学生来说，建立四则运算的算式的思维过程是必须要经历的，看起来有点笨拙，不如列方程来的简单，但它能够促进学生的逻辑推理、直观想象和数学抽象素养的发展。
参考文献：
[1]G·波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
作者简介：
宗丽颖（1996.07-），女，汉族，浙江省金华市人，硕士研究生在读。