论文部分内容阅读
一、教学内容及设计构想
人教版小学数学教材四年级上册有一道思考题，内容来源于著名的“汉诺塔”问题。汉诺塔（又称河内塔）问题源于印度一个古老传说：在一座圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针，其中一根针上自下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。根据预言，当所有的金片都从一根针上移到另外一根针上时，世界就将毁灭。因此，能否依托丰富的背景资源，将一道题拓展成一节课，让它承载更多的教育价值呢？我们将内容进行拓展延伸，设计了“神秘的‘汉诺塔’游戏”一课，借助游戏的形式，不仅仅是解决问题，更重要的是让学生在实践操作中感悟其中蕴含的数学思想方法和解决问题策略，获得积极的情感体验。
二、教学目标
1.在游戏过程中，通过动手操作，自主探索，体验“化繁为简找规律”解决数学问题的基本策略。
2.经历收集有用信息、进行归纳、类比与猜测、再验证猜测这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。
3.在解决问题活动中，学会与他人合作，能有条理、清晰地表达自己的想法。
三、教学实录
（一）创设情境，激发需求
1.创设情境。
师：同学们，今天我们的学习从游戏开始，这个游戏和印度的一个古老传说有关，叫作“汉诺塔”游戏。让我们一起来了解一下。（播放微课）
2.激发需求。
师：这个传说是真的吗？你怎么看？
生：我觉得不可能，因为这只是一个传说啊！
生：我觉得也不可能，搬完这些圆片几十年就够了吧！世界怎么可能毁灭呢？（部分学生点头附和）
师：搬完这些圆片到底需要多少时间呢？是不是像同学们所说的那样呢？让我们一起来揭开“汉诺塔”游戏的神秘面纱！（板书课题）
【设计意图】课的一开始，就从“游戏”切入，让学生感受到今天的数学学习与以往不同。运用微课播放，创设生动情境，介绍“汉诺塔”游戏的古老传说，引发学生的讨论，激发研究欲望，为后面的学习埋下伏笔。
（二）自主探索，发现规律
1.自主探索。
（1）化繁为简：1个圆片的移动。
师：玩游戏前先要明确游戏规则，你能看懂吗？
课件出示：盒内有①号、②号、③号三根杆子，你能借助②号杆子把①号杆子上的圆盘移到③号杆子上而不改变圆盘的上下顺序吗？最少移动多少次呢？
移动规则：每次只能移动一个圆盘；大圆盘不能放到小圆盘的上面。
师：如果按照传说，应该有64个圆盘放在①号杆上？怎么样，我们试试？
生：太多了，可以从少一点的数量尝试，再看看有没有规律。
师：1个圆盘要不要试？至少移动几次？
生口答，师课件动态演示：直接将红色圆盘从①号杆移动到③号杆上，移动1次。
（2）明确规则：2个圆盘的移动。
师：那么，2个圆盘至少移动2次吗？
生：不行！至少3次。
生边说，师边课件动态演示：
② ③][第三次][第二次]
师：两次为什么不行呢？
生：这样大圆盘就要放在小圆盘的上面了，违反了游戏规则。所以要将小圆盘先移动到②号杆，大圆盘放到③号杆上，小圆盘再放过去。
师：也就是说，我们思考的是如何先将大圆盘放到③号杆上去，小圆盘就要先移动到其他杆上。我们用图将刚才的操作过程记录下来（板书演示）。
（3）亲身实践：3个圆盘的移动。
师：如果有3个圆盘呢？又至少需要移动几次呢？拿出学具，同桌合作，边操作边把移动的每一步都记录下来。看哪个组在最短的时间内将最少的移动次数找到。
生进行操作尝试，绝大部分组都移动成功。
师：成功的请举手！最少需要几次？哪组同桌愿意上来给我们展示？
② ③][① ② ③]
（4）激发疑问：4个圆盘的移动。
师：3个圆盘的移动看来难不倒大家，如果增加到4个圆盘呢？再试一试！
师巡回，发现大部分学生有困难。
师：移动成功的请举手。（只有几组同桌举手）有什么困难吗？
组1：我们移着移着就不知道该怎么办了！
组2：我们移对了，但好像是碰运气啊！
组3：我们觉得要将大圆盘先放到③号杆，但后面怎么移还没有完全想明白。
师：看来，需要先梳理一下！再回过头分析一下3个圆盘的移动，看看能不能给我们带来新的启示。
2.发现规律。
（1）梳理思路：3个圆盘的移动过程。
师：仔细观察移动过程，我们的思路是怎么样的？
生：要设法先将大圆盘移到③号杆。
师：那么小圆盘和中圆盘就要移到②号杆，至少需要几次？你怎么知道的？
生：3次，刚才2个圆盘移动时已经尝试过了。
师：这时，大圆盘就能移动到③号杆了，又需要1次。接下來的思路是什么？
生：将小圆盘和中圆盘想办法移到③号杆。
师：2个圆盘移到同一个杆上，至少需要几次？
生：和刚才一样还是3次。
师：一共是3 1 3=7次。移动3个圆盘的过程中借助了移动2个圆盘的经验。
师：想一想，移动4个圆盘，你有思路了吗？
生：先将上面3个圆盘移动到②号杆上，借助前面的经验，至少需要7次；最下面的大圆盘就可以移动到③号杆上，需要1次；再将②号杆上的3个圆盘移动到③号杆上，又至少需要7次，一共是7 1 7=15次。 师：有思路了，试试看！
（2）归纳推理：多个圆盘的移动思路。
生操作，师巡回，大部分学生都移动成功。
师：成功了吗？我们一起来看看4个圆盘移动的过程。（微课演示）
师（顺势追问）：5个圆盘呢？
生（很快口答）：借助4个圆盘的经验，至少需要15 1 15=31次。
师（继续追问）：6个圆盘呢？
生（很快口答）：借助5个圆盘的经验，至少需要31 1 31=63次。
师：如果有更多的圆盘，还能继续往下推吗？
生（自信）：能！
【设计意图】在研究之前，通过讨论，达成可以用“化繁为简”的思路进行研究的共识。接下来，分为三个层次，逐步推进研究进程。首先，1个圆盘和2个圆盘，借助flash动画的课件演示，随着学生的回答，教师自由拖动圆盘，在移动的过程中进一步明确游戏的规则。接着，3个圆盘和4个圆盘，借助学具进行操作，当学生发现4个圆盘移动有困难时，因势利导梳理3个圆盘的移动过程，归纳出移动的一般思路。最后，依据这样的移动思路，学生脱离实物操作，以此类推，借助n个圆盘的经验就能推理出（n 1）个圆盘的移动次数。这一过程中，数学思考贯穿始终。
（三）深入思考，解决问题
1.深入思考。
师：让我们再回到开头的古印度传说，根据我们发现的规律，现在能知道64个圆盘至少移动几次了吗？
生（困惑）：必须先推算出第63个圆盘的移动数，要想推算第63個圆盘的移动次数，还要推算第62个圆盘，要一直往前推算呢！
师：看来还是比较麻烦，那么有没有更加方便的规律呢？刚才我们是纵向观察的，横向观察看看，还有其他的规律存在吗？
生：圆盘个数n，移动次数2n-1。
师：现在可以知道64个圆盘至少要移动几次了吗？
生：264-1。
师：到底需要移动几次呢？请计算机来帮忙，最少需要移动“18446744073709551615” 次才能完成操作。
生发出惊叹。
2.解决问题。
师（课件演示）：假设搬1个圆盘要用1秒钟，就有18446744073709551615秒。1小时有3600秒，1天有24小时，1年我们以365天来计算，这样大约是五千多亿年。据现在的科学研究，宇宙从诞生至今还仅137亿年，地球从诞生到现在，也才只有大约46亿年的时间。看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。
师：现在，你们对这个印度传说怎么看？
生：要这么多年才能搬完圆盘，这个传说也是有可能的。
生：如果传说是真的，也不必担心，世界末日还远着呢！
【设计意图】通过研究，学生找到了递推的规律。可是，要解决64个圆盘至少需要移动几次时，发现还是比较困难，产生了进一步寻求横向规律的需求。这样“先破再立，再破再立”的环节设计，打破思维框架，将研究推向高潮。学生在解决问题后，对照课一开始时的讨论，有了积极的情感体验。
（四）提炼方法，自主建构
1.提炼方法。
师：同学们，今天我们边玩游戏，边探索规律，现在“汉诺塔”游戏在你心中还神秘吗？你知道了它的哪些秘密？回顾一下，我们是怎么研究的？
根据生的回答提炼出结论：化繁为简—借助经验—探索规律—解决问题。
2.自主建构。
师：这样的数学探究过程我们曾经运用过吗？
生（恍然大悟）：烙饼问题、打电话、图形找规律……
师：是的，数学问题有各种不同，可是解决问题的策略却是相通的，我们要学会用数学方法去解决这一类问题。
【设计意图】学生在“玩”游戏的过程中，有了充分的活动体验。回顾研究过程，提炼出“化繁为简”的解决问题策略。在教师的引导下，还能初步感悟到这一策略不仅能解决“汉诺塔问题”，还能解决这样的一类问题，将策略进行推广，提升学生的问题解决能力。
四、教学反思
（一）游戏背景介绍：激活思维点
将一道题拓展成一节课，就是要让知识承载更为丰富的教育价值，驱动学生去自主探索。课一开始，通过播放微课，创设游戏情境：在神秘的音乐声中向学生娓娓道来，“汉诺塔”游戏源于一个古老印度传说，课堂被浓浓的人文气息包围，数学学习也变得生动起来。那么，古老传说中的预言真的会实现吗？学生的各种猜测将今天的学习聚焦到一个问题“按照规则移动64个圆盘，究竟需要多少时间呢？”在学生的欢声笑语中，思维的火花被点燃，明确了本节课的学习目标。
（二）游戏环境支撑：提升思维力
游戏是“形”，思维是“神”，如何在玩游戏的过程中，提升学生的思维力？教学环境的有力支撑，让思维层层递进。1个圆盘、2个圆盘的移动是基础，利用flash动画，随着学生的回答，圆盘可以随意移动，帮助学生直观理解游戏规则“小圆盘必须要在大圆盘的上面”，初步感知移动策略“首先要将最下面的圆盘移动到③号杆，上面的圆盘必须要先移动到其他杆上，让开位置”。3个圆盘的移动过程是关键，借助实物，学生进行动手操作，用画图记录移动的过程；当4个圆盘移动碰到困难时，教师再顺势引导梳理3个圆盘的移动过程，运用微课进行直观演示，进一步感知移动策略“4个圆盘的移动可以借助3个圆盘的经验3 1 3=7次”。多个圆盘的移动是迁移，脱离多媒体演示和实物操作，运用1～4个圆盘的活动经验，进行逻辑推理。在这一过程中，学生的思维逐步从形象上升到抽象，归纳推理能力得到了发展。
（三）游戏方法提炼：营造思维场
数学游戏的教学目标，更重要的是方法策略的提炼和运用。在教学的最后环节，没有止步在解决了“64个圆盘至少要移动几次”的问题上，而是通过回顾，提炼出了解决问题的一般策略，学生对“化繁为简”的策略有了深入的认识。这样的解决问题策略除了解决“汉诺塔问题”，还能解决哪些问题呢？从一道习题拓展成一个问题，从一个问题推广到一类问题，引发学生进一步思考，连点成片，感悟到数学问题虽千变万化，数学方法却贯穿始终，营造了更为广阔的思维场。
（浙江省杭州市求是教育集团 310000）
人教版小学数学教材四年级上册有一道思考题，内容来源于著名的“汉诺塔”问题。汉诺塔（又称河内塔）问题源于印度一个古老传说：在一座圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针，其中一根针上自下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。根据预言，当所有的金片都从一根针上移到另外一根针上时，世界就将毁灭。因此，能否依托丰富的背景资源，将一道题拓展成一节课，让它承载更多的教育价值呢？我们将内容进行拓展延伸，设计了“神秘的‘汉诺塔’游戏”一课，借助游戏的形式，不仅仅是解决问题，更重要的是让学生在实践操作中感悟其中蕴含的数学思想方法和解决问题策略，获得积极的情感体验。
二、教学目标
1.在游戏过程中，通过动手操作，自主探索，体验“化繁为简找规律”解决数学问题的基本策略。
2.经历收集有用信息、进行归纳、类比与猜测、再验证猜测这一系列数学思维过程，发展学生的归纳推理能力。
3.在解决问题活动中，学会与他人合作，能有条理、清晰地表达自己的想法。
三、教学实录
（一）创设情境，激发需求
1.创设情境。
师：同学们，今天我们的学习从游戏开始，这个游戏和印度的一个古老传说有关，叫作“汉诺塔”游戏。让我们一起来了解一下。（播放微课）
2.激发需求。
师：这个传说是真的吗？你怎么看？
生：我觉得不可能，因为这只是一个传说啊！
生：我觉得也不可能，搬完这些圆片几十年就够了吧！世界怎么可能毁灭呢？（部分学生点头附和）
师：搬完这些圆片到底需要多少时间呢？是不是像同学们所说的那样呢？让我们一起来揭开“汉诺塔”游戏的神秘面纱！（板书课题）
【设计意图】课的一开始，就从“游戏”切入，让学生感受到今天的数学学习与以往不同。运用微课播放，创设生动情境，介绍“汉诺塔”游戏的古老传说，引发学生的讨论，激发研究欲望，为后面的学习埋下伏笔。
（二）自主探索，发现规律
1.自主探索。
（1）化繁为简：1个圆片的移动。
师：玩游戏前先要明确游戏规则，你能看懂吗？
课件出示：盒内有①号、②号、③号三根杆子，你能借助②号杆子把①号杆子上的圆盘移到③号杆子上而不改变圆盘的上下顺序吗？最少移动多少次呢？
移动规则：每次只能移动一个圆盘；大圆盘不能放到小圆盘的上面。
师：如果按照传说，应该有64个圆盘放在①号杆上？怎么样，我们试试？
生：太多了，可以从少一点的数量尝试，再看看有没有规律。
师：1个圆盘要不要试？至少移动几次？
生口答，师课件动态演示：直接将红色圆盘从①号杆移动到③号杆上，移动1次。
（2）明确规则：2个圆盘的移动。
师：那么，2个圆盘至少移动2次吗？
生：不行！至少3次。
生边说，师边课件动态演示：
② ③][第三次][第二次]
师：两次为什么不行呢？
生：这样大圆盘就要放在小圆盘的上面了，违反了游戏规则。所以要将小圆盘先移动到②号杆，大圆盘放到③号杆上，小圆盘再放过去。
师：也就是说，我们思考的是如何先将大圆盘放到③号杆上去，小圆盘就要先移动到其他杆上。我们用图将刚才的操作过程记录下来（板书演示）。
（3）亲身实践：3个圆盘的移动。
师：如果有3个圆盘呢？又至少需要移动几次呢？拿出学具，同桌合作，边操作边把移动的每一步都记录下来。看哪个组在最短的时间内将最少的移动次数找到。
生进行操作尝试，绝大部分组都移动成功。
师：成功的请举手！最少需要几次？哪组同桌愿意上来给我们展示？
② ③][① ② ③]
（4）激发疑问：4个圆盘的移动。
师：3个圆盘的移动看来难不倒大家，如果增加到4个圆盘呢？再试一试！
师巡回，发现大部分学生有困难。
师：移动成功的请举手。（只有几组同桌举手）有什么困难吗？
组1：我们移着移着就不知道该怎么办了！
组2：我们移对了，但好像是碰运气啊！
组3：我们觉得要将大圆盘先放到③号杆，但后面怎么移还没有完全想明白。
师：看来，需要先梳理一下！再回过头分析一下3个圆盘的移动，看看能不能给我们带来新的启示。
2.发现规律。
（1）梳理思路：3个圆盘的移动过程。
师：仔细观察移动过程，我们的思路是怎么样的？
生：要设法先将大圆盘移到③号杆。
师：那么小圆盘和中圆盘就要移到②号杆，至少需要几次？你怎么知道的？
生：3次，刚才2个圆盘移动时已经尝试过了。
师：这时，大圆盘就能移动到③号杆了，又需要1次。接下來的思路是什么？
生：将小圆盘和中圆盘想办法移到③号杆。
师：2个圆盘移到同一个杆上，至少需要几次？
生：和刚才一样还是3次。
师：一共是3 1 3=7次。移动3个圆盘的过程中借助了移动2个圆盘的经验。
师：想一想，移动4个圆盘，你有思路了吗？
生：先将上面3个圆盘移动到②号杆上，借助前面的经验，至少需要7次；最下面的大圆盘就可以移动到③号杆上，需要1次；再将②号杆上的3个圆盘移动到③号杆上，又至少需要7次，一共是7 1 7=15次。 师：有思路了，试试看！
（2）归纳推理：多个圆盘的移动思路。
生操作，师巡回，大部分学生都移动成功。
师：成功了吗？我们一起来看看4个圆盘移动的过程。（微课演示）
师（顺势追问）：5个圆盘呢？
生（很快口答）：借助4个圆盘的经验，至少需要15 1 15=31次。
师（继续追问）：6个圆盘呢？
生（很快口答）：借助5个圆盘的经验，至少需要31 1 31=63次。
师：如果有更多的圆盘，还能继续往下推吗？
生（自信）：能！
【设计意图】在研究之前，通过讨论，达成可以用“化繁为简”的思路进行研究的共识。接下来，分为三个层次，逐步推进研究进程。首先，1个圆盘和2个圆盘，借助flash动画的课件演示，随着学生的回答，教师自由拖动圆盘，在移动的过程中进一步明确游戏的规则。接着，3个圆盘和4个圆盘，借助学具进行操作，当学生发现4个圆盘移动有困难时，因势利导梳理3个圆盘的移动过程，归纳出移动的一般思路。最后，依据这样的移动思路，学生脱离实物操作，以此类推，借助n个圆盘的经验就能推理出（n 1）个圆盘的移动次数。这一过程中，数学思考贯穿始终。
（三）深入思考，解决问题
1.深入思考。
师：让我们再回到开头的古印度传说，根据我们发现的规律，现在能知道64个圆盘至少移动几次了吗？
生（困惑）：必须先推算出第63个圆盘的移动数，要想推算第63個圆盘的移动次数，还要推算第62个圆盘，要一直往前推算呢！
师：看来还是比较麻烦，那么有没有更加方便的规律呢？刚才我们是纵向观察的，横向观察看看，还有其他的规律存在吗？
生：圆盘个数n，移动次数2n-1。
师：现在可以知道64个圆盘至少要移动几次了吗？
生：264-1。
师：到底需要移动几次呢？请计算机来帮忙，最少需要移动“18446744073709551615” 次才能完成操作。
生发出惊叹。
2.解决问题。
师（课件演示）：假设搬1个圆盘要用1秒钟，就有18446744073709551615秒。1小时有3600秒，1天有24小时，1年我们以365天来计算，这样大约是五千多亿年。据现在的科学研究，宇宙从诞生至今还仅137亿年，地球从诞生到现在，也才只有大约46亿年的时间。看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。
师：现在，你们对这个印度传说怎么看？
生：要这么多年才能搬完圆盘，这个传说也是有可能的。
生：如果传说是真的，也不必担心，世界末日还远着呢！
【设计意图】通过研究，学生找到了递推的规律。可是，要解决64个圆盘至少需要移动几次时，发现还是比较困难，产生了进一步寻求横向规律的需求。这样“先破再立，再破再立”的环节设计，打破思维框架，将研究推向高潮。学生在解决问题后，对照课一开始时的讨论，有了积极的情感体验。
（四）提炼方法，自主建构
1.提炼方法。
师：同学们，今天我们边玩游戏，边探索规律，现在“汉诺塔”游戏在你心中还神秘吗？你知道了它的哪些秘密？回顾一下，我们是怎么研究的？
根据生的回答提炼出结论：化繁为简—借助经验—探索规律—解决问题。
2.自主建构。
师：这样的数学探究过程我们曾经运用过吗？
生（恍然大悟）：烙饼问题、打电话、图形找规律……
师：是的，数学问题有各种不同，可是解决问题的策略却是相通的，我们要学会用数学方法去解决这一类问题。
【设计意图】学生在“玩”游戏的过程中，有了充分的活动体验。回顾研究过程，提炼出“化繁为简”的解决问题策略。在教师的引导下，还能初步感悟到这一策略不仅能解决“汉诺塔问题”，还能解决这样的一类问题，将策略进行推广，提升学生的问题解决能力。
四、教学反思
（一）游戏背景介绍：激活思维点
将一道题拓展成一节课，就是要让知识承载更为丰富的教育价值，驱动学生去自主探索。课一开始，通过播放微课，创设游戏情境：在神秘的音乐声中向学生娓娓道来，“汉诺塔”游戏源于一个古老印度传说，课堂被浓浓的人文气息包围，数学学习也变得生动起来。那么，古老传说中的预言真的会实现吗？学生的各种猜测将今天的学习聚焦到一个问题“按照规则移动64个圆盘，究竟需要多少时间呢？”在学生的欢声笑语中，思维的火花被点燃，明确了本节课的学习目标。
（二）游戏环境支撑：提升思维力
游戏是“形”，思维是“神”，如何在玩游戏的过程中，提升学生的思维力？教学环境的有力支撑，让思维层层递进。1个圆盘、2个圆盘的移动是基础，利用flash动画，随着学生的回答，圆盘可以随意移动，帮助学生直观理解游戏规则“小圆盘必须要在大圆盘的上面”，初步感知移动策略“首先要将最下面的圆盘移动到③号杆，上面的圆盘必须要先移动到其他杆上，让开位置”。3个圆盘的移动过程是关键，借助实物，学生进行动手操作，用画图记录移动的过程；当4个圆盘移动碰到困难时，教师再顺势引导梳理3个圆盘的移动过程，运用微课进行直观演示，进一步感知移动策略“4个圆盘的移动可以借助3个圆盘的经验3 1 3=7次”。多个圆盘的移动是迁移，脱离多媒体演示和实物操作，运用1～4个圆盘的活动经验，进行逻辑推理。在这一过程中，学生的思维逐步从形象上升到抽象，归纳推理能力得到了发展。
（三）游戏方法提炼：营造思维场
数学游戏的教学目标，更重要的是方法策略的提炼和运用。在教学的最后环节，没有止步在解决了“64个圆盘至少要移动几次”的问题上，而是通过回顾，提炼出了解决问题的一般策略，学生对“化繁为简”的策略有了深入的认识。这样的解决问题策略除了解决“汉诺塔问题”，还能解决哪些问题呢？从一道习题拓展成一个问题，从一个问题推广到一类问题，引发学生进一步思考，连点成片，感悟到数学问题虽千变万化，数学方法却贯穿始终，营造了更为广阔的思维场。
（浙江省杭州市求是教育集团 310000）