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【摘要】数学教学中发展学生思维能力是培养能力的核心，而要使学生树立正确的思维倾向、养成良好的思维习惯，就要让学生去感悟、思考、分析、处理数学问题。有意识地培养学生寻求、发现、认识问题间的相互关联的能力，将对数学学习起到事半功倍的效果。本文将重点介绍几种具体的问题关联的方法。
【关键词】初中数学学习 认知结构 问题关联 学习方法
数学知识是有严密组织的知识系统，学生学习数学，在掌握知识的过程中，也就形成相应的认知结构．学生的数学学习实际上就是学生的数学认知结构的建立、扩大或重新组织的过程．新课标十分注重问题教学方式在学科教学中的作用，强调通过问题来进行学习，把问题看作是学习的动力、起点和贯穿于学习过程的主线；同时，通过学习来生成问题、分析问题和解决问题。与其它初中学科相比，数学的知识点多，处理方法专，技术要求高。如何把这些较抽象的内容有机地组织起来，并能让学习者熟练把握，运用自如，这正是我们迫切要解决的问题。如果把问题教学看作一种技术的话，那么如何使用并发挥它的最大效能则是一种艺术了。因此，有意识的培养学生寻求、发现、认识问题的相互关联的能力，将对学生数学学习起到事半功倍的效果。以下是笔者在教学实践中积累的几个问题关联的具体方法：
1.认识图形，灵活关联
1.1 数与形的关联。
数形关联思想在数学学习中占有非常重要的地位，数形的相互结合、渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，从而使抽象思维和形象思维有机结合。
如：对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最大、最小值进行探讨时，若单纯从配方运算后再认识“a>0时，有最小值，a<0时，有最大值”，既消耗时间，也不利于学生熟练把握；若把它与二次函数的图像（抛物线）联系起来，即当“a>0时，抛物线开口向上，图像有最低点，函数就是最小值；反之，a<0时有最大值。”这样，学生的思维就通畅了，而在解决具体问题时，更要高度重视这一方法的应用。又如求方程组y=1x
y=3x2+12x+12的解的组数，我们只需在同一直角坐标系中画出反比例函数和二次函数的图像，如图1，通过图像，原方程组的解是几组就一目了然了。再如：用图形证明a2-b2=(a+b)(a-b)等式成立，从等式左边看，可分别构造边长为a、b的正方形，从等式的右边看，构造边长为a+b、a-b的矩形，如图2，即可得a2-b2=(a+b)(a-b)
再如，设正数a、b、c、d中a最大，且ab =cd
求证：a+b ＞b+c 我们可以作AC=a，在AC上截取AB=d，以BC为直径作⊙O，作割线AD=b交⊙O于E，如图3，则AE•AD=AB•AC 即AE•b=a•d，再由题设ab=cd ，可知：AE=c.另过点O作OF⊥AD，垂足为F，则F为DE的中点．
∴AO=AB+BO=d+a-d2 =a+d2
AF=AE+EF=c+b-c2 =b+c2
在Rt△AOF中，∵AO＞AF，
∴a+d2 ＞b+c2 即：a+d＞b+c
我们把这一代数问题转化为几何问题，灵活运用数形结合思想，学生则易于理解、接受、掌握。
1.2 基本图形与基本结论关联。
在几何教学中，“见图识义”是一种思维关联的基本技能，我们不仅要教会学生熟悉一些基本事实，定理所代表的图形、条件、过程、结论，更应注重把一些常规的图形与结论作为一种基本思维加以强化，使学生在问题间建立关联。
1.2.1 直接关联问题。
在初中阶段常用的直线型表示的基本代数关系式列表如下：
基本的几何图形相应的代数式（a、b均为整数 ）
a+b=c,x=|b-a|
c=a2+b2或a=c2-a2
ab=cd或ad=bc
c2=ab或c=ab
c ＞ a；a-b＜c＜a+b
a2,ab,s=12ab=12cx
1．EF为⊙O直径，EF⊥AB（非直径），AC=BC，
AE︵=BE︵;AF︵=BF︵
2.OA2=AC2+CO2
与以上图形有联系的问题求解，其解题过程实质是图形语言与代数语言互相转换的过程，我们一要学生构造图形，二要熟悉相关量的几何意义。
1.2.2 衍生的关联问题。
如图4，在问题“ 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，则 △ABC是什么三角形？”我们应该把“角平分线与平行线相结合必有等腰三角形”当作一种基本图形，当接触到角平分线和平行线的图形时，第一反应就是可能找等腰三角形，另外，我们可以把上述图形加以变通，即“角平分线、平行线、等腰三角形三者存在一定的联系，见其中两个可设法去寻找第三个”；又如图5，在问题“在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC和AC上，ED∥BC，EF∥AC，BE=ED求证：BE=CF”中，应首先寻找BD为∠ABC的平分线，这样学生就易于求解了。
在初中类似的结论很多，如图6，在△ABC中，BO、CO 是角平分线，则∠BOC=90°+12∠A；再如图7，“已知：直径CD，AB是弦，DE ⊥AB于E，CF⊥AB于F， 试说明AE=BF或AF=BE ”中，我们可以把这个图形归纳为条件：一直径、一弦、两垂直；结论：两垂足到弦两端点的距离相等；引申：已知圆的半径、弦长求直径两端到弦的距离之和，从而与定理的基本图形联系起来，思路也就豁然开朗了。
2.理解概念，巧妙关联
2.1 关注现成概念。
数学中的定义、定理、公式和法则是反映数学对象的属性之间关系的，而数学中概念的建立，结论、公式、定理的总结过程，蕴藏着深刻的数学思维过程，进行这些知识生成过程的教学，不仅有利于培养学生的学习兴趣，对提高学生的学习能力也有着十分重要的作用，学生在学习时，也只有弄清楚概念，熟悉定义、定理、公式和法则，才能有正确的思维基础，才能形成推理论证的能力，也才能具有运算的技能、技巧，这样看来，让学生学好数学的关键是让其牢固记忆，灵活运用定义定理、公式和法则，许多学生在做数学题时，往往知道某一道题要用某个定理、公式去解决，但对这个定理或公式记不清，说不准，时常产生误用．有些单纯的解题识记对学习往往起不到很好长久见效的作用，因此，教师在教学时应多注意向学生点明：像乘方运算中的“幂”，方程中的“元”“次”，圆上有关角的名称如“圆周角、圆心角、弦切角”，“三角函数的定义”呈现等，应字斟句酌，反复打磨。
2.2 构造新概念。
对一些非专用概念的数学问题，我们可以自定义一个易于记忆的别名，把其中的关系也当作一种基本思维加以认识，除了书上的“三线八角”“三线合一”外，上面图6中的两条角平分线的夹角可定义为：内平角，遇到相应图形，直接套用即可，从而提高解题效率。再如，仿照圆心角与圆周角，我们把如图8的∠BPD叫圆内角，易得它的度数等于它所对弧的度数及其对顶角所对弧度数的和的一半，同样像图9的∠APC可称为圆外角，其度数应为所夹两弧度数差的一半等。
2.3 注重特殊概。
对于某些比较特殊的问题，比如一些题目的隐含条件的发掘等，我们要提醒学生特别的留意，如化简-1a时，应提醒学生二次根式内开出因式前，则应考虑因式为非负的条件，本题隐含着a＜0．又如：某问题中涉及关于x的方程ax2+bx+c=0，若已知它是“一元二次方程”或“有两根”，则隐含a≠0 ，不需要讨论；若已知它有“有根”或“是方程”，则因不能保证a≠0 ，故需分 a≠0和a=0两种情况分别解答。再如：两圆的位置关系相切，相交，内含，都要根据具体情况分别讨论；还有确定三角形为等腰三角形或直角三角形都要看有无明确条件，否则要分类讨论等这些内容要多提醒，多强调，以便减少出错，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.启发想象，创设关联
有些数学问题，通常要用到一些相应的技术，只要抓住这些典型的技术处理方法，我们就相当于找到了“问题的根本”，即使题目千变万化，也总能寻找出“题根”以及解决方案。初中数学中有许多典型问题和在推理过程中得到的重要结论，可以非常有效的提高数学思维能力。如几何中辅助线的添加就有一定的规律：“图中有角平分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，常向两边把线连；三角形中两中点，连结则成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线；平行四边形出现，对称中心等分点；证相似，比线段，添线平行成习惯；斜边上面作交线，比例中项一大片；半径与弦专计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切合圆心半径连；是半径，成半圆，想成直角经连弦……”记往这些重点结论，熟练运用，定会把相应问题解决好。
再如，学习二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)时，我们除了研究它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性外，还可记住一些重要结论，像对称轴位置，可归纳为：a、b共同决定对称轴，同号得左，异号得负（与轴比）；若与轴有两个交点，则这两个交点与顶点构成“顶点三角形”是等腰三角形；且与X轴两交点间距离为b2-4ac|a|等，我们应引导学生尽量把一些方法“收集”起来，存放在自己的收藏夹中，当然，在引导学生创设和记忆的时候，教师要讲究方法，掌握分寸，总结归纳的结论既要科学规范又要简明易记，不能增加学生学习的难度，而应努力培养学生学习的兴趣和自信心。
总之，“数学是思维的体操”，学生学习的知识，往往是间接的知识，是抽象化、形式化的知识，而如何应对一个个变化多端的具体数学问题，学生常常想通过做大量题目来实现，但结果往往事与愿违。学会学习，掌握学习规律和学习方法，以培养索取知识的能力，乃是当今学生学习中十分重要的任务。本文所倡导的“数学问题关联法”能帮助学生树立正确的思维倾向，养成良好的思维习惯，使学生在探索和实践的基础上感悟、思考、分析、处理数学问题，做到相互联系，触类旁通。学生只有不断亲历数学知识之间的联系，才能融会贯通地掌握知识、发展能力、才能逐步形成“问题解决”的数学意识，提高学习效率。
参考文献
［1］ 李斐真．数学认知结构及其构建策略．宁波大学学报，2001，6.
［2］ 肖成权．有效教学。辽宁师范大学出版社．2006，6.
【关键词】初中数学学习 认知结构 问题关联 学习方法
数学知识是有严密组织的知识系统，学生学习数学，在掌握知识的过程中，也就形成相应的认知结构．学生的数学学习实际上就是学生的数学认知结构的建立、扩大或重新组织的过程．新课标十分注重问题教学方式在学科教学中的作用，强调通过问题来进行学习，把问题看作是学习的动力、起点和贯穿于学习过程的主线；同时，通过学习来生成问题、分析问题和解决问题。与其它初中学科相比，数学的知识点多，处理方法专，技术要求高。如何把这些较抽象的内容有机地组织起来，并能让学习者熟练把握，运用自如，这正是我们迫切要解决的问题。如果把问题教学看作一种技术的话，那么如何使用并发挥它的最大效能则是一种艺术了。因此，有意识的培养学生寻求、发现、认识问题的相互关联的能力，将对学生数学学习起到事半功倍的效果。以下是笔者在教学实践中积累的几个问题关联的具体方法：
1.认识图形，灵活关联
1.1 数与形的关联。
数形关联思想在数学学习中占有非常重要的地位，数形的相互结合、渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，从而使抽象思维和形象思维有机结合。
如：对二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的最大、最小值进行探讨时，若单纯从配方运算后再认识“a>0时，有最小值，a<0时，有最大值”，既消耗时间，也不利于学生熟练把握；若把它与二次函数的图像（抛物线）联系起来，即当“a>0时，抛物线开口向上，图像有最低点，函数就是最小值；反之，a<0时有最大值。”这样，学生的思维就通畅了，而在解决具体问题时，更要高度重视这一方法的应用。又如求方程组y=1x
y=3x2+12x+12的解的组数，我们只需在同一直角坐标系中画出反比例函数和二次函数的图像，如图1，通过图像，原方程组的解是几组就一目了然了。再如：用图形证明a2-b2=(a+b)(a-b)等式成立，从等式左边看，可分别构造边长为a、b的正方形，从等式的右边看，构造边长为a+b、a-b的矩形，如图2，即可得a2-b2=(a+b)(a-b)
再如，设正数a、b、c、d中a最大，且ab =cd
求证：a+b ＞b+c 我们可以作AC=a，在AC上截取AB=d，以BC为直径作⊙O，作割线AD=b交⊙O于E，如图3，则AE•AD=AB•AC 即AE•b=a•d，再由题设ab=cd ，可知：AE=c.另过点O作OF⊥AD，垂足为F，则F为DE的中点．
∴AO=AB+BO=d+a-d2 =a+d2
AF=AE+EF=c+b-c2 =b+c2
在Rt△AOF中，∵AO＞AF，
∴a+d2 ＞b+c2 即：a+d＞b+c
我们把这一代数问题转化为几何问题，灵活运用数形结合思想，学生则易于理解、接受、掌握。
1.2 基本图形与基本结论关联。
在几何教学中，“见图识义”是一种思维关联的基本技能，我们不仅要教会学生熟悉一些基本事实，定理所代表的图形、条件、过程、结论，更应注重把一些常规的图形与结论作为一种基本思维加以强化，使学生在问题间建立关联。
1.2.1 直接关联问题。
在初中阶段常用的直线型表示的基本代数关系式列表如下：
基本的几何图形相应的代数式（a、b均为整数 ）
a+b=c,x=|b-a|
c=a2+b2或a=c2-a2
ab=cd或ad=bc
c2=ab或c=ab
c ＞ a；a-b＜c＜a+b
a2,ab,s=12ab=12cx
1．EF为⊙O直径，EF⊥AB（非直径），AC=BC，
AE︵=BE︵;AF︵=BF︵
2.OA2=AC2+CO2
与以上图形有联系的问题求解，其解题过程实质是图形语言与代数语言互相转换的过程，我们一要学生构造图形，二要熟悉相关量的几何意义。
1.2.2 衍生的关联问题。
如图4，在问题“ 在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，则 △ABC是什么三角形？”我们应该把“角平分线与平行线相结合必有等腰三角形”当作一种基本图形，当接触到角平分线和平行线的图形时，第一反应就是可能找等腰三角形，另外，我们可以把上述图形加以变通，即“角平分线、平行线、等腰三角形三者存在一定的联系，见其中两个可设法去寻找第三个”；又如图5，在问题“在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC和AC上，ED∥BC，EF∥AC，BE=ED求证：BE=CF”中，应首先寻找BD为∠ABC的平分线，这样学生就易于求解了。
在初中类似的结论很多，如图6，在△ABC中，BO、CO 是角平分线，则∠BOC=90°+12∠A；再如图7，“已知：直径CD，AB是弦，DE ⊥AB于E，CF⊥AB于F， 试说明AE=BF或AF=BE ”中，我们可以把这个图形归纳为条件：一直径、一弦、两垂直；结论：两垂足到弦两端点的距离相等；引申：已知圆的半径、弦长求直径两端到弦的距离之和，从而与定理的基本图形联系起来，思路也就豁然开朗了。
2.理解概念，巧妙关联
2.1 关注现成概念。
数学中的定义、定理、公式和法则是反映数学对象的属性之间关系的，而数学中概念的建立，结论、公式、定理的总结过程，蕴藏着深刻的数学思维过程，进行这些知识生成过程的教学，不仅有利于培养学生的学习兴趣，对提高学生的学习能力也有着十分重要的作用，学生在学习时，也只有弄清楚概念，熟悉定义、定理、公式和法则，才能有正确的思维基础，才能形成推理论证的能力，也才能具有运算的技能、技巧，这样看来，让学生学好数学的关键是让其牢固记忆，灵活运用定义定理、公式和法则，许多学生在做数学题时，往往知道某一道题要用某个定理、公式去解决，但对这个定理或公式记不清，说不准，时常产生误用．有些单纯的解题识记对学习往往起不到很好长久见效的作用，因此，教师在教学时应多注意向学生点明：像乘方运算中的“幂”，方程中的“元”“次”，圆上有关角的名称如“圆周角、圆心角、弦切角”，“三角函数的定义”呈现等，应字斟句酌，反复打磨。
2.2 构造新概念。
对一些非专用概念的数学问题，我们可以自定义一个易于记忆的别名，把其中的关系也当作一种基本思维加以认识，除了书上的“三线八角”“三线合一”外，上面图6中的两条角平分线的夹角可定义为：内平角，遇到相应图形，直接套用即可，从而提高解题效率。再如，仿照圆心角与圆周角，我们把如图8的∠BPD叫圆内角，易得它的度数等于它所对弧的度数及其对顶角所对弧度数的和的一半，同样像图9的∠APC可称为圆外角，其度数应为所夹两弧度数差的一半等。
2.3 注重特殊概。
对于某些比较特殊的问题，比如一些题目的隐含条件的发掘等，我们要提醒学生特别的留意，如化简-1a时，应提醒学生二次根式内开出因式前，则应考虑因式为非负的条件，本题隐含着a＜0．又如：某问题中涉及关于x的方程ax2+bx+c=0，若已知它是“一元二次方程”或“有两根”，则隐含a≠0 ，不需要讨论；若已知它有“有根”或“是方程”，则因不能保证a≠0 ，故需分 a≠0和a=0两种情况分别解答。再如：两圆的位置关系相切，相交，内含，都要根据具体情况分别讨论；还有确定三角形为等腰三角形或直角三角形都要看有无明确条件，否则要分类讨论等这些内容要多提醒，多强调，以便减少出错，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.启发想象，创设关联
有些数学问题，通常要用到一些相应的技术，只要抓住这些典型的技术处理方法，我们就相当于找到了“问题的根本”，即使题目千变万化，也总能寻找出“题根”以及解决方案。初中数学中有许多典型问题和在推理过程中得到的重要结论，可以非常有效的提高数学思维能力。如几何中辅助线的添加就有一定的规律：“图中有角平分线，可向两边作垂线；线段垂直平分线，常向两边把线连；三角形中两中点，连结则成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线；平行四边形出现，对称中心等分点；证相似，比线段，添线平行成习惯；斜边上面作交线，比例中项一大片；半径与弦专计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切合圆心半径连；是半径，成半圆，想成直角经连弦……”记往这些重点结论，熟练运用，定会把相应问题解决好。
再如，学习二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)时，我们除了研究它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值和增减性外，还可记住一些重要结论，像对称轴位置，可归纳为：a、b共同决定对称轴，同号得左，异号得负（与轴比）；若与轴有两个交点，则这两个交点与顶点构成“顶点三角形”是等腰三角形；且与X轴两交点间距离为b2-4ac|a|等，我们应引导学生尽量把一些方法“收集”起来，存放在自己的收藏夹中，当然，在引导学生创设和记忆的时候，教师要讲究方法，掌握分寸，总结归纳的结论既要科学规范又要简明易记，不能增加学生学习的难度，而应努力培养学生学习的兴趣和自信心。
总之，“数学是思维的体操”，学生学习的知识，往往是间接的知识，是抽象化、形式化的知识，而如何应对一个个变化多端的具体数学问题，学生常常想通过做大量题目来实现，但结果往往事与愿违。学会学习，掌握学习规律和学习方法，以培养索取知识的能力，乃是当今学生学习中十分重要的任务。本文所倡导的“数学问题关联法”能帮助学生树立正确的思维倾向，养成良好的思维习惯，使学生在探索和实践的基础上感悟、思考、分析、处理数学问题，做到相互联系，触类旁通。学生只有不断亲历数学知识之间的联系，才能融会贯通地掌握知识、发展能力、才能逐步形成“问题解决”的数学意识，提高学习效率。
参考文献
［1］ 李斐真．数学认知结构及其构建策略．宁波大学学报，2001，6.
［2］ 肖成权．有效教学。辽宁师范大学出版社．2006，6.