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摘 要：计数问题的课堂教学结构可以采用开放题的开放性教学方式，可以采用设置情境，自探互究，以及巩固应用的课堂教学结构进行教学。
关键词：计数问题；开放；教学结构
计数问题不仅是组合数学的最初步知识和学习概率统计的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的数学知识。比如，人们出行可选择的路线、邮政编码、电话号码、身份证号码等各种编号，体育比赛中比赛场次的设定等，这些都需要用到这类计数问题的知识。开放题是相对于常规性封闭题而言的，所谓的封闭题是指“凡是具有完备的条件和固定答案的习题”。据此，一般认为，“数学开放题是指那些条件不完备、答案不确定，并在设问方式上要求学生自己进行多方面、多角度、多层次探索的数学习题”。小学数学开放题的基本特征是开放性，所谓开放性，是指构成题目的要素不是封闭的。也就是说，这些要素不是唯一确定不变的，即条件、问题、结论、解题策略等要素均可以呈开放状态。
可以看出，所研究的这类计数问题属于开放题的一种。由此，这类计数问题的课堂教学结构就可以采用开放题的开放性教学方式，也就是说在教学时多种手段、媒体要综合运用，要给学生提供一个开放的思维空间，以利于学生思维的发展，从而进行深入的探索。
一、设置情境
在新知导入阶段，充分展现学生的思维过程，积极创设问题情境，引导学生利用旧知识积极尝试和探索解决新问题，在交流中展现不同的思考方法。
片段一：北师大版三年级上册《搭配问题》教学片段。
数学教学的实质是思维活动，思维是数学教学的核心。数学教学应力求充分展现学生的思维过程，将知识的形成、发展过程展现给学生，让他们学会科学地思维。
例如：引入（谈话引出课题）。
老师：“同学们，你们觉得老师今天精神吗？”
学生：“精神！”
老师：“老师最近特开心，因为这周六就是我小侄女的生日了，她和你们同龄，为了过好生日，她事先作了生日安排，但是遇到了一些小问题，你们能帮帮她吗？”
学生：“能！”
老师：“看来同学们都非常热心，下面我们就来看看她的生日安排吧。”
老师：“她打算一大早就和爸爸妈妈出发去欢乐谷。我们都知道，过生日就要穿漂亮的衣服。出门前，她得好好打扮一下。”（课件出示：上装2件，下装3件。）
老师：“这么多衣服，应该怎么穿呢？你们能帮帮她吗？”
学生：“能！”
老师：“从图中，你能想到什么呢？有多少种不同的穿法呢？”
学生任意猜想可以搭配几种不同的穿法。
老师：“我看有的同学已经有想法了。下面，就请你们在老师发的纸上画一画、算一算，看看到底有多少种不同的穿法。”（板书：服装搭配。）
上述教学，以过生日出游为问题情境，激起了学生的求知欲。一方面引导学生小组讨论，在合作交流中获得多种解决问题的方法；另一方面充分展现学生的思维过程，展现学生各自的思维方法。
二、自探互究
自探互究是小学数学开放式教学中最主要的环节之一，是师生、生生间多边互动的活动，是有指导的互教、互学、互帮的解决问题的过程。具体分为三个小环节：试一试、议一议、辩一辩。
片段二：北师大版三年级上册《搭配问题》教学片段。
例如：在学生写服装搭配想法的同时，教师巡视，找出有特点的解题方法。
老师：“有的同学已经解出来了，真不错。”
老师：“有的同学思维很活跃，用了多种方法解决这个问题。”
接下来同桌交流、讨论。教师在学生交流的同时，巡视、指导、搜集方法。
老师：“同学们，现在和你的同桌交流一下，互相说说你们的想法？”
然后请几个组的学生代表汇报自己小组的解法。
在以上的教学过程中，充分地体现出自探互究的三个阶段。
1.试一试
试一试是在教师的启发引导下，学生自己尝试着完成某项学习活动，实现所要达到目标的自主活动、主动探索的过程。在尝试探索的过程中，学生根据教师提供的感知材料，进行自我观察、分析、比较、抽象、概括，养成学生独立思考的习惯，提高析疑解难的水平。
2.议一议
议一议是在尝试的基础上小组成员交流各自学习成果、遇到的问题，互帮互学，深入讨论，共同提高的过程。小组讨论的内容主要有：校对答案，形成正确结论；提出问题，寻求同伴帮助；说出思路，互相启迪思维；总结方法，推广解题策略；开拓创新，锻炼创造性思维。
3.辩一辩
辩一辩是组与组之间交流学习成果，相互质疑问难，民主讨论答题，从不同角度进行评析、开拓思维的过程。通过组间辩论解决认知疑难，在互相交流和思维的过程中深化对数学知识的理解。
三、巩固应用
在巩固应用阶段，引导学生多角度地探索、发现和应用，充分展现各个层次学生的思维过程和思维方式，培养学生思维的创造性。
片段三：北师大版六年级上册《比赛场次》教学片段
首先引入（国球：乒乓球，29届奥运会）
老师：“同学们，你们知道我们的国球吗？”
学生：“乒乓球。”
老师：“在刚刚结束的奥运会上，乒乓球健儿们获得了优异的成绩，来看看你们认识她们吗？”
PPT出示29届奥运会女子团体冠军：张怡宁、王楠、郭跃3人，情景引入，调动课堂气氛。
接下来提出第一个问题：三人两两比赛，共有多少场？（先让学生自己思考）
老师：“你们都有什么想法？”（让学生自己动手，看谁用的方法多，要给学生充分的时间，同时教师指导，按层次找出所需要的解题方案。）
学生：投影展示自己方案并讲解。（前几种方案在学生讲解的同时，教师直接在黑板上简单板书。讲解过后，集体给每种方案起名字。）
学生：“方法一图形法，方法二线段图，方法三计算法……”
老师：“我这还有一种方法（引出表格）。”
老师：板书讲解。
再引出4人比赛。
老师：“张怡宁平时会和队里的其他三名队员一起练习，每两人一场，共赛几场？”
老师：“用你喜欢的方法做一做。”
学生先在练习本上练习，然后在投影前展示。
通过这个片段的教学，有以下几点启示：
1.在教学中，教师要给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中，经历数学的学习过程，从中探索规律。要引导学生从不同角度去分析、解决问题，逐步培养学生探索和解决问题的能力。
2.在教学中，要引导学生估计结果，并能依据条件做出合理猜想，从中学会科学的思维方法，学会学习。
参考文献：
[1]蒋世雷.数学学习策略的教学.教育科学研究，2003（7）：76-78
[2]姚春.学生解数学题的问题表征策略.小学教学研究，2006（7）：23-24.
作者简介：时旭，出生于1977年6月2日，本科学历，就职于辽宁省凤城市翰墨小学，一直从事小学教学研究。
关键词：计数问题；开放；教学结构
计数问题不仅是组合数学的最初步知识和学习概率统计的基础，而且也是日常生活中应用比较广泛的数学知识。比如，人们出行可选择的路线、邮政编码、电话号码、身份证号码等各种编号，体育比赛中比赛场次的设定等，这些都需要用到这类计数问题的知识。开放题是相对于常规性封闭题而言的，所谓的封闭题是指“凡是具有完备的条件和固定答案的习题”。据此，一般认为，“数学开放题是指那些条件不完备、答案不确定，并在设问方式上要求学生自己进行多方面、多角度、多层次探索的数学习题”。小学数学开放题的基本特征是开放性，所谓开放性，是指构成题目的要素不是封闭的。也就是说，这些要素不是唯一确定不变的，即条件、问题、结论、解题策略等要素均可以呈开放状态。
可以看出，所研究的这类计数问题属于开放题的一种。由此，这类计数问题的课堂教学结构就可以采用开放题的开放性教学方式，也就是说在教学时多种手段、媒体要综合运用，要给学生提供一个开放的思维空间，以利于学生思维的发展，从而进行深入的探索。
一、设置情境
在新知导入阶段，充分展现学生的思维过程，积极创设问题情境，引导学生利用旧知识积极尝试和探索解决新问题，在交流中展现不同的思考方法。
片段一：北师大版三年级上册《搭配问题》教学片段。
数学教学的实质是思维活动，思维是数学教学的核心。数学教学应力求充分展现学生的思维过程，将知识的形成、发展过程展现给学生，让他们学会科学地思维。
例如：引入（谈话引出课题）。
老师：“同学们，你们觉得老师今天精神吗？”
学生：“精神！”
老师：“老师最近特开心，因为这周六就是我小侄女的生日了，她和你们同龄，为了过好生日，她事先作了生日安排，但是遇到了一些小问题，你们能帮帮她吗？”
学生：“能！”
老师：“看来同学们都非常热心，下面我们就来看看她的生日安排吧。”
老师：“她打算一大早就和爸爸妈妈出发去欢乐谷。我们都知道，过生日就要穿漂亮的衣服。出门前，她得好好打扮一下。”（课件出示：上装2件，下装3件。）
老师：“这么多衣服，应该怎么穿呢？你们能帮帮她吗？”
学生：“能！”
老师：“从图中，你能想到什么呢？有多少种不同的穿法呢？”
学生任意猜想可以搭配几种不同的穿法。
老师：“我看有的同学已经有想法了。下面，就请你们在老师发的纸上画一画、算一算，看看到底有多少种不同的穿法。”（板书：服装搭配。）
上述教学，以过生日出游为问题情境，激起了学生的求知欲。一方面引导学生小组讨论，在合作交流中获得多种解决问题的方法；另一方面充分展现学生的思维过程，展现学生各自的思维方法。
二、自探互究
自探互究是小学数学开放式教学中最主要的环节之一，是师生、生生间多边互动的活动，是有指导的互教、互学、互帮的解决问题的过程。具体分为三个小环节：试一试、议一议、辩一辩。
片段二：北师大版三年级上册《搭配问题》教学片段。
例如：在学生写服装搭配想法的同时，教师巡视，找出有特点的解题方法。
老师：“有的同学已经解出来了，真不错。”
老师：“有的同学思维很活跃，用了多种方法解决这个问题。”
接下来同桌交流、讨论。教师在学生交流的同时，巡视、指导、搜集方法。
老师：“同学们，现在和你的同桌交流一下，互相说说你们的想法？”
然后请几个组的学生代表汇报自己小组的解法。
在以上的教学过程中，充分地体现出自探互究的三个阶段。
1.试一试
试一试是在教师的启发引导下，学生自己尝试着完成某项学习活动，实现所要达到目标的自主活动、主动探索的过程。在尝试探索的过程中，学生根据教师提供的感知材料，进行自我观察、分析、比较、抽象、概括，养成学生独立思考的习惯，提高析疑解难的水平。
2.议一议
议一议是在尝试的基础上小组成员交流各自学习成果、遇到的问题，互帮互学，深入讨论，共同提高的过程。小组讨论的内容主要有：校对答案，形成正确结论；提出问题，寻求同伴帮助；说出思路，互相启迪思维；总结方法，推广解题策略；开拓创新，锻炼创造性思维。
3.辩一辩
辩一辩是组与组之间交流学习成果，相互质疑问难，民主讨论答题，从不同角度进行评析、开拓思维的过程。通过组间辩论解决认知疑难，在互相交流和思维的过程中深化对数学知识的理解。
三、巩固应用
在巩固应用阶段，引导学生多角度地探索、发现和应用，充分展现各个层次学生的思维过程和思维方式，培养学生思维的创造性。
片段三：北师大版六年级上册《比赛场次》教学片段
首先引入（国球：乒乓球，29届奥运会）
老师：“同学们，你们知道我们的国球吗？”
学生：“乒乓球。”
老师：“在刚刚结束的奥运会上，乒乓球健儿们获得了优异的成绩，来看看你们认识她们吗？”
PPT出示29届奥运会女子团体冠军：张怡宁、王楠、郭跃3人，情景引入，调动课堂气氛。
接下来提出第一个问题：三人两两比赛，共有多少场？（先让学生自己思考）
老师：“你们都有什么想法？”（让学生自己动手，看谁用的方法多，要给学生充分的时间，同时教师指导，按层次找出所需要的解题方案。）
学生：投影展示自己方案并讲解。（前几种方案在学生讲解的同时，教师直接在黑板上简单板书。讲解过后，集体给每种方案起名字。）
学生：“方法一图形法，方法二线段图，方法三计算法……”
老师：“我这还有一种方法（引出表格）。”
老师：板书讲解。
再引出4人比赛。
老师：“张怡宁平时会和队里的其他三名队员一起练习，每两人一场，共赛几场？”
老师：“用你喜欢的方法做一做。”
学生先在练习本上练习，然后在投影前展示。
通过这个片段的教学，有以下几点启示：
1.在教学中，教师要给学生提供自主探索的机会，让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中，经历数学的学习过程，从中探索规律。要引导学生从不同角度去分析、解决问题，逐步培养学生探索和解决问题的能力。
2.在教学中，要引导学生估计结果，并能依据条件做出合理猜想，从中学会科学的思维方法，学会学习。
参考文献：
[1]蒋世雷.数学学习策略的教学.教育科学研究，2003（7）：76-78
[2]姚春.学生解数学题的问题表征策略.小学教学研究，2006（7）：23-24.
作者简介：时旭，出生于1977年6月2日，本科学历，就职于辽宁省凤城市翰墨小学，一直从事小学教学研究。