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大学知识点下放到高中是新课程中的一个特点，苏教版将这些知识点的下放有的放于章节学习中，有的放于课后“探究拓展”中，虽没有明确指出大学所讲的严格定义，但从感性的角度给学生一个认识，对这些知识点的了解，有时对学生的思维拓展起到很好的作用.
如苏教版必修1中就有这样两道思维拓展题：
1对于任意的x1,x2∈R，若函数f(x)=2x，试比较f(x1)+f(x2)2与fx1+x22的大小关系.
2对于任意的x1,x2∈(0,+∞)，若函数f(x)=lgx，试比较f(x1)+f(x2)2与fx1+x22的大小关系.
这两道题的比较应该是比较简单的，只需要将两式作差即可，如下证明第一题：
f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=2x1+2x22-2x1+x22-122x122+2x222-2•2x1+x22=122x12-2x222≥0，所以，对于函数f(x)=2x，f(x1)+f(x2)2≥fx1+x22.
同理我们可以知道对于函数f(x)=lgx，则有f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22.
我们的学生有可能做到这就结束了，没有去反思为什么出现这样的情况，其实这要从函数的凹凸性来说起.
什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y=x所表示的曲线是向上凸（即凹）的，而y=x2所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看，若y=f(x)的图形在区间I上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y=f(x)的图形在区间I上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.
设函数f(x)在区间I上是凸的（向下凸），任意x1，x2∈I（x1 曲线y=f(x)上任意两点A(x1,f(x1))，B(x1,f(x1))之间的图像位于弦AB的下方，即任意x∈(x1,x2)，f(x)的值小于或等于弦AB在x点的函数值，弦AB的方程y=f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1).
对任意x∈(x1,x2)有f(x)≤f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1)，整理得f(x)≤x2-xx2-x1f(x1)+x-x1x2-x1f(x2).
令t=x2-xx2-x1，则有0 定义 设函数(x)为定义在区间I上的函数，若对I上任意两数x1,x2和任意实数t∈(0,1)总有f［tx1+(1-t)x2］≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)为I上的凸函数.反之，如果总有f［tx1+(1-t)x2］≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)为I上的凹函数.
当令t=12时，就变成了我们前两个问题的答案，所以，我们可以知道函数f(x)=2x在R上定凸的，而函数f(x)=lgx是凹的.
其实高中所学的好多函数都具有这样的凹凸性，像我们所学的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数在一定的区间上都有凹凸性，其实利用这些性质可以解决我们所熟悉的一些问题.像我们所学的基本不等式就可以用函数的凹凸性来构造函数证明.
例1 证明21x1+1x2≤x1x2≤x1+x22，x1>0，x2>0，当且仅当x1=x2时等号成立.
证明 当x1=x2时等号显然成立.只需证x1≠x2时，不等号成立即可.
取f(x)=-lgx，则y=f(x)在(0,+∞)上是凸函数，
-lgx1+x22<-lgx1-lgx22=-lgx1x2.
因f(x)=-lgx单调减，故有x1x2 又将用1x代换x，得1x1•1x2<1x1+1x22，
即21x1+1x2 也可以运用y=x2的凹凸性来证明.当x>0，y>0时，x2+y22≥x+y2，当且仅当x=y时等号成立.这种证明方法能够培养学生的思维能力及构造函数的能力.
例2 已知a>0,b>0,a3+b3≤2,求证：a+b≤2.
解 在高中阶段我们对这个式子的证明通常用反证法.
假设a+b>2，那么b>2-a，代入a3+b3>a3+(2-a)3=2［a2-a(2-a)+(2-a)2］=2(3a2-6a+4)=2［3(a-1)2+1］≥2.
所以出现矛盾，所以a+b≤2.
但如果运用函数的凹凸性，很快可以得出结论：
函数f(x)=x3在(0,+∞)内严格凸.
(a+b)38=a+b23=fa+b2≤f(a)+f(b)2=a3+b32≤22=1，∴(a+b)3≤8，∴a+b≤2.
函数凹凸性的定义本身就是一个不等式，所以在比较一些较难的代数式的大小时可以考虑构造函数运用函数的凹凸性来比较.同时可以将凹凸性的定义用特殊值代换，变为中点的形式来解决相关问题.
如苏教版必修1中就有这样两道思维拓展题：
1对于任意的x1,x2∈R，若函数f(x)=2x，试比较f(x1)+f(x2)2与fx1+x22的大小关系.
2对于任意的x1,x2∈(0,+∞)，若函数f(x)=lgx，试比较f(x1)+f(x2)2与fx1+x22的大小关系.
这两道题的比较应该是比较简单的，只需要将两式作差即可，如下证明第一题：
f(x1)+f(x2)2-fx1+x22=2x1+2x22-2x1+x22-122x122+2x222-2•2x1+x22=122x12-2x222≥0，所以，对于函数f(x)=2x，f(x1)+f(x2)2≥fx1+x22.
同理我们可以知道对于函数f(x)=lgx，则有f(x1)+f(x2)2≤fx1+x22.
我们的学生有可能做到这就结束了，没有去反思为什么出现这样的情况，其实这要从函数的凹凸性来说起.
什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y=x所表示的曲线是向上凸（即凹）的，而y=x2所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看，若y=f(x)的图形在区间I上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y=f(x)的图形在区间I上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.
设函数f(x)在区间I上是凸的（向下凸），任意x1，x2∈I（x1
对任意x∈(x1,x2)有f(x)≤f(x2)-f(x1)x2-x1(x-x1)+f(x1)，整理得f(x)≤x2-xx2-x1f(x1)+x-x1x2-x1f(x2).
令t=x2-xx2-x1，则有0
当令t=12时，就变成了我们前两个问题的答案，所以，我们可以知道函数f(x)=2x在R上定凸的，而函数f(x)=lgx是凹的.
其实高中所学的好多函数都具有这样的凹凸性，像我们所学的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数在一定的区间上都有凹凸性，其实利用这些性质可以解决我们所熟悉的一些问题.像我们所学的基本不等式就可以用函数的凹凸性来构造函数证明.
例1 证明21x1+1x2≤x1x2≤x1+x22，x1>0，x2>0，当且仅当x1=x2时等号成立.
证明 当x1=x2时等号显然成立.只需证x1≠x2时，不等号成立即可.
取f(x)=-lgx，则y=f(x)在(0,+∞)上是凸函数，
-lgx1+x22<-lgx1-lgx22=-lgx1x2.
因f(x)=-lgx单调减，故有x1x2
即21x1+1x2
例2 已知a>0,b>0,a3+b3≤2,求证：a+b≤2.
解 在高中阶段我们对这个式子的证明通常用反证法.
假设a+b>2，那么b>2-a，代入a3+b3>a3+(2-a)3=2［a2-a(2-a)+(2-a)2］=2(3a2-6a+4)=2［3(a-1)2+1］≥2.
所以出现矛盾，所以a+b≤2.
但如果运用函数的凹凸性，很快可以得出结论：
函数f(x)=x3在(0,+∞)内严格凸.
(a+b)38=a+b23=fa+b2≤f(a)+f(b)2=a3+b32≤22=1，∴(a+b)3≤8，∴a+b≤2.
函数凹凸性的定义本身就是一个不等式，所以在比较一些较难的代数式的大小时可以考虑构造函数运用函数的凹凸性来比较.同时可以将凹凸性的定义用特殊值代换，变为中点的形式来解决相关问题.