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变式教学是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验．通俗的理解，变式教学就是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面，使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，使学生在习题的变换中，寻求以不变应万变的解题方法，从而达到举一反三的功效.
下面结合具体的案例设计，谈谈如何进行变式教学设计. 例题 人教版七年级上册第７３页数学活动１（１），如图１所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有２，３或４个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有ｎ个三角形，需要多少根火柴棍？
解析 每次增加的基本图形如图２所示，即每增加一个三角形，就增加两根火柴，如果把第一个三角形看作是（１＋２）根，那么含有２个三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ５（根），含有３个三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ７（根），含有４个三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ９（根），含有ｎ个三角形需要火柴1 + = （１ ＋ ２ｎ）根．
点评 这类问题的基本规律是，火柴总棒数 ＝ 基本图形棒数 × ｎ ＋ （原图形棒数 － 基本图形棒数）．
变式１ 改变图形，规律不变
例１ 如图3是一组有规律的图案，第１个 图案由４个基础图形组成，第２个图案由７个基础图形组成……第ｎ（ｎ是正整数）个图案中由 个基础图形组成．
解析 每次增加的图形如图4所示，所以第ｎ（ｎ是正整数）个图案中由３ｎ ＋ （４ － ３） ＝ （３ｎ ＋ １）个基础图形组成的．
例２ 如图5，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第ｎ个图形需要围棋子的枚数是 ．
解析 第１个图形有５枚棋子，每次增加的图形如图6所示，它含有３枚棋子，所以第ｎ（ｎ是正整数）个图形需要３ｎ ＋ （５ － ３） ＝ （３ｎ ＋ ２）枚棋子．
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力. 以上2题与课本题相比，只是改变了图形，但其规律没有变．特别是例１与课本题相比，更是如出一辙.目的２，是运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续的热情．课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识. 通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情.
变式２ 图形不变，改变所求结论
例3 如图7，这是由边长为１的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第ｎ个图形的周长是 .
解析 第一个三角形的周长是３，之后的每一个图形都比前一个图形的周长增加１，所以第ｎ个图形的周长是ｎ ＋ （３ － １） ＝ ｎ ＋ ２．
例4 （人教七上课本Ｐ６１页第１０题）观察下图并填表：
解析 根据图形及表格中的已知数据可知，第一个图形的周长是５ａ，之后每增加一个图形，其周长增加３ａ，所以第５个图形的周长为１７ａ，第６个图形的周长为２０ａ…… 第ｎ个图形的周长是３ｎａ ＋ （５ａ － ３ａ） ＝ ３ｎａ ＋ ２ａ ＝ （３ｎ ＋ ２）ａ．
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力. 例4与课本原题相比，图形不变，而把求火柴棍数目变为求图形的周长，其规律与课本原题类似，即第ｎ个图形的周长 ＝ 每次增加的周长 × ｎ ＋（原图形周长 － 每次增加的周长）. 但要提醒学生注意，图形内部的边不能当作图形的边长来计算周长. 目的２，是运用变式教学，培养学生思维的广阔性．思维的广阔性是发散思维的又一特征．思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云．反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法．现在课本中，有一部分例题的“想一想”是把例题进行变式训练的，我们可以利用它们切实培养学生思维的广阔性.
变式３ 图形变复杂，但规律类似
例5 如图９，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第ｎ个图形需要围棋子的枚数是 （ ）.
Ａ． ５ｎ Ｂ． ５ｎ － １ Ｃ． ６ｎ － １ Ｄ． ２ｎ２ ＋ １
解析 通过观察知，第１个图案有５枚棋子；第２个图案有１１枚棋子，即增加了６枚；第３个图案有１７枚棋子，即又增加了６枚；所以第ｎ个图案有６ｎ ＋ （５ － ６） ＝ （６ｎ － １）枚棋子． 答案选Ｃ.
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力．上题改变了图形，看似较复杂，但仔细分析，其规律与课本题是类似的，即第ｎ个图形需用的棋子数 ＝ 每次增加的棋子数 × ｎ ＋ （原图形棋子数 － 每次增加的棋子数）．目的２，是运用变式教学，培养学生思维的深刻性. 注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性. 教师通过不断变换命题的条件，引申拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生产生浓厚的兴趣，培养了思维的深刻性.
变式４ 图形更复杂，需创新应用
例6 如图１０所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于０的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
解析 第１个图形是三角形，它只有三个顶点上有黑色棋子，棋子的个数共３个；第２个图形是四边形，不仅四个顶点处有黑色棋子，边上还有（每边上各增加１个），棋子的个数是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４；第３个图形是五边形，不仅五个顶点处有黑色棋子，边上还有（每边上各增加２个），黑色棋子的个数是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５.
即规律如下：
第１个图形黑色棋子的个数是３ ＝ １ × ３，
第２个图形黑色棋子的个数是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４，
第３个图形黑色棋子的个数是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５，
……
∴第ｎ个图形黑色棋子的个数是ｎ（ｎ ＋ ２）.
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力. 本题图形更加复杂些，其解题方法及规律与课本题类似，但又不尽相同，需要在原有方法、规律的基础上进行进一步地探索、创新．目的２，是运用变式教学，培养思维的创造性. 著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个. ”数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，可使我们发现问题的本质. 因此，我们可以运用变式教学，让学生克服思维的心理定式，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间．
此案例，本人在班上实际教学时效果很好，学生学习兴趣很高，积极参与，课堂很活跃．开展变式教学，有利于学生对数学知识与方法的化归，达到以不变应万变的目的. 同时，也有利于学生对实际问题的动态处理，克服思维和心理定式，实现创新目标. 总而言之，运用变式教学可以达到举一反三的功效，从而提高教学效率．
下面结合具体的案例设计，谈谈如何进行变式教学设计. 例题 人教版七年级上册第７３页数学活动１（１），如图１所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有２，３或４个三角形，分别需要多少根火柴棍？如果图形中含有ｎ个三角形，需要多少根火柴棍？
解析 每次增加的基本图形如图２所示，即每增加一个三角形，就增加两根火柴，如果把第一个三角形看作是（１＋２）根，那么含有２个三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ５（根），含有３个三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ７（根），含有４个三角形需要火柴１ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＋ ２ ＝ ９（根），含有ｎ个三角形需要火柴1 + = （１ ＋ ２ｎ）根．
点评 这类问题的基本规律是，火柴总棒数 ＝ 基本图形棒数 × ｎ ＋ （原图形棒数 － 基本图形棒数）．
变式１ 改变图形，规律不变
例１ 如图3是一组有规律的图案，第１个 图案由４个基础图形组成，第２个图案由７个基础图形组成……第ｎ（ｎ是正整数）个图案中由 个基础图形组成．
解析 每次增加的图形如图4所示，所以第ｎ（ｎ是正整数）个图案中由３ｎ ＋ （４ － ３） ＝ （３ｎ ＋ １）个基础图形组成的．
例２ 如图5，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第ｎ个图形需要围棋子的枚数是 ．
解析 第１个图形有５枚棋子，每次增加的图形如图6所示，它含有３枚棋子，所以第ｎ（ｎ是正整数）个图形需要３ｎ ＋ （５ － ３） ＝ （３ｎ ＋ ２）枚棋子．
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力. 以上2题与课本题相比，只是改变了图形，但其规律没有变．特别是例１与课本题相比，更是如出一辙.目的２，是运用变式教学，确保学生参与教学活动的持续的热情．课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有参与意识. 通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能够唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情.
变式２ 图形不变，改变所求结论
例3 如图7，这是由边长为１的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第ｎ个图形的周长是 .
解析 第一个三角形的周长是３，之后的每一个图形都比前一个图形的周长增加１，所以第ｎ个图形的周长是ｎ ＋ （３ － １） ＝ ｎ ＋ ２．
例4 （人教七上课本Ｐ６１页第１０题）观察下图并填表：
解析 根据图形及表格中的已知数据可知，第一个图形的周长是５ａ，之后每增加一个图形，其周长增加３ａ，所以第５个图形的周长为１７ａ，第６个图形的周长为２０ａ…… 第ｎ个图形的周长是３ｎａ ＋ （５ａ － ３ａ） ＝ ３ｎａ ＋ ２ａ ＝ （３ｎ ＋ ２）ａ．
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力. 例4与课本原题相比，图形不变，而把求火柴棍数目变为求图形的周长，其规律与课本原题类似，即第ｎ个图形的周长 ＝ 每次增加的周长 × ｎ ＋（原图形周长 － 每次增加的周长）. 但要提醒学生注意，图形内部的边不能当作图形的边长来计算周长. 目的２，是运用变式教学，培养学生思维的广阔性．思维的广阔性是发散思维的又一特征．思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云．反复进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法．现在课本中，有一部分例题的“想一想”是把例题进行变式训练的，我们可以利用它们切实培养学生思维的广阔性.
变式３ 图形变复杂，但规律类似
例5 如图９，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第ｎ个图形需要围棋子的枚数是 （ ）.
Ａ． ５ｎ Ｂ． ５ｎ － １ Ｃ． ６ｎ － １ Ｄ． ２ｎ２ ＋ １
解析 通过观察知，第１个图案有５枚棋子；第２个图案有１１枚棋子，即增加了６枚；第３个图案有１７枚棋子，即又增加了６枚；所以第ｎ个图案有６ｎ ＋ （５ － ６） ＝ （６ｎ － １）枚棋子． 答案选Ｃ.
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力．上题改变了图形，看似较复杂，但仔细分析，其规律与课本题是类似的，即第ｎ个图形需用的棋子数 ＝ 每次增加的棋子数 × ｎ ＋ （原图形棋子数 － 每次增加的棋子数）．目的２，是运用变式教学，培养学生思维的深刻性. 注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性. 教师通过不断变换命题的条件，引申拓广，产生一个个既类似又有区别的问题，使学生产生浓厚的兴趣，培养了思维的深刻性.
变式４ 图形更复杂，需创新应用
例6 如图１０所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于０的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ．
解析 第１个图形是三角形，它只有三个顶点上有黑色棋子，棋子的个数共３个；第２个图形是四边形，不仅四个顶点处有黑色棋子，边上还有（每边上各增加１个），棋子的个数是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４；第３个图形是五边形，不仅五个顶点处有黑色棋子，边上还有（每边上各增加２个），黑色棋子的个数是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５.
即规律如下：
第１个图形黑色棋子的个数是３ ＝ １ × ３，
第２个图形黑色棋子的个数是４ ＋ １ × ４ ＝ ２ × ４，
第３个图形黑色棋子的个数是５ ＋ ２ × ５ ＝ ３ × ５，
……
∴第ｎ个图形黑色棋子的个数是ｎ（ｎ ＋ ２）.
本题组设计说明：本题组的目的１，是运用变式教学培养学生的化归能力. 本题图形更加复杂些，其解题方法及规律与课本题类似，但又不尽相同，需要在原有方法、规律的基础上进行进一步地探索、创新．目的２，是运用变式教学，培养思维的创造性. 著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个. ”数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，可使我们发现问题的本质. 因此，我们可以运用变式教学，让学生克服思维的心理定式，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间．
此案例，本人在班上实际教学时效果很好，学生学习兴趣很高，积极参与，课堂很活跃．开展变式教学，有利于学生对数学知识与方法的化归，达到以不变应万变的目的. 同时，也有利于学生对实际问题的动态处理，克服思维和心理定式，实现创新目标. 总而言之，运用变式教学可以达到举一反三的功效，从而提高教学效率．