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【摘要】对于数学的课程目标，不同时期有不同的理解，目标不同，教学思路也不同，学生的收获自然也不同.下面以三次圆的面积公式推导的教学为例，谈谈一线数学教师对“教什么”的思考的重要性，它是所有教学行为的基础，比对“怎么教”的思考更重要.
【关键词】小学数学；圆的面积
圆的面积计算是小学六年级上学期的教学内容，这是学生学习的第一种曲线图形的面积计算，教学内容包括对圆面积概念的理解、公式的推导、运用公式求圆的面积、环形的面积等.这部分内容的学习相当重要，是渗透把曲线图形转化成直线图形来研究的方法的好题材，也是渗透极限思想的好题材.
一教圆的面积公式推导——借助多媒体课件
教学目标：认识圆面积的概念，推导圆面积公式，运用公式计算圆面积.圆面积公式的推导是一节课的一部分内容.過程简介如下：
1.学生自学教材.
2.课件演示：把一个圆平均分成16份，用红色表示其中的8份，用蓝色表示另外的8份，然后把两个8份移动拼成一个近似的长方形.课件形象生动，在适当时候还有声音提示引起注意.
3.教师引导学生观察拼出来的长方形的长、宽分别是多少，边引导回答边完成下面板书：
由于课前的预习，加上教师的暗示引导，学生（特别是学优生）一般都能按教师的意愿讲出以上的推导过程.圆面积公式的推导就大功告成了.
效果情况反馈：
在运用圆的面积公式解决问题的过程中，发现不少学生记不住公式或与圆的周长公式混淆.而且大部分学生面对以下填空题一脸茫然，能够填对的只有那么几名学优生.
如果把圆分成（）等份，可以拼成一个近似平行四边形.拼成的这个平行四边形的（）相当于圆（）的一半，这一半用字母表示是（），它的（）就是圆的（），所以圆的面积公式是（）.
二教圆的面积公式推导——以学生为主体，动手操作
教学目标：认识圆面积的概念，推导圆面积公式，运用公式计算圆面积.圆面积公式的推导是一节课的一部分内容.过程简介如下：
1.布置课前预习.课前引导学生看教材的推导过程，然后布置学生回家按教材要求完成推导过程，具体的预习要求如下：
（1）画两个一样大小的圆，剪下来（也可以用附页中的圆）.
（2）把其中一个圆平均分成若干份（说明分的份数越多越好，最好是偶数份）.
（3）按顺序把各份编号.
（4）把这些近似的等腰三角形拼成一个近似的长方形（也可以拼成其他学过的图形）.
2.课堂上推导公式的过程：
（1）同位合作，按书上的方法把圆转化为平行四边形，教师巡视完成情况.大部分学生都能顺利拼出这样的图：
（2）让学生以小组为单位，看有什么发现，如果要求这个近似平行四边形的面积，该怎么求？
（3）由学生自由汇报各小组的研究成果（在学生汇报前选一个拼得好的图贴在黑板上），教师根据汇报整理板书（具体跟“一教”中的板书相同）.经过几名学生的发言，把书上的推导过程讲清楚.
（4）看着板书，再让学生把思维过程理顺，并引导学生总结学习方法，使学生知道可以把曲线图形转化为直线图形来研究.
（5）教师巡视时发现，有些学生把圆分成了8等份、32等份……，于是让不同分法的学生都展示自己拼的平行四边形，结果发现，分的份数越多，每一份就会越细，拼出来的图形就会越接近于长方形.这样用课堂生成的具体实例来渗透抽象的极限思想.
（6）演示课件，加深认识.
（7）推导方法拓展.教师提问：除了上面的拼法，还有别的拼法吗？
教师巡视发现，有个别学生拼出了三角形或梯形.教师再提出问题：假如这样拼，能推导出圆的面积公式吗？学生再度进入了探究学习中.
下面是学生拼出的两个图和推导过程.
有一名学生还推导出用直径来计算的圆面积公式：S=114πd2.
（8）出示以下填空题，大部分学生能填对.
如果把圆分成（）等份，可以拼成一个近似平行四边形.拼成的这个平行四边形的（）相当于圆（）的一半，这一半用字母表示是（），它的（）就是圆的（），所以圆的面积公式是（）.
（9）总结.告诉学生，今天所用数学思想方法是把未知的问题转化成已知问题来研究（即把曲线图形转化为直线图形来研究），把学生的空间观念引入一个新的领域.
效果情况反馈：
由于这节课让学生合作探究的时间比较长，因此，没完成计划内容——用公式计算圆的面积，但学生对圆面积公式的理解还是比较深入的.后续的应用练习中，学生把面积与周长混淆的现象不多.但是，当堂的教学内容没有完成，而能接受推导公式拓展部分的又只是少数学生.
三教圆的面积公式推导——关注数学思考方法
教学目标：探索并掌握圆的面积计算公式；体会和掌握转化、推理、极限等数学思想方法；获得数学活动的经验.计划用两节课来达成目标.
第一节课：圆面积公式推导的准备课.
完成几个任务：
1.引导学生回顾以前研究多边形面积的方法.
2.引导学生思考圆的面积如何用转化的方法来研究.
3.引导看明白教材的剪拼方法.
4.出示教师预先分好的圆，引导认识分出来的小扇形（近似的等腰三角形）.
5.布置预习任务：
（1）画两个一样大小的圆，剪下来（也可以用附页中的圆）.
（2）把其中一个圆平均分成若干份（说明分的份数越多越好，最好是偶数份）.
（3）按顺序把各份编号.
（4）看懂书中的推导公式方法，并自己尝试完成推导过程. （5）除了书中的方法，还有没有其他方法？
第二节课：圆面积公式推导课.
1.四人小组交流课外拼成的近似长方形，说说怎样根据拼出的图形算出圆的面积，教师巡视，了解学生完成情况.
2.请一些小组汇报教材上的推导方法，教师在学生回答的过程中给予适当的引导.
3.除了教材中的方法，还有没有其他方法？四人小组交流一下.
教师巡视发现，有个别学生拼出了三角形或梯形（如“二教”中的图），但还不会计算拼出的图的面积；有个别学生认为不需要拼，直接求出一个小扇形（近似的等腰三角形）的面积再乘分出的个数即可.
教师及时肯定这些学生的想法，展示他们拼出的三角形和梯形，并提出问题：拼出的三角形或梯形的面积跟圆的面积有什么关系？能不能求出三角形（或梯形）的面积，然后求出圆的面积？
4.同位合作，尝试求拼出的三角形或梯形的面积；如果直接求出一个小扇形（近似的等腰三角形）的面积再乘分出的个数又该怎么算？
5.提问交流计算过程，教师做适当的引导.
6.利用多媒体课件的演示，展示把圆平均分成32份、64份、128份甚至更多份的情况，让学生直观地看到图形的变化趋势，体会极限思想.
效果情况反馈：
这样教学的效果非常好，在之后的应用练习中，全班学生基本都不会把周长和面积混淆，“磨刀不误砍柴工”，虽然这里多用了一节课，但学生真正理解了圆的面积，运用公式更顺畅，节省的就不是一节课了.到后面学习环形、外圆内方和外方内圆时，前面两节课所渗透的思想方法、所积累的活动经验起到了作用，明显感觉学生能积极参与探究过程，并知道如何去研究.而且中等以上的学生都能正确解答以下与圆的面积公式推导有关的题目：
题1：图1中圆的周长是12.56厘米，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积.
题2：在图2中，已知长方形的面积与圆的面积相等，一只蚂蚁沿着阴影部分的边沿，从A点出发，按A→B→C→D的顺序，最后回到A点.如果这只蚂蚁每分钟爬20 cm，一共要用多少分钟？
分析反思三次教学圆的面积公式推导，我有以下收获.
1.对“教什么”的思考非常重要.
“一教”“二教”只关注知识与技能层面的目标，目标是让学生会做题，但由于没有真正理解知识的本质，所以往往事与愿违；“三教”更关注了数学思考、问题解决层面的目标，更符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理念，更能发挥数学的育人功能，更有利于培养学生的数学素质，做题能力自然得到提升.
2.“怎么教”的效果取决于“教什么”的正确定位.
“一教”和“二教”教学方式完全是不同的，但由于“教什么”没改变，所以即使把学生当成了学习主体，教学效果也还是不理想.“二教”和“三教”形式上是一样的，都是提供机会让学生动手操作，自主探究学习，但由于“教什么”的定位不同，教学过程的侧重点也有所不同，因此，收到不同的效果.具体体现在：
（1）转化思想需要有意渗透.“二教”和“三教”的整个过程都渗透了转化思想，但“三教”的渗透是教师的有意行为，因此，效果更明显.
（2）推理能力需要搭建阶梯.“二教”的推理能力训练完全靠学生自己的原有水平，因此，能真正接受多种推导方法的只有个别学优生；而“三教”，由于教师有意识要让学生积累数学活动的经验，要训练学生的推理能力，因此，专门安排了一节准备课，为学生的推理搭起了阶梯，使学生的推理成为可能.堂上还充分利用学生学习过程生成的资源，给学生再次提供推理能力训练的机会，起到巩固和拓展教材上方法的作用，对已掌握教材上方法的学生是一次运用推理方法的过程，对还不掌握教材上方法的学生则再次提供学习素材让其学习，因此，能使更多的学生受益.
（3）极限思想需要形象演示.极限思想对于小学生来说比较抽象.“二教”是利用學生资源来让学生感受，素材来自于学生，使学生感到亲切，效果也不错，但对于极限思想的理解还不够形象，因此，“三教”专门利用多媒体课件的演示，更形象，效果更好.
（4）动手操作的目标是积累活动经验.“二教”中，教师把动手操作的目标指向拼出三个图，教师的提问是：“还有别的拼法吗？”而“三教”中，教师把动手操作作为活动的基础，活动的目标指向推导圆的面积计算公式，体验操作活动的价值，有效地积累活动经验，教师的提问是：“还有没有其他方法？”两个不同的提问，给了学生不同的思考方向，效果自然就不同.
数学新课程实施应以学生数学素质的养成为核心目标，课堂教学中学生数学活动经验的获得是学生数学素质养成的必要条件.而数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.因此，作为小学数学教师，一定要研究教材，把“教什么”弄清楚，明确每个章节内容所肩负的责任，用好数学素材组织学生开展数学活动，提供机会让学生获得活动经验，从而提高数学素养.
【关键词】小学数学；圆的面积
圆的面积计算是小学六年级上学期的教学内容，这是学生学习的第一种曲线图形的面积计算，教学内容包括对圆面积概念的理解、公式的推导、运用公式求圆的面积、环形的面积等.这部分内容的学习相当重要，是渗透把曲线图形转化成直线图形来研究的方法的好题材，也是渗透极限思想的好题材.
一教圆的面积公式推导——借助多媒体课件
教学目标：认识圆面积的概念，推导圆面积公式，运用公式计算圆面积.圆面积公式的推导是一节课的一部分内容.過程简介如下：
1.学生自学教材.
2.课件演示：把一个圆平均分成16份，用红色表示其中的8份，用蓝色表示另外的8份，然后把两个8份移动拼成一个近似的长方形.课件形象生动，在适当时候还有声音提示引起注意.
3.教师引导学生观察拼出来的长方形的长、宽分别是多少，边引导回答边完成下面板书：
由于课前的预习，加上教师的暗示引导，学生（特别是学优生）一般都能按教师的意愿讲出以上的推导过程.圆面积公式的推导就大功告成了.
效果情况反馈：
在运用圆的面积公式解决问题的过程中，发现不少学生记不住公式或与圆的周长公式混淆.而且大部分学生面对以下填空题一脸茫然，能够填对的只有那么几名学优生.
如果把圆分成（）等份，可以拼成一个近似平行四边形.拼成的这个平行四边形的（）相当于圆（）的一半，这一半用字母表示是（），它的（）就是圆的（），所以圆的面积公式是（）.
二教圆的面积公式推导——以学生为主体，动手操作
教学目标：认识圆面积的概念，推导圆面积公式，运用公式计算圆面积.圆面积公式的推导是一节课的一部分内容.过程简介如下：
1.布置课前预习.课前引导学生看教材的推导过程，然后布置学生回家按教材要求完成推导过程，具体的预习要求如下：
（1）画两个一样大小的圆，剪下来（也可以用附页中的圆）.
（2）把其中一个圆平均分成若干份（说明分的份数越多越好，最好是偶数份）.
（3）按顺序把各份编号.
（4）把这些近似的等腰三角形拼成一个近似的长方形（也可以拼成其他学过的图形）.
2.课堂上推导公式的过程：
（1）同位合作，按书上的方法把圆转化为平行四边形，教师巡视完成情况.大部分学生都能顺利拼出这样的图：
（2）让学生以小组为单位，看有什么发现，如果要求这个近似平行四边形的面积，该怎么求？
（3）由学生自由汇报各小组的研究成果（在学生汇报前选一个拼得好的图贴在黑板上），教师根据汇报整理板书（具体跟“一教”中的板书相同）.经过几名学生的发言，把书上的推导过程讲清楚.
（4）看着板书，再让学生把思维过程理顺，并引导学生总结学习方法，使学生知道可以把曲线图形转化为直线图形来研究.
（5）教师巡视时发现，有些学生把圆分成了8等份、32等份……，于是让不同分法的学生都展示自己拼的平行四边形，结果发现，分的份数越多，每一份就会越细，拼出来的图形就会越接近于长方形.这样用课堂生成的具体实例来渗透抽象的极限思想.
（6）演示课件，加深认识.
（7）推导方法拓展.教师提问：除了上面的拼法，还有别的拼法吗？
教师巡视发现，有个别学生拼出了三角形或梯形.教师再提出问题：假如这样拼，能推导出圆的面积公式吗？学生再度进入了探究学习中.
下面是学生拼出的两个图和推导过程.
有一名学生还推导出用直径来计算的圆面积公式：S=114πd2.
（8）出示以下填空题，大部分学生能填对.
如果把圆分成（）等份，可以拼成一个近似平行四边形.拼成的这个平行四边形的（）相当于圆（）的一半，这一半用字母表示是（），它的（）就是圆的（），所以圆的面积公式是（）.
（9）总结.告诉学生，今天所用数学思想方法是把未知的问题转化成已知问题来研究（即把曲线图形转化为直线图形来研究），把学生的空间观念引入一个新的领域.
效果情况反馈：
由于这节课让学生合作探究的时间比较长，因此，没完成计划内容——用公式计算圆的面积，但学生对圆面积公式的理解还是比较深入的.后续的应用练习中，学生把面积与周长混淆的现象不多.但是，当堂的教学内容没有完成，而能接受推导公式拓展部分的又只是少数学生.
三教圆的面积公式推导——关注数学思考方法
教学目标：探索并掌握圆的面积计算公式；体会和掌握转化、推理、极限等数学思想方法；获得数学活动的经验.计划用两节课来达成目标.
第一节课：圆面积公式推导的准备课.
完成几个任务：
1.引导学生回顾以前研究多边形面积的方法.
2.引导学生思考圆的面积如何用转化的方法来研究.
3.引导看明白教材的剪拼方法.
4.出示教师预先分好的圆，引导认识分出来的小扇形（近似的等腰三角形）.
5.布置预习任务：
（1）画两个一样大小的圆，剪下来（也可以用附页中的圆）.
（2）把其中一个圆平均分成若干份（说明分的份数越多越好，最好是偶数份）.
（3）按顺序把各份编号.
（4）看懂书中的推导公式方法，并自己尝试完成推导过程. （5）除了书中的方法，还有没有其他方法？
第二节课：圆面积公式推导课.
1.四人小组交流课外拼成的近似长方形，说说怎样根据拼出的图形算出圆的面积，教师巡视，了解学生完成情况.
2.请一些小组汇报教材上的推导方法，教师在学生回答的过程中给予适当的引导.
3.除了教材中的方法，还有没有其他方法？四人小组交流一下.
教师巡视发现，有个别学生拼出了三角形或梯形（如“二教”中的图），但还不会计算拼出的图的面积；有个别学生认为不需要拼，直接求出一个小扇形（近似的等腰三角形）的面积再乘分出的个数即可.
教师及时肯定这些学生的想法，展示他们拼出的三角形和梯形，并提出问题：拼出的三角形或梯形的面积跟圆的面积有什么关系？能不能求出三角形（或梯形）的面积，然后求出圆的面积？
4.同位合作，尝试求拼出的三角形或梯形的面积；如果直接求出一个小扇形（近似的等腰三角形）的面积再乘分出的个数又该怎么算？
5.提问交流计算过程，教师做适当的引导.
6.利用多媒体课件的演示，展示把圆平均分成32份、64份、128份甚至更多份的情况，让学生直观地看到图形的变化趋势，体会极限思想.
效果情况反馈：
这样教学的效果非常好，在之后的应用练习中，全班学生基本都不会把周长和面积混淆，“磨刀不误砍柴工”，虽然这里多用了一节课，但学生真正理解了圆的面积，运用公式更顺畅，节省的就不是一节课了.到后面学习环形、外圆内方和外方内圆时，前面两节课所渗透的思想方法、所积累的活动经验起到了作用，明显感觉学生能积极参与探究过程，并知道如何去研究.而且中等以上的学生都能正确解答以下与圆的面积公式推导有关的题目：
题1：图1中圆的周长是12.56厘米，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积.
题2：在图2中，已知长方形的面积与圆的面积相等，一只蚂蚁沿着阴影部分的边沿，从A点出发，按A→B→C→D的顺序，最后回到A点.如果这只蚂蚁每分钟爬20 cm，一共要用多少分钟？
分析反思三次教学圆的面积公式推导，我有以下收获.
1.对“教什么”的思考非常重要.
“一教”“二教”只关注知识与技能层面的目标，目标是让学生会做题，但由于没有真正理解知识的本质，所以往往事与愿违；“三教”更关注了数学思考、问题解决层面的目标，更符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的理念，更能发挥数学的育人功能，更有利于培养学生的数学素质，做题能力自然得到提升.
2.“怎么教”的效果取决于“教什么”的正确定位.
“一教”和“二教”教学方式完全是不同的，但由于“教什么”没改变，所以即使把学生当成了学习主体，教学效果也还是不理想.“二教”和“三教”形式上是一样的，都是提供机会让学生动手操作，自主探究学习，但由于“教什么”的定位不同，教学过程的侧重点也有所不同，因此，收到不同的效果.具体体现在：
（1）转化思想需要有意渗透.“二教”和“三教”的整个过程都渗透了转化思想，但“三教”的渗透是教师的有意行为，因此，效果更明显.
（2）推理能力需要搭建阶梯.“二教”的推理能力训练完全靠学生自己的原有水平，因此，能真正接受多种推导方法的只有个别学优生；而“三教”，由于教师有意识要让学生积累数学活动的经验，要训练学生的推理能力，因此，专门安排了一节准备课，为学生的推理搭起了阶梯，使学生的推理成为可能.堂上还充分利用学生学习过程生成的资源，给学生再次提供推理能力训练的机会，起到巩固和拓展教材上方法的作用，对已掌握教材上方法的学生是一次运用推理方法的过程，对还不掌握教材上方法的学生则再次提供学习素材让其学习，因此，能使更多的学生受益.
（3）极限思想需要形象演示.极限思想对于小学生来说比较抽象.“二教”是利用學生资源来让学生感受，素材来自于学生，使学生感到亲切，效果也不错，但对于极限思想的理解还不够形象，因此，“三教”专门利用多媒体课件的演示，更形象，效果更好.
（4）动手操作的目标是积累活动经验.“二教”中，教师把动手操作的目标指向拼出三个图，教师的提问是：“还有别的拼法吗？”而“三教”中，教师把动手操作作为活动的基础，活动的目标指向推导圆的面积计算公式，体验操作活动的价值，有效地积累活动经验，教师的提问是：“还有没有其他方法？”两个不同的提问，给了学生不同的思考方向，效果自然就不同.
数学新课程实施应以学生数学素质的养成为核心目标，课堂教学中学生数学活动经验的获得是学生数学素质养成的必要条件.而数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.因此，作为小学数学教师，一定要研究教材，把“教什么”弄清楚，明确每个章节内容所肩负的责任，用好数学素材组织学生开展数学活动，提供机会让学生获得活动经验，从而提高数学素养.