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摘 要：绝对值是中学数学的一个基础的重要概念，也是学生比较难学的一个知识点。在教学中，不仅要帮助学生在学习的过程中建立绝对值的概念，还要注意引导将数学方法运用到具体的情境中去探索和研究问题。
关键词：绝对值；教学；非负性
数学思想和方法是数学问题的本质反映，是数学教学中的终极目标。在数学的教学中，“授人以渔”是数学教师的追求，但是要能够从真正意义上去实现“授人以渔”这一目标谈何容易。正因为如此，有人说 “授人以渔” 不如“授人以鱼”来得直接和简单。如果过分关注“渔”的抽象性亦或是过度关注“鱼”的具体性都将导致教学走极端。笔者拟借“绝对值”教学实践探讨如何“授人以渔” 和“授人以鱼”。
一、绝对值的定义
在数学的教学中，数学名词的定义理解必然会融合在教和学的过程中，绝对值的定义也不会例外。在教材上，绝对值的定义用语言描述是这样的——“数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数绝对值”。用代数表示是这样的，“ a =a（a>0）；a =-a（a<0）； a =0（a=0）”。这虽然在形式上有所差别，但暗含着内在实质的同意和一致性。在教学时，应该始终坚持的理念是把该定义贯穿于教学的始终。
二、绝对值的意义
绝对值的定义和意义有什么区别呢？说简单点定义就是对某一现象的本质的高度概括，意义则是对其外在表现的解释和运用。绝对值有两个方面的意义，一是几何意义，一是代数意义。几何表现为形，代数表现为符号（其实符号在一定意义上也是形）。绝对值的几何意义即“在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值”。例如：|3|表示的是数轴上表示3的点与原点的原点（O点）的距离，这个距离是3，所以的绝对值是3； |-3 |表示的是数轴上表示-3的点与原点的原点（O点）的距离，这个距离是3，所以的绝对值是3。绝对值的代数意义即是对绝对值的本质的代数语言运算和解读。正数的绝对值是它本身， 0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。稍微总结一下就可以得出绝对值的结果始终是非负数，绝对值的结果是将带有符号的数通过一定的规则抽象为没有符号的数。
三、绝对值的性质
不管是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，即绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，特例性；③绝对值不等于0的数有两个，这两个数互为相反数，即对偶性；④互为相反数的两个数的绝对值相等，同质性。绝对值的性质是在绝对值的运算中总结出来的一些性质，同时这些性质有可以指导人们怎样去运算绝对值。
四、绝对值有关争议
如果把向南走2公里记为+2，把向北走2公里记为-2。如果按照通常的思维，正数前面的正号可以省掉的思路理解，|-2 |=2，结果就成了向南走了2公里？这显然这里是有问题的。问题在于无论是正数还是负数都是相对数，不是绝对数，所以相对数求绝对值后得到的应是无符号的绝对数，而不是一般意义上的正数。所以，无符号的数不仅有一个“0”，应该还有其他的无符号数即非零有理数的绝对值！例如，|-2 | =|2| =2，这里2不是正数，而是像0一样的无符号数即绝对数！举个例子来说吧，如果把3个女性记为-3，把四个男性记为+4，问：一共有几个人？计算方法是怎样的呢，是3+4还是|-3 |+|+4 |呢？3+4的話就是在计算中去掉了这个男女因素，显然数字前面的符号似乎失去了意义，|-3 |+|+4 |=7就是用绝对数相加。如果问男女差是多少，方法就是相对数相加，是+1。
五、绝对值的应用举例
绝对值应用其实主要是从绝对值在数学和生活中的价值实现，主要是融入了诸多数学的思想。下面举一些例子来探讨：一是特例性，例如：一个数的绝对值既是他的本身又是他的相反数，这个数是（ ）。对这个问题，主要是从绝对值的特例性和0的特殊性来探讨绝对值的。二是非负性。例如：若 |2（x-1）-3|+|2（y-4）|=0，则x=___，y=____。通过分析，必然存在|2（x-1）-3|=0，|2（y-4）|=0，进而得到结果X=5/2 ，且Y=4 。三是可还原性。例如：|5+x|=8，x等于几呢？如果把这个题给一年级的学生做，估计有不分学生可以不到一秒钟就会得出答案x=3，因为他们已经不考虑是否存在绝对值符号。对于已经学习了绝对值的人来说，就会考虑到结果的唯一性和过程的多样性问题。绝对值等于8即绝对数是8的数其实有两个，一个是8，另一个是-8。若5+x=8，则x=3，若5+x= -8，则x= -13。其实在这里有融入了一个分类讨论的数学思想的运用。
六、绝对值教学中应该注意的问题
一是要强化数形结合数学思想方法的运用。从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离（绝对数），离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大；二是强化绝对值的非负性质的运用。任何有理数的绝对值都是非负数。因此，对于有理数a一定有|a|≥0。例如，已知|x-2|+|y-3|+|z-4|=0，欲求x、y、z的值。通过绝对值非负性的考察不难看出|x-2|=0，|y-3|=0，|z-4|=0，则x=2，y=3，z=4；三是强化分类讨论思想方法的运用。因为绝对值的结果具有非负性，而非零有理数却有正负之分，所以在知道绝对值的结果为非零结果时，必须考虑到在绝对值未被抽象绝对化时的两种情况即或正或负，这本来不复杂，但是要求出现具体情况时及时联想到位。
六、结语
絕对值是中学数学的一个基础的重要概念，也是学生比较难学的一个知识点。在教学中，不仅要帮助学生在学习的过程中建立绝对值的概念，还要注意引导将数学方法运用到具体的情境中去探索和研究问题。只有将数学思想方法融入到具体的教学实践中去，数学的教学才会变得真正有意义，才会将“授人以渔” 不如“授人以鱼”结合起来。
关键词：绝对值；教学；非负性
数学思想和方法是数学问题的本质反映，是数学教学中的终极目标。在数学的教学中，“授人以渔”是数学教师的追求，但是要能够从真正意义上去实现“授人以渔”这一目标谈何容易。正因为如此，有人说 “授人以渔” 不如“授人以鱼”来得直接和简单。如果过分关注“渔”的抽象性亦或是过度关注“鱼”的具体性都将导致教学走极端。笔者拟借“绝对值”教学实践探讨如何“授人以渔” 和“授人以鱼”。
一、绝对值的定义
在数学的教学中，数学名词的定义理解必然会融合在教和学的过程中，绝对值的定义也不会例外。在教材上，绝对值的定义用语言描述是这样的——“数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数绝对值”。用代数表示是这样的，“ a =a（a>0）；a =-a（a<0）； a =0（a=0）”。这虽然在形式上有所差别，但暗含着内在实质的同意和一致性。在教学时，应该始终坚持的理念是把该定义贯穿于教学的始终。
二、绝对值的意义
绝对值的定义和意义有什么区别呢？说简单点定义就是对某一现象的本质的高度概括，意义则是对其外在表现的解释和运用。绝对值有两个方面的意义，一是几何意义，一是代数意义。几何表现为形，代数表现为符号（其实符号在一定意义上也是形）。绝对值的几何意义即“在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值”。例如：|3|表示的是数轴上表示3的点与原点的原点（O点）的距离，这个距离是3，所以的绝对值是3； |-3 |表示的是数轴上表示-3的点与原点的原点（O点）的距离，这个距离是3，所以的绝对值是3。绝对值的代数意义即是对绝对值的本质的代数语言运算和解读。正数的绝对值是它本身， 0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。稍微总结一下就可以得出绝对值的结果始终是非负数，绝对值的结果是将带有符号的数通过一定的规则抽象为没有符号的数。
三、绝对值的性质
不管是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，即绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，特例性；③绝对值不等于0的数有两个，这两个数互为相反数，即对偶性；④互为相反数的两个数的绝对值相等，同质性。绝对值的性质是在绝对值的运算中总结出来的一些性质，同时这些性质有可以指导人们怎样去运算绝对值。
四、绝对值有关争议
如果把向南走2公里记为+2，把向北走2公里记为-2。如果按照通常的思维，正数前面的正号可以省掉的思路理解，|-2 |=2，结果就成了向南走了2公里？这显然这里是有问题的。问题在于无论是正数还是负数都是相对数，不是绝对数，所以相对数求绝对值后得到的应是无符号的绝对数，而不是一般意义上的正数。所以，无符号的数不仅有一个“0”，应该还有其他的无符号数即非零有理数的绝对值！例如，|-2 | =|2| =2，这里2不是正数，而是像0一样的无符号数即绝对数！举个例子来说吧，如果把3个女性记为-3，把四个男性记为+4，问：一共有几个人？计算方法是怎样的呢，是3+4还是|-3 |+|+4 |呢？3+4的話就是在计算中去掉了这个男女因素，显然数字前面的符号似乎失去了意义，|-3 |+|+4 |=7就是用绝对数相加。如果问男女差是多少，方法就是相对数相加，是+1。
五、绝对值的应用举例
绝对值应用其实主要是从绝对值在数学和生活中的价值实现，主要是融入了诸多数学的思想。下面举一些例子来探讨：一是特例性，例如：一个数的绝对值既是他的本身又是他的相反数，这个数是（ ）。对这个问题，主要是从绝对值的特例性和0的特殊性来探讨绝对值的。二是非负性。例如：若 |2（x-1）-3|+|2（y-4）|=0，则x=___，y=____。通过分析，必然存在|2（x-1）-3|=0，|2（y-4）|=0，进而得到结果X=5/2 ，且Y=4 。三是可还原性。例如：|5+x|=8，x等于几呢？如果把这个题给一年级的学生做，估计有不分学生可以不到一秒钟就会得出答案x=3，因为他们已经不考虑是否存在绝对值符号。对于已经学习了绝对值的人来说，就会考虑到结果的唯一性和过程的多样性问题。绝对值等于8即绝对数是8的数其实有两个，一个是8，另一个是-8。若5+x=8，则x=3，若5+x= -8，则x= -13。其实在这里有融入了一个分类讨论的数学思想的运用。
六、绝对值教学中应该注意的问题
一是要强化数形结合数学思想方法的运用。从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离（绝对数），离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大；二是强化绝对值的非负性质的运用。任何有理数的绝对值都是非负数。因此，对于有理数a一定有|a|≥0。例如，已知|x-2|+|y-3|+|z-4|=0，欲求x、y、z的值。通过绝对值非负性的考察不难看出|x-2|=0，|y-3|=0，|z-4|=0，则x=2，y=3，z=4；三是强化分类讨论思想方法的运用。因为绝对值的结果具有非负性，而非零有理数却有正负之分，所以在知道绝对值的结果为非零结果时，必须考虑到在绝对值未被抽象绝对化时的两种情况即或正或负，这本来不复杂，但是要求出现具体情况时及时联想到位。
六、结语
絕对值是中学数学的一个基础的重要概念，也是学生比较难学的一个知识点。在教学中，不仅要帮助学生在学习的过程中建立绝对值的概念，还要注意引导将数学方法运用到具体的情境中去探索和研究问题。只有将数学思想方法融入到具体的教学实践中去，数学的教学才会变得真正有意义，才会将“授人以渔” 不如“授人以鱼”结合起来。