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摘要：在数学学科的理性特点与儿童思维的感性特点之间，有一道天然的鸿沟。对此，我们可以“思维通透”主张为引领，基于数学学科的特点和儿童思维的特点，对儿童学习数学的过程做合理的教学变构，即变抽象为形象、变静态为动态、变经验为理论、变碎片为结构，从而让儿童的思维发生变化，即因形象而生动、因动态而丰实、因理论而深刻、因结构而融通，不断走向通透的境界。
关键词：思维通透图形与几何教学变构
美国数学家R.柯朗和H.罗宾指出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。”可见，学习数学与发展思维之间有着密不可分的联系。特级教师顾娟主张，数学课堂要为思维的通透而教：“思维，源自人类对外部世界的探究，源自人类希望从蒙昧走向清晰、从混沌走向豁朗的主体性自由，体现人类对与外部世界之间通透性的追求。”
然而，在数学学科的理性特点与儿童思维的感性特点之间，有一道天然的鸿沟。对此，我们可以“思维通透”主张为引领，用儿童能够理解的方式教数学，从而跨越这道鸿沟。也就是，基于数学学科的特点和儿童思维的特点，对儿童学习数学的过程做合理的教学变构（变抽象为形象、变静态为动态、变经验为理论、变碎片为结构等），从而让儿童的思维发生变化（因形象而生动、因动态而丰实、因理论而深刻、因结构而融通等），不断走向通透的境界。下面以“图形与几何”内容的教学为例谈几点粗浅的思考。
一、变抽象为形象
数学知识的抽象程度很高，与学生具体可感的生活经验相距甚远。要突破这一学习的困难和障碍，关键在于变抽象为形象，给学生提供充分的操作、观察、想象等活动的机会。通过操作，学生能够体悟抽象知识的生成过程，从而将外部感受内化为内部领悟;通过观察，学生能够感受抽象知识的直观特点，在头脑中建立起相应的表象;通过想象，学生能够加工、改造抽象的知识，做出多维的处理和创建。操作、观察、想象等活动具有形象化特征，与思维密切相连。学生借助这些活动，可以达成对抽象知识内在本质的深刻理解，思维也会逐渐变得通透。
例如，《长方形的面积》一课是平面图形面积计算的“种子课”。本节课教学后，学生对长方形面积公式的学习如果停留在记忆、运用的层面，那么，后续对其他平面图形面积计算的研究就会缺少必要的动力和支撑。鉴于此，笔者尝试让学生经历如下学习活动：
1.用足够多的小正方形（面积单位），摆出几个不同的长方形;数一数每个长方形一共用了多少个面积单位，得到长方形的面积。学生在数小正方形个数的过程中，初步感觉到：用每行个数乘行数就能得到长方形的面积。
2.用不太多（只够在长方形长和宽两个方向上各摆一排）的小正方形，摆出几个不同的长方形。学生在操作的过程中，感悟到：小正方形能否摆满长方形并不重要，重要的是摆满长和宽两个方向，这样数出小正方形的个数后，就能算出长方形的面积。
3.用一把直尺测量相关长度，再算一算长方形的面积。学生在学具变化带来的思维转变中，找到长方形长和宽与小正方形每行个数和行数之间的联系，顺利建构了长方形的面积公式。
长方形的面积公式并不复杂，学生很容易提前知道并且机械记住它。但是，长方形面积公式的抽象程度很高，只是知道和记住它，不能真正理解它。上述不同层次的操作活动，其实就是借助形象化的活动，一步步引导学生建立公式意义的表象支撑，从而加深理解，促进内化。
二、变静态为动态
小学数学基本上属于常量数学，其中的知识通常表现出静态的特征。然而，如果教师仅仅用静态的观点理解教学内容、定位教学目标、组织教学过程，那么学生得到的信息会很贫乏，对知识的理解就可能是片面的、粗浅的。其实，小学数学还隐含着“变”的属性，其中蕴含着大量的特殊与一般的关系，可以表现出动态的特征。因此，教师应该变静态为动态，引导学生从运动的视角看待问题，从而在吸引有意注意、激发探究兴趣的基础上，帮助学生得到丰富的信息，发展思维的广度与深度。
“图形与几何”的教学中，我们尤其要引导学生用运动的眼光审视各种几何图形，从而发展学生的空间观念，使其思维变得更加丰实。
例如，教学“长方形和正方形的认识”时，教师一般都是让学生分别对两种图形寻找特征。不少学生总是割裂式地记忆“长方形对边相等，正方形四条边都相等”的结论，却不能真正理解长方形和正方形之间的从属关系，经常在判断一个图形是不是长方形时忽略正方形，后续学习“正方形的周长和面积”时也不容易将长方形的周长和面积公式迁移过来。如果我们借助多媒体课件，让长方形动起来，长不断缩短，让学生判断变化后的图形还是不是长方形，学生根据长方形的特征很容易做出正确的判断。当长缩短到和宽相等时，学生首先还是会根据长方形的特征判断它是一个长方形，进一步观察则又会发现这个长方形比较特殊，四条边都相等，变成一个正方形了。在这样的动态变化中，学生很自然地就能理解“正方形是特殊的长方形”。
三、变经验为理论
“一切真知都是从直接经验发源的。”教学中，我们要找准学生学习的现实起点，利用学生的直接经验。同时，我们必须清醒地认识到，直接经验多是学生日常生活中的感性经验，其中有些可能与数学的理性本质相关，对数学学習会起正面作用;有些可能与数学的理性本质无关或相反，对数学学习无用或会起反面作用。因此，教学中，我们要剖析学生的直接经验（有时表现为“经验性知识”），帮助学生去伪存真、去粗取精，进行数学化提纯、提炼，建构出严谨化、一般化的数学理论，规避学生的经验主义风险，让学生的思维更清晰、更敞亮。
例如，“把线段的一端无限延长，就得到一条射线”，“把线段的两端都无限延长，就得到一条直线”，这两句关于“射线”和“直线”概念的描述都提到了“无限”。小学四年级的学生大多处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，理解“无限”这一非常抽象的数学概念会比较困难。对此，教师应该联系日常生活中射灯发出的光线，帮助学生理解射线无限延长的数学意义，进而基于直接经验的“局限”，建构数学理论的“完美”。 再如，教学“角的初步认识”时，学生往往会认为生活中的桌角、墙角等与数学上的角大同小异，甚至将它们等同起来;还会只关注锐角和直角，只关注角的顶点，基于观察和触摸，认为角是“尖尖的”。这样的直接经验对学生认识数学上的角会产生误导，为学生后续理解“角的大小与边的长短无关”埋下隐患。教学中，教师要帮助学生克服错误的直接经验，获得正确的数学理论。
四、变碎片为结构
考虑到实际教学的需要，数学教材通常以课时为单位编写教学内容，因此，不可避免地要将一些关联度很高、逻辑性很强的知识块分割成一个个知识点;受教学内容难度和学生思维水平等因素的影响，还会将这些知识点分散在不同年級（学期）编排，螺旋上升。这就打破了数学知识的整体结构，削弱了数学知识的系统性，容易导致学生学到的是碎片化的知识。而认知心理学认为，认知结构的整体性和概括性越强，越有利于学习的保持和迁移。因此，教师要在课时知识点教学的基础上，通过对学习内容的整体把握，对学习目标的系统分析，对学习过程的贯通梳理，帮助学生将知识点串成链，将知识链织成网，形成科学合理的知识结构。这样，学生的眼界才能更加高远，思维才能更加通透。
例如，教学“认识体积单位”之前，学生已经积累了长度单位、面积单位的学习经验，对“测量需要统一的标准”有较深的认识，知道长度测量的统一标准是1厘米、1分米、1米等长度单位，面积测量的统一标准是边长为1厘米、1分米、1米等的单位正方形的面积（即1平方厘米、1平方分米、1平方米等面积单位）。因此，教学这一内容时，教师不妨将长度单位、面积单位、体积单位这几个知识点串珠成线，用结构化的方式引导学生在原有经验的基础上建构新知：
首先，课件出示一个长方体和一个正方体，让学生尝试比较它们的体积大小。学生想到可以将它们分成同样大小的小正方体，通过数一数这些小正方体的个数，比较出它们的大小。这一环节与长度单位、面积单位的引入类似，能进一步强化学生对“测量需要统一的标准”的认识，为接下来确立适当的体积单位作为测量标准奏响序曲。
接着，教师提问：你觉得确定怎样的体积单位作为测量标准比较合适？学生联系自身对长度单位和面积单位的认识，很自然地想到用棱长为1厘米、1分米、1米等的单位正方体的体积作为测量标准比较合适。……
最后，教师带领学生从一维、二维、三维的角度对三种单位进行对比联系，让学生对长度单位、面积单位、体积单位建立起整体的结构化认知。
本文系江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“小学数学‘为思维通透而教’课堂模式孵化实践研究”（编号：D/2018/02/17）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] R.柯朗，H.罗宾.什么是数学[M].左平，张饴慈，译.上海：复旦大学出版社，2005.
[2] 顾娟.为思维的通透而教——我在数学情境教学上的追求与实践[J].小学数学教师，2016（5）.
[3] 王艳芝.新课改背景下学习活动的经验本质——马克思辩证唯物主义认识论的视角[J].现代教育科学，2020（5）.
关键词：思维通透图形与几何教学变构
美国数学家R.柯朗和H.罗宾指出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。”可见，学习数学与发展思维之间有着密不可分的联系。特级教师顾娟主张，数学课堂要为思维的通透而教：“思维，源自人类对外部世界的探究，源自人类希望从蒙昧走向清晰、从混沌走向豁朗的主体性自由，体现人类对与外部世界之间通透性的追求。”
然而，在数学学科的理性特点与儿童思维的感性特点之间，有一道天然的鸿沟。对此，我们可以“思维通透”主张为引领，用儿童能够理解的方式教数学，从而跨越这道鸿沟。也就是，基于数学学科的特点和儿童思维的特点，对儿童学习数学的过程做合理的教学变构（变抽象为形象、变静态为动态、变经验为理论、变碎片为结构等），从而让儿童的思维发生变化（因形象而生动、因动态而丰实、因理论而深刻、因结构而融通等），不断走向通透的境界。下面以“图形与几何”内容的教学为例谈几点粗浅的思考。
一、变抽象为形象
数学知识的抽象程度很高，与学生具体可感的生活经验相距甚远。要突破这一学习的困难和障碍，关键在于变抽象为形象，给学生提供充分的操作、观察、想象等活动的机会。通过操作，学生能够体悟抽象知识的生成过程，从而将外部感受内化为内部领悟;通过观察，学生能够感受抽象知识的直观特点，在头脑中建立起相应的表象;通过想象，学生能够加工、改造抽象的知识，做出多维的处理和创建。操作、观察、想象等活动具有形象化特征，与思维密切相连。学生借助这些活动，可以达成对抽象知识内在本质的深刻理解，思维也会逐渐变得通透。
例如，《长方形的面积》一课是平面图形面积计算的“种子课”。本节课教学后，学生对长方形面积公式的学习如果停留在记忆、运用的层面，那么，后续对其他平面图形面积计算的研究就会缺少必要的动力和支撑。鉴于此，笔者尝试让学生经历如下学习活动：
1.用足够多的小正方形（面积单位），摆出几个不同的长方形;数一数每个长方形一共用了多少个面积单位，得到长方形的面积。学生在数小正方形个数的过程中，初步感觉到：用每行个数乘行数就能得到长方形的面积。
2.用不太多（只够在长方形长和宽两个方向上各摆一排）的小正方形，摆出几个不同的长方形。学生在操作的过程中，感悟到：小正方形能否摆满长方形并不重要，重要的是摆满长和宽两个方向，这样数出小正方形的个数后，就能算出长方形的面积。
3.用一把直尺测量相关长度，再算一算长方形的面积。学生在学具变化带来的思维转变中，找到长方形长和宽与小正方形每行个数和行数之间的联系，顺利建构了长方形的面积公式。
长方形的面积公式并不复杂，学生很容易提前知道并且机械记住它。但是，长方形面积公式的抽象程度很高，只是知道和记住它，不能真正理解它。上述不同层次的操作活动，其实就是借助形象化的活动，一步步引导学生建立公式意义的表象支撑，从而加深理解，促进内化。
二、变静态为动态
小学数学基本上属于常量数学，其中的知识通常表现出静态的特征。然而，如果教师仅仅用静态的观点理解教学内容、定位教学目标、组织教学过程，那么学生得到的信息会很贫乏，对知识的理解就可能是片面的、粗浅的。其实，小学数学还隐含着“变”的属性，其中蕴含着大量的特殊与一般的关系，可以表现出动态的特征。因此，教师应该变静态为动态，引导学生从运动的视角看待问题，从而在吸引有意注意、激发探究兴趣的基础上，帮助学生得到丰富的信息，发展思维的广度与深度。
“图形与几何”的教学中，我们尤其要引导学生用运动的眼光审视各种几何图形，从而发展学生的空间观念，使其思维变得更加丰实。
例如，教学“长方形和正方形的认识”时，教师一般都是让学生分别对两种图形寻找特征。不少学生总是割裂式地记忆“长方形对边相等，正方形四条边都相等”的结论，却不能真正理解长方形和正方形之间的从属关系，经常在判断一个图形是不是长方形时忽略正方形，后续学习“正方形的周长和面积”时也不容易将长方形的周长和面积公式迁移过来。如果我们借助多媒体课件，让长方形动起来，长不断缩短，让学生判断变化后的图形还是不是长方形，学生根据长方形的特征很容易做出正确的判断。当长缩短到和宽相等时，学生首先还是会根据长方形的特征判断它是一个长方形，进一步观察则又会发现这个长方形比较特殊，四条边都相等，变成一个正方形了。在这样的动态变化中，学生很自然地就能理解“正方形是特殊的长方形”。
三、变经验为理论
“一切真知都是从直接经验发源的。”教学中，我们要找准学生学习的现实起点，利用学生的直接经验。同时，我们必须清醒地认识到，直接经验多是学生日常生活中的感性经验，其中有些可能与数学的理性本质相关，对数学学習会起正面作用;有些可能与数学的理性本质无关或相反，对数学学习无用或会起反面作用。因此，教学中，我们要剖析学生的直接经验（有时表现为“经验性知识”），帮助学生去伪存真、去粗取精，进行数学化提纯、提炼，建构出严谨化、一般化的数学理论，规避学生的经验主义风险，让学生的思维更清晰、更敞亮。
例如，“把线段的一端无限延长，就得到一条射线”，“把线段的两端都无限延长，就得到一条直线”，这两句关于“射线”和“直线”概念的描述都提到了“无限”。小学四年级的学生大多处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，理解“无限”这一非常抽象的数学概念会比较困难。对此，教师应该联系日常生活中射灯发出的光线，帮助学生理解射线无限延长的数学意义，进而基于直接经验的“局限”，建构数学理论的“完美”。 再如，教学“角的初步认识”时，学生往往会认为生活中的桌角、墙角等与数学上的角大同小异，甚至将它们等同起来;还会只关注锐角和直角，只关注角的顶点，基于观察和触摸，认为角是“尖尖的”。这样的直接经验对学生认识数学上的角会产生误导，为学生后续理解“角的大小与边的长短无关”埋下隐患。教学中，教师要帮助学生克服错误的直接经验，获得正确的数学理论。
四、变碎片为结构
考虑到实际教学的需要，数学教材通常以课时为单位编写教学内容，因此，不可避免地要将一些关联度很高、逻辑性很强的知识块分割成一个个知识点;受教学内容难度和学生思维水平等因素的影响，还会将这些知识点分散在不同年級（学期）编排，螺旋上升。这就打破了数学知识的整体结构，削弱了数学知识的系统性，容易导致学生学到的是碎片化的知识。而认知心理学认为，认知结构的整体性和概括性越强，越有利于学习的保持和迁移。因此，教师要在课时知识点教学的基础上，通过对学习内容的整体把握，对学习目标的系统分析，对学习过程的贯通梳理，帮助学生将知识点串成链，将知识链织成网，形成科学合理的知识结构。这样，学生的眼界才能更加高远，思维才能更加通透。
例如，教学“认识体积单位”之前，学生已经积累了长度单位、面积单位的学习经验，对“测量需要统一的标准”有较深的认识，知道长度测量的统一标准是1厘米、1分米、1米等长度单位，面积测量的统一标准是边长为1厘米、1分米、1米等的单位正方形的面积（即1平方厘米、1平方分米、1平方米等面积单位）。因此，教学这一内容时，教师不妨将长度单位、面积单位、体积单位这几个知识点串珠成线，用结构化的方式引导学生在原有经验的基础上建构新知：
首先，课件出示一个长方体和一个正方体，让学生尝试比较它们的体积大小。学生想到可以将它们分成同样大小的小正方体，通过数一数这些小正方体的个数，比较出它们的大小。这一环节与长度单位、面积单位的引入类似，能进一步强化学生对“测量需要统一的标准”的认识，为接下来确立适当的体积单位作为测量标准奏响序曲。
接着，教师提问：你觉得确定怎样的体积单位作为测量标准比较合适？学生联系自身对长度单位和面积单位的认识，很自然地想到用棱长为1厘米、1分米、1米等的单位正方体的体积作为测量标准比较合适。……
最后，教师带领学生从一维、二维、三维的角度对三种单位进行对比联系，让学生对长度单位、面积单位、体积单位建立起整体的结构化认知。
本文系江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“小学数学‘为思维通透而教’课堂模式孵化实践研究”（编号：D/2018/02/17）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] R.柯朗，H.罗宾.什么是数学[M].左平，张饴慈，译.上海：复旦大学出版社，2005.
[2] 顾娟.为思维的通透而教——我在数学情境教学上的追求与实践[J].小学数学教师，2016（5）.
[3] 王艳芝.新课改背景下学习活动的经验本质——马克思辩证唯物主义认识论的视角[J].现代教育科学，2020（5）.