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【摘 要】数学课程历来强调几何变换在课程中的应用,初中阶段数学课程要求通过教与学探索几何变换(初中阶段主要指图形的平移、旋转、对称及位似变换,这些变换是学习重点和考试重点)的基本性质和图形之间的变换关系,并能按要求作出平面图形经变换后的图形,能利用几何变换解决问题。本文结合中考题中关于“空间与图形”的考点和题目类型,利用几何变换的特点探讨几何变换在初中数学中的应用。
【关键词】平移变换 旋转变换 对称变换
一、引言
由变换的观点看几何学,就是用运动变化的思想去把握几何图形哪一些性质是不变的。而运动可归结为平移、旋转、对称三种基本变换的组合。它们共同的特点是保持图形的形状不变,从而图形中线段长度不变、夹角不变、面积不变、点的共线性不变、线的共点性不变。运动把一个图形变为与它全等的图形。
随着课改的推行和实施,几何变换已纳入初中数学教材中。并且加强了有关几何图形的平移变换,轴对称变换和旋转变换的内容。初中阶段要求通过教与学探索这些几何变换的基本性质和图形之间的变换关系,并能按照要求作出平面图形变换后的图形,利用几何变换解几何题。在数学的教学及学习中,培养用变换的观点解题,无疑是很重要的,最常见的变换方法有平移,旋转,对称。这几种方法在初中几何求解题,证明题,作图题中有着广泛的应用。能灵活的应用几何变换的思想解题,将帮助初中学生解决很多类的几何题。
二、相关概念
1.平移变换(略) 2.旋转变换:在平面中,将图形F上所有的点绕着某一定点,按照同一个方向转动同样的角度,称为图形F的旋转。
3.对称变换:对称,在现代汉语词典中解释为指图形或物体对某个点、直线或平面而言, 在大小、形状和排列上具有一一对应关系数学中的对称主要有几何对称和代数对称一几何对称是一种位置对称, 从变换的角度而言, 平面图形有轴对称、中心对称和平移对称三种对称形式代数对称通常有二元对称和多元轮换对称共扼、对偶、配对也可看作是一种广义的对称对偶是一种深层次的对称, 其对称性不表现在形状上,而表现在某种关系上对偶原则是射影。
上述三种几何变换的性质教材中都有涉及,限于篇幅不再赘述。
三、几何变换在初中数学中的应用
几何变换的思想不仅用于几何命题的论证,而且也较为广泛的用于计算、轨迹、作图等方面。对于中学生,特别是初中生,虽然在理论上不做介绍,但在解题过程中应该有意识地渗透变换思想,不断开拓学生的解题思路。
1.平移变换的应用:在平面几何题中,如果有平行线,常可尝试利用平移变换来解题,将分散的条件集中在一起,具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。如果题目中关于线段或角的已知条件较为分散、交错或位置不当,可尝试利用平移将一部分条件改变位置,使它们重新组合,以利于问题的解决。
一些常用到的平移变换的特殊情形有:(1)与定长、定向的线段有关的问题,常用平移;(2)与梯形、正方形有关的问题,常可用梯形、正方形的特性作平移。
平移变换是数学中考的重点也是难点,一般情况下是以作图题的形式出现的。但有些题目没明确要求使用平移变换,条件相对隐藏,所以具体问题需要具体分析。
2.旋转变换的应用:旋转变换保持图形全等,但图形的方位可能有变化。在几何解题中,旋转的作用是使原有图形的性质得以保持,但改变其位置,使其能组合成新的有利论证的图形。在平面几何的计算题和证明题中有一类问题,题设中有线段与线段,或角与角相等的条件时可考虑用旋转变换来解证。
运用旋转变换解证平面几何题一般应按以下五个步骤进行:1.分析题设条件,尽可能地找出线段与线段角与角之间的所有等量关系;2.通过适当的旋转变换,变更图形中某个三角形的相对位置,使尽可能多的相等的线段或角重合;3.根据旋转变换前后的三角形全等和题设条件中的等量关系,找出变换后的图形中的等量关系;4.利用新图形中的等量关系并结合题设条件,分析找出新等量关系,寻求解证题途径;5.解证题。
3.对称变换的应用:问题的对称性存在于数学的各个部分知识中,有些是显然的,有些是隐蔽的,如果解题时能意识到和挖掘,常常能收到意想不到的结果,得到异常简捷的解法。
四、结论与思考
1.结论:在数学的教学中,培养学生用变换的观点解题,无疑是很重要的。本文主要探討了三种最常见的几何变换(平移、旋转、轴对称变换)在初中数学中的运用。几何变换在数学中的重要思想就是将较为分散的已知条件转化为易求解的,比较集中的条件,进而求出其解。中考的许多类型的几何题都可以运用几何变换来求解。但在运用几何变换之前必须熟悉的掌握最基本的解题技巧以及解题条件,必须看清楚题目,并能灵活的运用几何变换的思想来解决有难度的题目。几何变换是一种重要的数学思想方法,也是化归思想的一种表现形式,它强调用变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题。在解决初等几何问题中,题目表面给出的条件往往显得不够。从运动的观点来考虑几何问题,是原来静止的图形“动”起来,即通过平移,旋转,对称等几何变换,把图形作一定的变换,有利于发现问题的隐含条件,使问题的条件信息和结论信息在新情境下联结起来,找到问题的突破口。
2.思考:既然几何变换能够解决许多的数学中考中的几何题目,那么怎样才能使学生轻松的掌握这种方法,怎样才能使学生遇到题目时得心应手,这将是教学中需要解决的问题。希望本文能对一线教师教学能有所借鉴。
【关键词】平移变换 旋转变换 对称变换
一、引言
由变换的观点看几何学,就是用运动变化的思想去把握几何图形哪一些性质是不变的。而运动可归结为平移、旋转、对称三种基本变换的组合。它们共同的特点是保持图形的形状不变,从而图形中线段长度不变、夹角不变、面积不变、点的共线性不变、线的共点性不变。运动把一个图形变为与它全等的图形。
随着课改的推行和实施,几何变换已纳入初中数学教材中。并且加强了有关几何图形的平移变换,轴对称变换和旋转变换的内容。初中阶段要求通过教与学探索这些几何变换的基本性质和图形之间的变换关系,并能按照要求作出平面图形变换后的图形,利用几何变换解几何题。在数学的教学及学习中,培养用变换的观点解题,无疑是很重要的,最常见的变换方法有平移,旋转,对称。这几种方法在初中几何求解题,证明题,作图题中有着广泛的应用。能灵活的应用几何变换的思想解题,将帮助初中学生解决很多类的几何题。
二、相关概念
1.平移变换(略) 2.旋转变换:在平面中,将图形F上所有的点绕着某一定点,按照同一个方向转动同样的角度,称为图形F的旋转。
3.对称变换:对称,在现代汉语词典中解释为指图形或物体对某个点、直线或平面而言, 在大小、形状和排列上具有一一对应关系数学中的对称主要有几何对称和代数对称一几何对称是一种位置对称, 从变换的角度而言, 平面图形有轴对称、中心对称和平移对称三种对称形式代数对称通常有二元对称和多元轮换对称共扼、对偶、配对也可看作是一种广义的对称对偶是一种深层次的对称, 其对称性不表现在形状上,而表现在某种关系上对偶原则是射影。
上述三种几何变换的性质教材中都有涉及,限于篇幅不再赘述。
三、几何变换在初中数学中的应用
几何变换的思想不仅用于几何命题的论证,而且也较为广泛的用于计算、轨迹、作图等方面。对于中学生,特别是初中生,虽然在理论上不做介绍,但在解题过程中应该有意识地渗透变换思想,不断开拓学生的解题思路。
1.平移变换的应用:在平面几何题中,如果有平行线,常可尝试利用平移变换来解题,将分散的条件集中在一起,具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。如果题目中关于线段或角的已知条件较为分散、交错或位置不当,可尝试利用平移将一部分条件改变位置,使它们重新组合,以利于问题的解决。
一些常用到的平移变换的特殊情形有:(1)与定长、定向的线段有关的问题,常用平移;(2)与梯形、正方形有关的问题,常可用梯形、正方形的特性作平移。
平移变换是数学中考的重点也是难点,一般情况下是以作图题的形式出现的。但有些题目没明确要求使用平移变换,条件相对隐藏,所以具体问题需要具体分析。
2.旋转变换的应用:旋转变换保持图形全等,但图形的方位可能有变化。在几何解题中,旋转的作用是使原有图形的性质得以保持,但改变其位置,使其能组合成新的有利论证的图形。在平面几何的计算题和证明题中有一类问题,题设中有线段与线段,或角与角相等的条件时可考虑用旋转变换来解证。
运用旋转变换解证平面几何题一般应按以下五个步骤进行:1.分析题设条件,尽可能地找出线段与线段角与角之间的所有等量关系;2.通过适当的旋转变换,变更图形中某个三角形的相对位置,使尽可能多的相等的线段或角重合;3.根据旋转变换前后的三角形全等和题设条件中的等量关系,找出变换后的图形中的等量关系;4.利用新图形中的等量关系并结合题设条件,分析找出新等量关系,寻求解证题途径;5.解证题。
3.对称变换的应用:问题的对称性存在于数学的各个部分知识中,有些是显然的,有些是隐蔽的,如果解题时能意识到和挖掘,常常能收到意想不到的结果,得到异常简捷的解法。
四、结论与思考
1.结论:在数学的教学中,培养学生用变换的观点解题,无疑是很重要的。本文主要探討了三种最常见的几何变换(平移、旋转、轴对称变换)在初中数学中的运用。几何变换在数学中的重要思想就是将较为分散的已知条件转化为易求解的,比较集中的条件,进而求出其解。中考的许多类型的几何题都可以运用几何变换来求解。但在运用几何变换之前必须熟悉的掌握最基本的解题技巧以及解题条件,必须看清楚题目,并能灵活的运用几何变换的思想来解决有难度的题目。几何变换是一种重要的数学思想方法,也是化归思想的一种表现形式,它强调用变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题。在解决初等几何问题中,题目表面给出的条件往往显得不够。从运动的观点来考虑几何问题,是原来静止的图形“动”起来,即通过平移,旋转,对称等几何变换,把图形作一定的变换,有利于发现问题的隐含条件,使问题的条件信息和结论信息在新情境下联结起来,找到问题的突破口。
2.思考:既然几何变换能够解决许多的数学中考中的几何题目,那么怎样才能使学生轻松的掌握这种方法,怎样才能使学生遇到题目时得心应手,这将是教学中需要解决的问题。希望本文能对一线教师教学能有所借鉴。