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[摘 要]结合教学实践与实验，对现行小学数学教材中编排的圆的面积估测和公式推导的探究活动做了比较分析，指出了“画—分—剪—拼”探究方法存在的问题，并结合实验论证了其不可行性，提出了借助三角形的面积公式推导圆的面积公式等完善教材的建議。
[关键词]教材编写;圆;面积;探究
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0005-04
“圆的面积”是“圆”这一单元内容的重中之重，各教材为了体现新课改的教育理念，展现圆的面积公式的来龙去脉，渗透数学思想，都精心编排了探究过程。但操作验证后发现，教材的设计目标很难实现，因此有必要对教材编写的探究活动进行分析。
一、圆的面积公式推导方法分析
关于圆的面积公式推导，各教材给出的方法既有一样的，也有不同的。归纳起来，主要有以下几种。
1.将圆分割为若干等份后拼成已学图形
在纸上画圆，将它分成若干等份，剪下圆并沿等分线剪开，分成若干扇形小纸片，再拼成已学图形，进而推导出圆的面积公式。这是所有教材都给出的探究方法（简称为“画—分—剪—拼”方法），只是化归的方向不同，有的单一，有的多向。
（1）化归为平行四边形（长方形）
这种化归方向是各教材中都有的，表述也大同小异。先对人教版教材进行分析，然后再指出其他教材的异同。人教版教材（第67页;如图1）先提出“在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？”，然后将圆纸片分成了16等份和32等份，拼出了近似的长方形，指出“分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形”的极限思想，推导出了圆的面积公式。此探究活动其实很难实施。首先，用圆规在硬纸上画一个圆好办，可不管是把圆形纸片先分后剪，还是先剪后分，都得把圆形纸片剪下来，那要剪成一个比较标准的圆形纸片就很难。其次，假设能剪下一个标准的圆形纸片，怎么把它分成16等份和32等份？学生确实会作垂线，可先作两条互相垂直的直径将圆形纸片分成4等份，那再分呢？只能测量角，把直角分成两个45°角以确定等分点，进而8等份;再测量出22.5°、11.25°……以分成16等份、32等份……此操作也不容易。第三，假设能够在圆形纸片上画16或32等份线，那剪开的过程也比较繁杂，即使学生能够完成，但由于折叠的纸容易卷曲也会影响拼图。第四，拼图就非得拼出近似的长方形吗？拼出的图形与平行四边形不是更近似吗？拼成学过的其他近似的图形（梯形、三角形）不行吗？
其实，苏教版教材（第97页;如图2）可能考虑到了以上分析的问题，故在教材附页中给出了图中所示的、带有16等份和32等份等分线的圆让学生剪，这虽然减少了操作的难度，但其他问题仍然存在。而沪教版教材（第112页;如图3）、北师大版教材（第14页;如图4）、西师大版教材（第20页;如图5）、冀教版教材（第48页;如图6）、青岛版教材（第66页;如图7），除上述问题外还存在一个问题，那就是“等分圆这个图形，并把等分后的图形拼起来”，学生能做到吗？恐怕也是剪开圆形纸片去拼的。
（2）化归为梯形或三角形
作为探究活动，浙教版教材是没有封堵学生的化归思路，且给学生留有思考空间的。浙教版教材（第69、70页;如图8、图9）不仅展示拼成的、近似的平行四边形和长方形，还有近似的梯形和三角形，这对促进学生发散思维和提升创新能力成是有较大帮助的。另外，西师大版教材在练习中以思考题的形式让学生拼出近似的梯形和三角形去推导公式，也弥补了探究时化归思路单一的不足。
综上所述，用“画—分—剪—拼”方法探究圆的面积公式，不仅因存在上述问题很难实施，还把探究活动变成了按流程进行的操作活动，变成了手工课。
2.将圆转化为近似的三角形
有的教材将圆分割成若干等份后，得到的每一份都是近似的等腰三角形（扇形），但不剪拼图形，而是根据三角形的面积公式推导圆的面积公式。如，浙教版教材（如图9）把圆分成32等份，不剪开，将每一小份（扇形）当作三角形来求面积后再乘以32，即得到圆的面积公式。另外，冀教版教材（第47页;如图10）以飞镖板为例也是这种处理方式，计算出了面积，只是没有借助其推导出圆的面积公式。
再者，北师大版教材（第16页;如图11）是剪开草绳编制的圆形茶垫，将其转化成近似的三角形，利用其面积推导出圆的面积公式。此方法新颖、独特，但只适用于类似的物品，而不适用于圆形纸片、铁片等实体，缺乏一般性，这也应是教材将其作为一种介绍而没有把它作为推导圆面积公式的原因。
显然，将圆转化为近似的三角形，利用三角形的面积公式推导出圆的面积公式的方法，比“画—分—剪—拼”方法要好。因为将每一个小扇形当作三角形，其近似程度比剪开拼成的近似的已学图形更高，且省去了不少烦琐的机械式操作。
二、思考与建议
1.“画—分—剪—拼”的探究方法不具备可行性
我给已学过圆的面积的学生提供圆形纸片，让他们按照“画—分—剪—拼”的探究方法进行操作。该班45人，在20分钟内能分成32等份并拼成较标准拼图的一个人也没有，能分成16等份后拼成还算较标准拼图的也只有7人。尤其需要指出的是，这7人都没有按教材上的要求去做，而是边折边割完成的，不是剪开而是割开。试想：按教材的步骤在纸上画一个圆，把它略为标准地剪下来就至少需要1～2分钟;将圆形纸片等分并画上16或32等份的等分线，这需确定等分点并画出8或16条直径，也至少需要5～6分钟才能做到;用剪刀剪成16、32等份，分别需要剪15、31次，在不要求很标准的情况下至少也需要5～6分钟;最后拼出图形少说也得2～3分钟。可见，20分钟之内绝大多数学生是不能完成的。因此，这种探究方法根本不具备可行性。事实上，众多该内容的教学只是简单介绍此方法，而后用多媒体展示说明，真正让学生按此方法进行操作探究的不多，足可说明大多数教师也发现了此方法的不可行性。既然如此，此探究方法的设计就没有存在的必要。若教材中仍保留此方法，可随教材配备将圆形纸已分成16或32等份的粘贴纸，让学生揭下来进行拼图即可。这样省去画、分、剪，只保留拼，可取得同样的探究效果。
2.建议借助三角形的面积公式推导圆的面积公式
浙教版教材（如图9）把圆等分而不剪开，将每一小份扇形（各教材在“圆”这一单元都设计了扇形的内容）当作三角形推导圆的面积公式的方法是可取的，只是学生将圆等分为32等份比较困难。其实，既没有等分的必要，也不用分成太多份，只要让学生将其分成一些比较小的扇形，看出这些扇形与三角形很接近（相似），引导学生类比三角形的面积公式求出每个小扇形的面积，再求和即可推导出圆的面积公式。这样设计既渗透了将圆转化为近似三角形的化归思想和极限思想，学生也好操作、理解与掌握，可大大提高教学效率，同时还能渗透类比这一重要方法。
教材的重要性众所皆知，毋庸赘述。教材编写探究活动贯彻新课改的教育理念是必要的，但教师应亲自动手操作、验证一下可行性进而完善之才更好、更稳妥。
【本文系“青蓝项目：青岛市教育学会 2018 年度教育研究项目——关于空间与图形领域课堂探索活动编写的比较研究（QES18E152）”研究成果之一。】
（责编 金 铃）
[关键词]教材编写;圆;面积;探究
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0005-04
“圆的面积”是“圆”这一单元内容的重中之重，各教材为了体现新课改的教育理念，展现圆的面积公式的来龙去脉，渗透数学思想，都精心编排了探究过程。但操作验证后发现，教材的设计目标很难实现，因此有必要对教材编写的探究活动进行分析。
一、圆的面积公式推导方法分析
关于圆的面积公式推导，各教材给出的方法既有一样的，也有不同的。归纳起来，主要有以下几种。
1.将圆分割为若干等份后拼成已学图形
在纸上画圆，将它分成若干等份，剪下圆并沿等分线剪开，分成若干扇形小纸片，再拼成已学图形，进而推导出圆的面积公式。这是所有教材都给出的探究方法（简称为“画—分—剪—拼”方法），只是化归的方向不同，有的单一，有的多向。
（1）化归为平行四边形（长方形）
这种化归方向是各教材中都有的，表述也大同小异。先对人教版教材进行分析，然后再指出其他教材的异同。人教版教材（第67页;如图1）先提出“在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？”，然后将圆纸片分成了16等份和32等份，拼出了近似的长方形，指出“分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形”的极限思想，推导出了圆的面积公式。此探究活动其实很难实施。首先，用圆规在硬纸上画一个圆好办，可不管是把圆形纸片先分后剪，还是先剪后分，都得把圆形纸片剪下来，那要剪成一个比较标准的圆形纸片就很难。其次，假设能剪下一个标准的圆形纸片，怎么把它分成16等份和32等份？学生确实会作垂线，可先作两条互相垂直的直径将圆形纸片分成4等份，那再分呢？只能测量角，把直角分成两个45°角以确定等分点，进而8等份;再测量出22.5°、11.25°……以分成16等份、32等份……此操作也不容易。第三，假设能够在圆形纸片上画16或32等份线，那剪开的过程也比较繁杂，即使学生能够完成，但由于折叠的纸容易卷曲也会影响拼图。第四，拼图就非得拼出近似的长方形吗？拼出的图形与平行四边形不是更近似吗？拼成学过的其他近似的图形（梯形、三角形）不行吗？
其实，苏教版教材（第97页;如图2）可能考虑到了以上分析的问题，故在教材附页中给出了图中所示的、带有16等份和32等份等分线的圆让学生剪，这虽然减少了操作的难度，但其他问题仍然存在。而沪教版教材（第112页;如图3）、北师大版教材（第14页;如图4）、西师大版教材（第20页;如图5）、冀教版教材（第48页;如图6）、青岛版教材（第66页;如图7），除上述问题外还存在一个问题，那就是“等分圆这个图形，并把等分后的图形拼起来”，学生能做到吗？恐怕也是剪开圆形纸片去拼的。
（2）化归为梯形或三角形
作为探究活动，浙教版教材是没有封堵学生的化归思路，且给学生留有思考空间的。浙教版教材（第69、70页;如图8、图9）不仅展示拼成的、近似的平行四边形和长方形，还有近似的梯形和三角形，这对促进学生发散思维和提升创新能力成是有较大帮助的。另外，西师大版教材在练习中以思考题的形式让学生拼出近似的梯形和三角形去推导公式，也弥补了探究时化归思路单一的不足。
综上所述，用“画—分—剪—拼”方法探究圆的面积公式，不仅因存在上述问题很难实施，还把探究活动变成了按流程进行的操作活动，变成了手工课。
2.将圆转化为近似的三角形
有的教材将圆分割成若干等份后，得到的每一份都是近似的等腰三角形（扇形），但不剪拼图形，而是根据三角形的面积公式推导圆的面积公式。如，浙教版教材（如图9）把圆分成32等份，不剪开，将每一小份（扇形）当作三角形来求面积后再乘以32，即得到圆的面积公式。另外，冀教版教材（第47页;如图10）以飞镖板为例也是这种处理方式，计算出了面积，只是没有借助其推导出圆的面积公式。
再者，北师大版教材（第16页;如图11）是剪开草绳编制的圆形茶垫，将其转化成近似的三角形，利用其面积推导出圆的面积公式。此方法新颖、独特，但只适用于类似的物品，而不适用于圆形纸片、铁片等实体，缺乏一般性，这也应是教材将其作为一种介绍而没有把它作为推导圆面积公式的原因。
显然，将圆转化为近似的三角形，利用三角形的面积公式推导出圆的面积公式的方法，比“画—分—剪—拼”方法要好。因为将每一个小扇形当作三角形，其近似程度比剪开拼成的近似的已学图形更高，且省去了不少烦琐的机械式操作。
二、思考与建议
1.“画—分—剪—拼”的探究方法不具备可行性
我给已学过圆的面积的学生提供圆形纸片，让他们按照“画—分—剪—拼”的探究方法进行操作。该班45人，在20分钟内能分成32等份并拼成较标准拼图的一个人也没有，能分成16等份后拼成还算较标准拼图的也只有7人。尤其需要指出的是，这7人都没有按教材上的要求去做，而是边折边割完成的，不是剪开而是割开。试想：按教材的步骤在纸上画一个圆，把它略为标准地剪下来就至少需要1～2分钟;将圆形纸片等分并画上16或32等份的等分线，这需确定等分点并画出8或16条直径，也至少需要5～6分钟才能做到;用剪刀剪成16、32等份，分别需要剪15、31次，在不要求很标准的情况下至少也需要5～6分钟;最后拼出图形少说也得2～3分钟。可见，20分钟之内绝大多数学生是不能完成的。因此，这种探究方法根本不具备可行性。事实上，众多该内容的教学只是简单介绍此方法，而后用多媒体展示说明，真正让学生按此方法进行操作探究的不多，足可说明大多数教师也发现了此方法的不可行性。既然如此，此探究方法的设计就没有存在的必要。若教材中仍保留此方法，可随教材配备将圆形纸已分成16或32等份的粘贴纸，让学生揭下来进行拼图即可。这样省去画、分、剪，只保留拼，可取得同样的探究效果。
2.建议借助三角形的面积公式推导圆的面积公式
浙教版教材（如图9）把圆等分而不剪开，将每一小份扇形（各教材在“圆”这一单元都设计了扇形的内容）当作三角形推导圆的面积公式的方法是可取的，只是学生将圆等分为32等份比较困难。其实，既没有等分的必要，也不用分成太多份，只要让学生将其分成一些比较小的扇形，看出这些扇形与三角形很接近（相似），引导学生类比三角形的面积公式求出每个小扇形的面积，再求和即可推导出圆的面积公式。这样设计既渗透了将圆转化为近似三角形的化归思想和极限思想，学生也好操作、理解与掌握，可大大提高教学效率，同时还能渗透类比这一重要方法。
教材的重要性众所皆知，毋庸赘述。教材编写探究活动贯彻新课改的教育理念是必要的，但教师应亲自动手操作、验证一下可行性进而完善之才更好、更稳妥。
【本文系“青蓝项目：青岛市教育学会 2018 年度教育研究项目——关于空间与图形领域课堂探索活动编写的比较研究（QES18E152）”研究成果之一。】
（责编 金 铃）