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一位数学家曾讲过：有地位、有修养、有文化的人往往在大庭广众之中竭力掩饰他们对本国历史、地理知识的贫乏，同时又面无愧色地坦白：“我没有学好数学，现在我已经将数学忘光了。”如果不是数学教育的低效益相当普遍地存在的话，我们就不会经常看到这样的场面了[1]。提出“深度数学”的理念正是基于这样的事实，这里的“深”不是指教学内容的深奥或者“随意拔高”，而是要改变数学教学单薄、肤浅、低效、活力不够和思维能力培养“含金量”低的现状，让学生享受数学学习中探究的乐趣、创造的激情和思维的张力，接受数学文化的熏陶，让学生获得久违的数学学习的高峰体验。
一、让数学课堂成为培育学生思维的沃土
义务教育数学课程标准指出：使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。数学教育必须重视学生思维能力的培养，已经成为大家的共识。数学教学的失误往往在于使教学失去思维教育的意义。
【案例1】这是发生在上世纪60年代的一个真实故事[2]：
在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了‘集合’！”
父亲：“老师是怎么教的？”
女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复。”
父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”
迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：
“不行！除非它们都能站起来！”
当时“新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造。案例中教师在教学集合时让学生进行简单机械的移植 ，学生对集合的理解停留在“站起来”的表象，没有运用抽象的方法理解概念的本质而闹出了笑话。
培养学生的思维能力可以从这些方面入手：
（1）学会抽象。
【案例2】这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题[3]：
“王女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？”
教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。
对于更多的类似问题，如果学生始终需要通过实验来找出答案，那么这样的教学不能称之为真正的数学教学。看似在“做数学”，其实学生只是借助生活经验在“实验”，没有将生活问题转化为数学模型，更没有实现模型的模式化。教师在教学时一定要以“解决问题”为载体，在教学具体知识的同时，渗透数学的思想方法，实现知识教学与思维能力培养的和谐统一。如果学生只是一个操作“工具”，不以思维作脊梁的“做”是没有数学教育的意义的。
（2）学会思辨。
【案例3】红酒白酒问题[4]
相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?
通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，…，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，如果作这样的推理：因为两个杯子最终含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。
这里的前一种解法是算法的，而后一种解法就是思辨的。相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发冲破了传统数学的僵化外壳。当然，算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新与旧，高与低；概念数学体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念深度，同时也因为有了广阔的平台为基础，可以跳得更高。
（3）培养元认知。
根据美国心理学家弗拉维尔(J.H.Flavell)的观点，元认知就是对认知的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力：对思维和学习活动的知识和控制。“元认知包括三个方面的内容：元认知知识、元认知体验和元认知监控”。[5]元认知培养的的关键是要创造大量能激发学生高度自觉思维的情境，使之产生元认知体验，引发思维的自我监控和自我调节。同时加强反思，评价自己或他人解决问题的过程，从中揭示可以促进元认知的因素，触摸自己思维的脉搏。具体做法有四个方面：“向学生传授元认知知识，指导学生制订计划、确定目标，引导学生监控学习过程，帮助学生自我评估”。[6]
二、让数学课堂成为学生探究的乐园
随着课程改革的深入，自主探究的学习方式已经成为数学课堂中亮丽的风景，不少课堂以“数学活动”为支撑，但是不少所谓的探究活动不是真正意义上的探究，我谓之“伪探究”[7]，主要表现在探究源于假问题，探究缺乏自主性和差异性。真正的探究教学应该是源于真问题，学生自主探索，充满个性充满活力的。
【案例4】能被3整除数的特征。
在引导学生观察能被3整除数的个位后发现，个位上0-9都有，所以用看个位的方法判断一个数能否被3整除“此路不通”。
师：请同学们用小棒摆一摆3的倍数，看看有什么发现。
（学生分组活动后交流）
生：3用了3根，6用了6根，9用了9根，12用了3根，15用了6根……，摆这些数用的小棒的根数都是3的倍数，所以只要看摆这个数用几根小棒就知道它是不是3的倍数。
师：是不是所有3 的倍数都是这样呢？再试一试，看一位数、两位数、三位数、多位数是否都一样。
生：我们试了，确实都这样。
师：这确实是个好发现，那如果我们手边没有小棒，你还能在头脑里摆一摆吗？
生：其实根本不要摆，只要求出各位上数字的和，就知道需要小棒的根数了。
……
教师引导学生从实际的摆到抽象的摆，再到不要摆，实现了认识上质的飞跃。学生也在“摆”的过程中，探究出3 的倍数的特征，同时积累了数学活动经验，获得了探究的乐趣。
参考文献：
1. 郭思乐 喻纬，《数学思维教育论》，上海教育出版社，1997.2。
2. 郑毓信，《走进数学思维》，《小学教学》2008.5.
3.同2.
4.《弗赖登塔尔的数学教育思想》,优势网http://www.usors.cn/blog/bhuanglizheng/MyEssayDetail.asp?id=19413
5.同1.
6.王烈琴 李建魁，《自主学习的关键：元认知、元认知策略及其培养》，《包机文理学院学报》，2008.4第2期
7. 叶荣根，《例谈数学教学中的“伪探究”现象》，《教育前沿》2009年第3期。
一、让数学课堂成为培育学生思维的沃土
义务教育数学课程标准指出：使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。数学教育必须重视学生思维能力的培养，已经成为大家的共识。数学教学的失误往往在于使教学失去思维教育的意义。
【案例1】这是发生在上世纪60年代的一个真实故事[2]：
在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲：“我们今天学了‘集合’！”
父亲：“老师是怎么教的？”
女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复。”
父：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？”
迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答：
“不行！除非它们都能站起来！”
当时“新数运动”作为风靡全球的改革运动正处于高潮之中，其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造。案例中教师在教学集合时让学生进行简单机械的移植 ，学生对集合的理解停留在“站起来”的表象，没有运用抽象的方法理解概念的本质而闹出了笑话。
培养学生的思维能力可以从这些方面入手：
（1）学会抽象。
【案例2】这是关于“问题解决”的一个教学实例，教师要求一群三年级的学生求解以下的问题[3]：
“王女士外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？”
教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题：学生拿出了笔和纸，开始在纸上实际地画出各种可能的搭配……结果表明，在大多数情况下学生都可凭借自身的努力（单独地或合作地）得出正确的解答。
对于更多的类似问题，如果学生始终需要通过实验来找出答案，那么这样的教学不能称之为真正的数学教学。看似在“做数学”，其实学生只是借助生活经验在“实验”，没有将生活问题转化为数学模型，更没有实现模型的模式化。教师在教学时一定要以“解决问题”为载体，在教学具体知识的同时，渗透数学的思想方法，实现知识教学与思维能力培养的和谐统一。如果学生只是一个操作“工具”，不以思维作脊梁的“做”是没有数学教育的意义的。
（2）学会思辨。
【案例3】红酒白酒问题[4]
相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?
通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，…，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，如果作这样的推理：因为两个杯子最终含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。
这里的前一种解法是算法的，而后一种解法就是思辨的。相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发冲破了传统数学的僵化外壳。当然，算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新与旧，高与低；概念数学体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念深度，同时也因为有了广阔的平台为基础，可以跳得更高。
（3）培养元认知。
根据美国心理学家弗拉维尔(J.H.Flavell)的观点，元认知就是对认知的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力：对思维和学习活动的知识和控制。“元认知包括三个方面的内容：元认知知识、元认知体验和元认知监控”。[5]元认知培养的的关键是要创造大量能激发学生高度自觉思维的情境，使之产生元认知体验，引发思维的自我监控和自我调节。同时加强反思，评价自己或他人解决问题的过程，从中揭示可以促进元认知的因素，触摸自己思维的脉搏。具体做法有四个方面：“向学生传授元认知知识，指导学生制订计划、确定目标，引导学生监控学习过程，帮助学生自我评估”。[6]
二、让数学课堂成为学生探究的乐园
随着课程改革的深入，自主探究的学习方式已经成为数学课堂中亮丽的风景，不少课堂以“数学活动”为支撑，但是不少所谓的探究活动不是真正意义上的探究，我谓之“伪探究”[7]，主要表现在探究源于假问题，探究缺乏自主性和差异性。真正的探究教学应该是源于真问题，学生自主探索，充满个性充满活力的。
【案例4】能被3整除数的特征。
在引导学生观察能被3整除数的个位后发现，个位上0-9都有，所以用看个位的方法判断一个数能否被3整除“此路不通”。
师：请同学们用小棒摆一摆3的倍数，看看有什么发现。
（学生分组活动后交流）
生：3用了3根，6用了6根，9用了9根，12用了3根，15用了6根……，摆这些数用的小棒的根数都是3的倍数，所以只要看摆这个数用几根小棒就知道它是不是3的倍数。
师：是不是所有3 的倍数都是这样呢？再试一试，看一位数、两位数、三位数、多位数是否都一样。
生：我们试了，确实都这样。
师：这确实是个好发现，那如果我们手边没有小棒，你还能在头脑里摆一摆吗？
生：其实根本不要摆，只要求出各位上数字的和，就知道需要小棒的根数了。
……
教师引导学生从实际的摆到抽象的摆，再到不要摆，实现了认识上质的飞跃。学生也在“摆”的过程中，探究出3 的倍数的特征，同时积累了数学活动经验，获得了探究的乐趣。
参考文献：
1. 郭思乐 喻纬，《数学思维教育论》，上海教育出版社，1997.2。
2. 郑毓信，《走进数学思维》，《小学教学》2008.5.
3.同2.
4.《弗赖登塔尔的数学教育思想》,优势网http://www.usors.cn/blog/bhuanglizheng/MyEssayDetail.asp?id=19413
5.同1.
6.王烈琴 李建魁，《自主学习的关键：元认知、元认知策略及其培养》，《包机文理学院学报》，2008.4第2期
7. 叶荣根，《例谈数学教学中的“伪探究”现象》，《教育前沿》2009年第3期。