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摘 要：遵循高中数学教学的一般规律，从定理教学、例题教学、习题解答、课后作业及问题解答五个方面，论述了培养学生创新精神的途径和方法。
关键词：创新精神；定理；例题；课后作业；问题解决
数学作为中学阶段的一门重要的基础学科，是培养学生创新精神和创新能力的重要渠道。中学生的数学创新能力主要表现在具有扎实的基础知识，熟练的基本技能和一定的思维能力。乃从问题中探求新关系、新方法、寻求新答案的思维过程。那么如何培养学生的创新精神呢？以下就是我的一些想法。
1.在定义、定理、公式教学中培养创新精神
高中数学教材涉及许多定义，定理，公式，这些都是前人经过长期探索发现总结得到的，他们在探索过程中付出的艰辛和努力以及大胆的创新精神学生往往感受不深，在教学中有意识地选择一些定理，公式让学生根据自己所学的知识去探索、发现、论证，不仅可以让学生感受到知识的发生过程，而且可以开启学生智慧的大门，培养学生的创新精神。
如高二代数不等式的证明中，对于定理：“已知a、b、c ∈R+,求证a3+b3+c3≧3abc,当且仅当a=b=c时取等号”教材中的证明是根据求差比较法进行的，但证明过程需添项与减项，技巧难度相对较大，学生也较难想到。若在课堂上把这一问题让学生来思考，学生在思维不受约束的情况下，运用所学知识可以得到异于课本的另外两种证法，而证明也比较简捷。
证法一：
由于a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)≧(a+b)ab=a2b+b2a所以有：
a3+b3≧a2b+b2a
b3+c3≧b2c+c2b =﹥2(a3+b3+c3)≧(ab2+ac2)
c3+a3≧c2a+a2c
+(ba2+bc2)+(ca2+cb2)≧2abc+2abc+2abc=6abc所以a3+b3+c3≧3abc,当且仅当a=b=c时取等号。
证法二：
引入参数x,将a3+b3+c3+x看作a3+b3与c3+x的和，
则：a3+b3+c3+x≧
为使右边出现abc，只需令x=abc故
a3+b3+c3+abc≧4abc，即
a3+b3+c3≧3abc，当且仅当a=b=c时取等号。
通过证明过程的探索，学生思维有一个质的飞跃，这种飞跃蕴涵着创新意识在形成，经常如此，创新能力就会逐渐提高。
2.在例题教学中培养学生的创新精神
课本中的例题是知识的精华，具有典型和示范性。但由于例题作为新知识的应用，容易使学生仅想到利用本节内容知识。这样不利于培养学生的创新精神。因此，例题教学应该有意识引导学生不要墨守成规，使他们乐于新的探 索，善于独辟蹊径，注意新旧知识的相互联系，使解题达到简化，优化。
如高二解析几何里圆的标准方程内容中有例题:“已知圆的议程x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0、y0)的切线方程”。
此时若让学生独立思考，引导利用已学知识，学生容易想到初中勾股定理和旧知识两间距离公式。从而得更为简便的解法。
解：设P(x、y)为切线上任一异于M(x0、y0)的点，因为OM⊥MP，在RtΔOMP中，|OP|2=|OM|2+|PM|2所以x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2即xx0+yy0=r2当点P与M重合时，上述方程也成立。
学生在探索解题中，能应用旧知识解决问题且异于课本的解法，实际就是一种创新。
因此课堂例题教学中教师应让学生多思考，多从不同的方面，应用新旧知识去思考问题，解决问题，克服学生的思维定势。同时在问题解决中培养学生敢闯，敢冒险，敢于怀疑和批判的科学精神。鼓励学生不于定论，成见而大胆质疑，批判性地对待数学命题，解题方法。使学生在批判中继承和吸收数学知识，进而培养学生的创新精神。
例题：已知两直线L1：x+my+6=0，L2：(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,L1与L2（1）相交，（2）平行，（3）重合。
这是高中数学课本中论述了两直线位置关系后设置的一道例题，设置这道例题的目的是让学生巩固和掌握两条直线的位置关系。
许多同学在独立解完此题后，发现课本的解法缺乏严密性，忽略了等式有意义必须分母不为零的条件。因此必须对分式中进行讨论才是完整的解答，这种敢于对教材中存在的问题提出质疑，一方面体现了学生对知识的理解与掌握，另一方面也反映学生创新能力增强，创造能力在提高。
3.在习题解答过程中培养创新精神
长期以来，我们的教材中设置的练习题基本上是与本节的内容相对应的，学生课后完成习题时，往往知识应用，思考方法单一，形成一种定势，即本节知识解决，一道习题用一种方法解决，教师若不加以引导，势必影响学生思维的广阔性、灵活性、创造性的培养。如何解决这一问题呢？就教师而言，在布置习题时，必须经学生适当的指导，引导学生不就题论题，可通过一题分解培养思维的广阔性，从而对培养学生创新能力起潜移默化的作用。
例如解析几何课本有一组习题：“已知直线分别满足下列条件，求直线方程：
（1）斜率为-2，且过两直线３x-y+4=0和x+y-4=0的交点；
（2）过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点；
（3）经过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0；
（4）经两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且平行于直线4x-3y-7=0；
（5）经过直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点且垂直于第一条直线；
这一组习题对于学生来说，是可以轻而易举完成的，但解题思路和过程基本相同。如何通过这组习题培养学生的创新意识，提高解题能力呢？在布置为一组习题时，可以经学生提出两个问题：（1）解完题后，总结解题方法及问题特征；（2）是否可以不求交点，求得满足条件的直线方程，若能给出解法，并对解法进行总结。
学生经过这组问题的解决，一方面熟练掌握了常规的解法，另一方面可得到“待定系数法”的求解方法再通过教师的归纳，点评，学生获得利用直线系解涉及两直线交点上问题的设而不求的简洁解法。新意识得到提高。
4.在课后延伸中培养创新精神
根据学生实际和教学内容及要求，设计和布置课后作业是利用好课堂延伸的重要组成部分，也是培养学生创新精神的重要途径。如何设计和布置课后作业呢？一个比较可行的做法是：①对同一问题尽可能多角度设问。设问的梯度要有层次，使学生踏着阶梯一步步探索，让每位学生都能获得不同程度的成功体验，激发学生的学习兴趣和潜能。培养学生思维的深刻性。②设计层次型题组。根据教学内容的需要，精选不同层次的题目，由易到难，按照不同的需要，精选不同层次的题目，由易到难，按照不同的能力要求编写题组，有针对性的设置知识，方法，能力的最近发展区，使思考坡度循序溅近，恰到好处，学生每解一题都能亲身体会到其中蕴涵的规律，领略到解题的意境和命题的构思，从而产生研究问题的兴趣并掌握基本的方法。
例如：对于“二次方程区间根的分布问题”可以布置下列A、B、C三组作业题，对于不同水平的学生提出不同的要求。
A：（基础题）已知：方程x2-Rx+3+R=0的两根都大于1，求实数R的范围。
B：（中挡题）已知：方程x2-Rx+3-R=0的两根在(1、2)之间，求实数R的范围。
C：（提高题）已知：方程x2-Rx+3k﹥0在(1、2)上恒成立，求实数R的范围。
又如解析几何第一章复习题“经点A(1、4)的直线在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小时，求此直线方程。”可在作完此题后，布置这样的思考题：过点A(1、4)的直线在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小，求此直线方程。可在课后布置这样的思考题：过点A(1、4)的直线与坐标轴围成的三角形面积为4，则此直线有几条，分别求出直线方程。问题从探索性转想开放性，又唯一性转向多项性，给学生思维创造了更大的空间，通过这样的思考题，学生在特殊的问题中可以得到解决一般问题的方法，为解决涉及弦长问题提供了简捷解决的工具。
5.问题解决中培养创新精神
“问题是数学的心脏”问题解决作为一种教学模式，深受教师的重视。问题解决的前提是必须有问题，必须培养学生善于发现问题，提出问题，解决问题的习惯，重要的发现，发明可能隐含在问题的提出之中，爱因斯坦说：“提出一个问题有时比解决一个问题更重要”，问题是教学的出发点，是思维的起点，有问题才会去思考解决的办法，数学教学正是不断提出问题，解决问题的循环过程中来提高学生的创新思维能力。因此在教学过程中培养学生大胆提出自己的观点和看法，引导学生从不同的角度搜寻问题解决的最佳突破口，在探究中发现新颖而独特的解决方案。问题的解决带来在成功体验，又会激励学生发现和再创新。
例题：已知实系数方程x2+ax+2b=0的两根分别在（0、1）与（1、2）内，求 的取值范围。
分析：此题涉及二次方程问题，按常规在求出两根后，再确定a、b的取值范围，进而求 的取值范围，难度较大，还有一种方法转化成研究方程时应的二次函数f(x)=x2+ax+2b，此函数的两根分别在（0、1）和（1、2）内的充要条件是：
f(0)﹥0 b ﹥0
f(1)﹤0即1+a+2b﹤0
f(2)﹥0 2+a+b﹥0
由上述混合不等式组求 的范围也是很困难的，现在考虑此不等式组的几何意义，表示直角坐标系xoy即aob中ΔABC的内部（如图），阴影部分不包括边界，由 的几何意义知，ΔABC内任意一点P(a、b)与定点M(1、2)连线斜率的范围即所求。
因为KMA=，KMB=1，所以KMA﹤KMP﹤KMB ,所以
解决上述问题的过程的实质是人的思维逐渐开启，意识不断创新的过程。当一种思维方法无法解决问题时，思维必须转向，以便寻求解决问题的新思路、新方法。问题解决正是在思考—碰壁—再思考—再碰壁的反复过程中使学生的思维得到锻炼，创新精神得到培养。
培养学生具有一定的创新意识和能力，是中学数学教学的重要任务，数学教学中要培养学生动脑、动手、动口，大胆探索、勇于提出问题的习惯，使学生能运用数学的观点和思想方法去发现，解决问题。学生的探索并非每一次都有发现和创新。但在对问题锲而不舍的探究过程，学生的创新精神才能得到培养，创新能力才能得到提高。
参考文献：
[1]范永顺、张有得、袁俊华、中学数学教学引论，石油大学出版社，2000.12.
[2]张景斌、连四涛、刘晓玫、中学教学数学教程，北京科学出版社。2000.12.
[3]李达、数学作业创新意识的渗透，数学通报，2001第6期.
[4]王子兴、数学教学论，桂林、广西师范大学出版社，1992.12.
[5]段继杨、创新性教学通论、吉林人民出版社，1999.10.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
关键词：创新精神；定理；例题；课后作业；问题解决
数学作为中学阶段的一门重要的基础学科，是培养学生创新精神和创新能力的重要渠道。中学生的数学创新能力主要表现在具有扎实的基础知识，熟练的基本技能和一定的思维能力。乃从问题中探求新关系、新方法、寻求新答案的思维过程。那么如何培养学生的创新精神呢？以下就是我的一些想法。
1.在定义、定理、公式教学中培养创新精神
高中数学教材涉及许多定义，定理，公式，这些都是前人经过长期探索发现总结得到的，他们在探索过程中付出的艰辛和努力以及大胆的创新精神学生往往感受不深，在教学中有意识地选择一些定理，公式让学生根据自己所学的知识去探索、发现、论证，不仅可以让学生感受到知识的发生过程，而且可以开启学生智慧的大门，培养学生的创新精神。
如高二代数不等式的证明中，对于定理：“已知a、b、c ∈R+,求证a3+b3+c3≧3abc,当且仅当a=b=c时取等号”教材中的证明是根据求差比较法进行的，但证明过程需添项与减项，技巧难度相对较大，学生也较难想到。若在课堂上把这一问题让学生来思考，学生在思维不受约束的情况下，运用所学知识可以得到异于课本的另外两种证法，而证明也比较简捷。
证法一：
由于a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)≧(a+b)ab=a2b+b2a所以有：
a3+b3≧a2b+b2a
b3+c3≧b2c+c2b =﹥2(a3+b3+c3)≧(ab2+ac2)
c3+a3≧c2a+a2c
+(ba2+bc2)+(ca2+cb2)≧2abc+2abc+2abc=6abc所以a3+b3+c3≧3abc,当且仅当a=b=c时取等号。
证法二：
引入参数x,将a3+b3+c3+x看作a3+b3与c3+x的和，
则：a3+b3+c3+x≧
为使右边出现abc，只需令x=abc故
a3+b3+c3+abc≧4abc，即
a3+b3+c3≧3abc，当且仅当a=b=c时取等号。
通过证明过程的探索，学生思维有一个质的飞跃，这种飞跃蕴涵着创新意识在形成，经常如此，创新能力就会逐渐提高。
2.在例题教学中培养学生的创新精神
课本中的例题是知识的精华，具有典型和示范性。但由于例题作为新知识的应用，容易使学生仅想到利用本节内容知识。这样不利于培养学生的创新精神。因此，例题教学应该有意识引导学生不要墨守成规，使他们乐于新的探 索，善于独辟蹊径，注意新旧知识的相互联系，使解题达到简化，优化。
如高二解析几何里圆的标准方程内容中有例题:“已知圆的议程x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0、y0)的切线方程”。
此时若让学生独立思考，引导利用已学知识，学生容易想到初中勾股定理和旧知识两间距离公式。从而得更为简便的解法。
解：设P(x、y)为切线上任一异于M(x0、y0)的点，因为OM⊥MP，在RtΔOMP中，|OP|2=|OM|2+|PM|2所以x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2即xx0+yy0=r2当点P与M重合时，上述方程也成立。
学生在探索解题中，能应用旧知识解决问题且异于课本的解法，实际就是一种创新。
因此课堂例题教学中教师应让学生多思考，多从不同的方面，应用新旧知识去思考问题，解决问题，克服学生的思维定势。同时在问题解决中培养学生敢闯，敢冒险，敢于怀疑和批判的科学精神。鼓励学生不于定论，成见而大胆质疑，批判性地对待数学命题，解题方法。使学生在批判中继承和吸收数学知识，进而培养学生的创新精神。
例题：已知两直线L1：x+my+6=0，L2：(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,L1与L2（1）相交，（2）平行，（3）重合。
这是高中数学课本中论述了两直线位置关系后设置的一道例题，设置这道例题的目的是让学生巩固和掌握两条直线的位置关系。
许多同学在独立解完此题后，发现课本的解法缺乏严密性，忽略了等式有意义必须分母不为零的条件。因此必须对分式中进行讨论才是完整的解答，这种敢于对教材中存在的问题提出质疑，一方面体现了学生对知识的理解与掌握，另一方面也反映学生创新能力增强，创造能力在提高。
3.在习题解答过程中培养创新精神
长期以来，我们的教材中设置的练习题基本上是与本节的内容相对应的，学生课后完成习题时，往往知识应用，思考方法单一，形成一种定势，即本节知识解决，一道习题用一种方法解决，教师若不加以引导，势必影响学生思维的广阔性、灵活性、创造性的培养。如何解决这一问题呢？就教师而言，在布置习题时，必须经学生适当的指导，引导学生不就题论题，可通过一题分解培养思维的广阔性，从而对培养学生创新能力起潜移默化的作用。
例如解析几何课本有一组习题：“已知直线分别满足下列条件，求直线方程：
（1）斜率为-2，且过两直线３x-y+4=0和x+y-4=0的交点；
（2）过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点；
（3）经过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0；
（4）经两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且平行于直线4x-3y-7=0；
（5）经过直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点且垂直于第一条直线；
这一组习题对于学生来说，是可以轻而易举完成的，但解题思路和过程基本相同。如何通过这组习题培养学生的创新意识，提高解题能力呢？在布置为一组习题时，可以经学生提出两个问题：（1）解完题后，总结解题方法及问题特征；（2）是否可以不求交点，求得满足条件的直线方程，若能给出解法，并对解法进行总结。
学生经过这组问题的解决，一方面熟练掌握了常规的解法，另一方面可得到“待定系数法”的求解方法再通过教师的归纳，点评，学生获得利用直线系解涉及两直线交点上问题的设而不求的简洁解法。新意识得到提高。
4.在课后延伸中培养创新精神
根据学生实际和教学内容及要求，设计和布置课后作业是利用好课堂延伸的重要组成部分，也是培养学生创新精神的重要途径。如何设计和布置课后作业呢？一个比较可行的做法是：①对同一问题尽可能多角度设问。设问的梯度要有层次，使学生踏着阶梯一步步探索，让每位学生都能获得不同程度的成功体验，激发学生的学习兴趣和潜能。培养学生思维的深刻性。②设计层次型题组。根据教学内容的需要，精选不同层次的题目，由易到难，按照不同的需要，精选不同层次的题目，由易到难，按照不同的能力要求编写题组，有针对性的设置知识，方法，能力的最近发展区，使思考坡度循序溅近，恰到好处，学生每解一题都能亲身体会到其中蕴涵的规律，领略到解题的意境和命题的构思，从而产生研究问题的兴趣并掌握基本的方法。
例如：对于“二次方程区间根的分布问题”可以布置下列A、B、C三组作业题，对于不同水平的学生提出不同的要求。
A：（基础题）已知：方程x2-Rx+3+R=0的两根都大于1，求实数R的范围。
B：（中挡题）已知：方程x2-Rx+3-R=0的两根在(1、2)之间，求实数R的范围。
C：（提高题）已知：方程x2-Rx+3k﹥0在(1、2)上恒成立，求实数R的范围。
又如解析几何第一章复习题“经点A(1、4)的直线在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小时，求此直线方程。”可在作完此题后，布置这样的思考题：过点A(1、4)的直线在第一象限内与坐标轴围成的三角形面积最小，求此直线方程。可在课后布置这样的思考题：过点A(1、4)的直线与坐标轴围成的三角形面积为4，则此直线有几条，分别求出直线方程。问题从探索性转想开放性，又唯一性转向多项性，给学生思维创造了更大的空间，通过这样的思考题，学生在特殊的问题中可以得到解决一般问题的方法，为解决涉及弦长问题提供了简捷解决的工具。
5.问题解决中培养创新精神
“问题是数学的心脏”问题解决作为一种教学模式，深受教师的重视。问题解决的前提是必须有问题，必须培养学生善于发现问题，提出问题，解决问题的习惯，重要的发现，发明可能隐含在问题的提出之中，爱因斯坦说：“提出一个问题有时比解决一个问题更重要”，问题是教学的出发点，是思维的起点，有问题才会去思考解决的办法，数学教学正是不断提出问题，解决问题的循环过程中来提高学生的创新思维能力。因此在教学过程中培养学生大胆提出自己的观点和看法，引导学生从不同的角度搜寻问题解决的最佳突破口，在探究中发现新颖而独特的解决方案。问题的解决带来在成功体验，又会激励学生发现和再创新。
例题：已知实系数方程x2+ax+2b=0的两根分别在（0、1）与（1、2）内，求 的取值范围。
分析：此题涉及二次方程问题，按常规在求出两根后，再确定a、b的取值范围，进而求 的取值范围，难度较大，还有一种方法转化成研究方程时应的二次函数f(x)=x2+ax+2b，此函数的两根分别在（0、1）和（1、2）内的充要条件是：
f(0)﹥0 b ﹥0
f(1)﹤0即1+a+2b﹤0
f(2)﹥0 2+a+b﹥0
由上述混合不等式组求 的范围也是很困难的，现在考虑此不等式组的几何意义，表示直角坐标系xoy即aob中ΔABC的内部（如图），阴影部分不包括边界，由 的几何意义知，ΔABC内任意一点P(a、b)与定点M(1、2)连线斜率的范围即所求。
因为KMA=，KMB=1，所以KMA﹤KMP﹤KMB ,所以
解决上述问题的过程的实质是人的思维逐渐开启，意识不断创新的过程。当一种思维方法无法解决问题时，思维必须转向，以便寻求解决问题的新思路、新方法。问题解决正是在思考—碰壁—再思考—再碰壁的反复过程中使学生的思维得到锻炼，创新精神得到培养。
培养学生具有一定的创新意识和能力，是中学数学教学的重要任务，数学教学中要培养学生动脑、动手、动口，大胆探索、勇于提出问题的习惯，使学生能运用数学的观点和思想方法去发现，解决问题。学生的探索并非每一次都有发现和创新。但在对问题锲而不舍的探究过程，学生的创新精神才能得到培养，创新能力才能得到提高。
参考文献：
[1]范永顺、张有得、袁俊华、中学数学教学引论，石油大学出版社，2000.12.
[2]张景斌、连四涛、刘晓玫、中学教学数学教程，北京科学出版社。2000.12.
[3]李达、数学作业创新意识的渗透，数学通报，2001第6期.
[4]王子兴、数学教学论，桂林、广西师范大学出版社，1992.12.
[5]段继杨、创新性教学通论、吉林人民出版社，1999.10.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”