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摘要：本文主要通过举例论证的方式提出：数学悖论有利于培养学生思维的发散性、批判性和独创性，可以有效地培养和发展中小学生的数学创新能力。
关键词：数学悖论；数学教学；数学创新能力；创新思维
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）01-0136-01
传统的数学教学理论一般都认为，数学教学应该尽可能地避免出现差异或者谬误，尤其是要避免出现悖论，因此，在这种"正确的"教学理论指导下的教学实践就是"正确的"的"数学结论"（包括事实、命题、法则、规律、推理和证明等）的展示、表演与习得、操练与熟悉。但是，即使是算术的教学，在这种教学理论的指导下，大多数学生最多也只能获得一些"死"的概念符号和计算程序，而无法获得真正的数感。
正因为如此，笔者认为，数学发展史上的诸多悖论，如果能够结合学校数学课程，并加以合理的处理，它们就可以成为数学课堂教学中的"本原性"问题；与此同时，在数学课堂教学实践中也涌现出许许多多的"原发性"的数学（悖论），它们也是数学"本原性"问题，所有这些悖论，如果能够适当地加以运用和捕捉，都会起到意想不到的教育教学效果。
1 数学悖论有利于培养中小学生思维的发散性
数学悖论不是初等数学内容的简单叠加，它是对中小学生所掌握的知识从非逻辑的角度、不同方面进行非本质的变异，突出本质特征而形成的新的问题，这种问题及其设立的问题情境与解题者的认知结构之间存在着一定的距离，这就要求学生思维品质具有很强的变通性，能够随着问题而不断变化。要解决数学悖论中的问题，并不需要学生将命题的条件和结论进行多次分解与组合，也不需要对已掌握的定理与公式进行正向和逆向的转换运用，更不需要灵活处理图形中的几何元素和位置关系等信息，但需要学生运用非常规的思维方式从不同角度，不同侧面找出悖论的成因并寻求正确的解决方案，因此，整个探求问题解决的过程就是思维变通性的训练过程。记得有一次在数学第二课堂上，笔者曾举个这样一个例子。商店处理一批旧磁带，其中一种为30盒，每10元卖2盒。另一种也是30盒，每10元卖3盒。（20元可买5盒这两种磁带）。合计收入是250元。第二天为免去分磁带的麻烦，把各30盒这两种磁带混合在一起卖20元5盒，结果结账时只卖了240元，另外10元钱到哪儿去了？
学生初看这一悖论，觉得有趣，学习的兴致都很高，大家自由发言，允许学生自由讨论，答案自然是五花八门，很多答案甚至还不着边际，但我发现通过这简单的一道数学悖论题，同学们对数学真正开始思考了，对数学也不那么进行排斥了。
老师可通过以上的类似的悖论训练，使学生的创新素质得到提高和锻炼，有助于学生发散性思维的培养，对学生的创造性思维培养有很大帮助。
2 数学悖论有利于培养中小学生思维的批判性
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。思维的批判性来源于学生对思维活动各环节、各方面的调整、校正，即自我意识。这种自我意识的"调整"、"校正"又来自学生对问题本质的认识。只有深刻的认识、周密的思考，才能全面正确地做出判断。因此，思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的思维品质。而数学悖论因其特殊的思维方式和非常规的逻辑推理，对培养中小学生思维的批判性能起到很好的推动作用。为了更好地说明数学悖论对思维批判性的培养作用，现举一个简单教学案例：
A把自己的自行车作价100元卖给了B。在骑了几天之后，B觉得车子已旧，于是以80元又返卖给了A。A又把车作价90元卖给了C。问：这几次的交易中，甲赚了多少钱？
这道小小的趣题，总是引起各种争论。在教学实习中，同样引起了学生们激烈的争论。大多数人争取一下三种看法中的一种。
看法一：我们不知道自行车的原价，因此我们无法知道在第一次卖出后甲是否获利。不过，既然他用80元买回，又以90元卖出，那么显然赚了10元。
看法二：他把车卖了100元，又以80元买了回来。现在他仍有这辆车，而且还有他先前没有的20元（100-80=20），因此他赚了20元。因为我们不知道自行车的实在价格，无法从第二次卖出中得出什么结论，所以他就赚了那20元钱。
看法三：甲买回这辆车之后，获利20元。现在他用比买进价多10元的价钱把车卖出去，又得到10元。因此他共赚了30元。
哪一种答案是正确呢？
为了将问题搞清楚，我们设自行车的原价a元，在第一次交易中，甲把价值a元的自行车卖了100元，赚了100-a元；在第二次交易中，用80元买进，第二次交易中作价90元卖掉，这两次交易确定赚了10元，故整个交易过程一共赚了110-a元，具体赚了多少钱就要看自行车的原价是多少了。
我们再回头看看以上三个看法，会惊奇的发现以上三个看法都是对的。通过类似上面例子的训练，学生会慢慢意识到并不是给出的答案就是正确的，也不是说课本上的就完全没有问题，他们会有自己的思考和判断，他们不愿盲目接受现成的结论和方法，喜欢通过自己的独立思考来搞清楚问题的来龙去脉。这样，他们慢慢地就会更善于辨别数学结论的真伪性，也更富有批判精神。
3 数学悖论有利于培养中小学生思维的独创性
独创性是指独立思考创造出有社会（或个人） 价值的具有新颖成分的智力品质。其基本特征是"创造"， 这种特征发生的原因在于：主体对知识经验或思维材料高度概括后集中而系统地迁移，进行新颖的组合分析，找出新异的层次和交结点。概括性越高，知识系统性越强，伸缩性越大，迁移性越灵活，注意力越集中，则独创性就越突出。
在数学教学中，我们可通过简单却又新颖的悖论来激发学生的探究精神和求知欲，进而培养学生思维的独创性。如，证明两个不等的数相等。教师可先给出如下证明过程，接着让学生自己找出产生悖论的原因。
证明：已知a，b为不同的两个数，设c是它们的平均数，即a+b=2c，用（a-b）乘等式两边，有（a+b）（a-b）=2c（a-b）
展开，a2-b2=2ac-2bc
移项，a2-2ac=b2-2bc
两边加c2，a2-2ac+c2=b2-2bc+c2
配方，（a-c）2=（b-c）2
开方，a-c=b-c，故a=b
这个明显错误的结论，现在却证明这一结论了。那么证明的过程错在哪儿呢？你们还可以想出其他类似的方法证明"证明两个不等的数相等" 吗？在教学中，这种看似简单却很有教学意义的"悖论"，教师运用得当，并加以正确引导、交流和讨论，将对学生产生终身的益处或"长效"。
在教学中之所以能培养出学生的创新思维能力，是这阶段学生的心理和思维的发展所决定的，正像前苏联著名的教育家苏霍姆林斯基说的， "在人的灵魂深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是需要感到自己是研究者、探索者、发现者，而在少年儿童的精神世界，这种需要特别强烈。"
参考文献
[1] 韩雪涛， 数学悖论与三次数学危机[M].长沙：湖南科学技术出版社，2006年5月
[2] 韩雪涛. 从惊讶到思考-数学悖论奇景[M].长沙：湖南科学技术出版社，2007年5月
[3] 韩永旺.数学创新能力的培养[J/OL].教学天地，2008.
[4] 王秀芳； 郝素娥.论数学悖论的思维特色[J].太原师范学院学报（社会科学版），1993
关键词：数学悖论；数学教学；数学创新能力；创新思维
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）01-0136-01
传统的数学教学理论一般都认为，数学教学应该尽可能地避免出现差异或者谬误，尤其是要避免出现悖论，因此，在这种"正确的"教学理论指导下的教学实践就是"正确的"的"数学结论"（包括事实、命题、法则、规律、推理和证明等）的展示、表演与习得、操练与熟悉。但是，即使是算术的教学，在这种教学理论的指导下，大多数学生最多也只能获得一些"死"的概念符号和计算程序，而无法获得真正的数感。
正因为如此，笔者认为，数学发展史上的诸多悖论，如果能够结合学校数学课程，并加以合理的处理，它们就可以成为数学课堂教学中的"本原性"问题；与此同时，在数学课堂教学实践中也涌现出许许多多的"原发性"的数学（悖论），它们也是数学"本原性"问题，所有这些悖论，如果能够适当地加以运用和捕捉，都会起到意想不到的教育教学效果。
1 数学悖论有利于培养中小学生思维的发散性
数学悖论不是初等数学内容的简单叠加，它是对中小学生所掌握的知识从非逻辑的角度、不同方面进行非本质的变异，突出本质特征而形成的新的问题，这种问题及其设立的问题情境与解题者的认知结构之间存在着一定的距离，这就要求学生思维品质具有很强的变通性，能够随着问题而不断变化。要解决数学悖论中的问题，并不需要学生将命题的条件和结论进行多次分解与组合，也不需要对已掌握的定理与公式进行正向和逆向的转换运用，更不需要灵活处理图形中的几何元素和位置关系等信息，但需要学生运用非常规的思维方式从不同角度，不同侧面找出悖论的成因并寻求正确的解决方案，因此，整个探求问题解决的过程就是思维变通性的训练过程。记得有一次在数学第二课堂上，笔者曾举个这样一个例子。商店处理一批旧磁带，其中一种为30盒，每10元卖2盒。另一种也是30盒，每10元卖3盒。（20元可买5盒这两种磁带）。合计收入是250元。第二天为免去分磁带的麻烦，把各30盒这两种磁带混合在一起卖20元5盒，结果结账时只卖了240元，另外10元钱到哪儿去了？
学生初看这一悖论，觉得有趣，学习的兴致都很高，大家自由发言，允许学生自由讨论，答案自然是五花八门，很多答案甚至还不着边际，但我发现通过这简单的一道数学悖论题，同学们对数学真正开始思考了，对数学也不那么进行排斥了。
老师可通过以上的类似的悖论训练，使学生的创新素质得到提高和锻炼，有助于学生发散性思维的培养，对学生的创造性思维培养有很大帮助。
2 数学悖论有利于培养中小学生思维的批判性
数学思维的批判性是一种思维品质，它指学生在思维活动中善于估计思维材料、检查思维过程，不盲从、不轻信。思维的批判性来源于学生对思维活动各环节、各方面的调整、校正，即自我意识。这种自我意识的"调整"、"校正"又来自学生对问题本质的认识。只有深刻的认识、周密的思考，才能全面正确地做出判断。因此，思维的批判性是在深刻性基础上发展起来的思维品质。而数学悖论因其特殊的思维方式和非常规的逻辑推理，对培养中小学生思维的批判性能起到很好的推动作用。为了更好地说明数学悖论对思维批判性的培养作用，现举一个简单教学案例：
A把自己的自行车作价100元卖给了B。在骑了几天之后，B觉得车子已旧，于是以80元又返卖给了A。A又把车作价90元卖给了C。问：这几次的交易中，甲赚了多少钱？
这道小小的趣题，总是引起各种争论。在教学实习中，同样引起了学生们激烈的争论。大多数人争取一下三种看法中的一种。
看法一：我们不知道自行车的原价，因此我们无法知道在第一次卖出后甲是否获利。不过，既然他用80元买回，又以90元卖出，那么显然赚了10元。
看法二：他把车卖了100元，又以80元买了回来。现在他仍有这辆车，而且还有他先前没有的20元（100-80=20），因此他赚了20元。因为我们不知道自行车的实在价格，无法从第二次卖出中得出什么结论，所以他就赚了那20元钱。
看法三：甲买回这辆车之后，获利20元。现在他用比买进价多10元的价钱把车卖出去，又得到10元。因此他共赚了30元。
哪一种答案是正确呢？
为了将问题搞清楚，我们设自行车的原价a元，在第一次交易中，甲把价值a元的自行车卖了100元，赚了100-a元；在第二次交易中，用80元买进，第二次交易中作价90元卖掉，这两次交易确定赚了10元，故整个交易过程一共赚了110-a元，具体赚了多少钱就要看自行车的原价是多少了。
我们再回头看看以上三个看法，会惊奇的发现以上三个看法都是对的。通过类似上面例子的训练，学生会慢慢意识到并不是给出的答案就是正确的，也不是说课本上的就完全没有问题，他们会有自己的思考和判断，他们不愿盲目接受现成的结论和方法，喜欢通过自己的独立思考来搞清楚问题的来龙去脉。这样，他们慢慢地就会更善于辨别数学结论的真伪性，也更富有批判精神。
3 数学悖论有利于培养中小学生思维的独创性
独创性是指独立思考创造出有社会（或个人） 价值的具有新颖成分的智力品质。其基本特征是"创造"， 这种特征发生的原因在于：主体对知识经验或思维材料高度概括后集中而系统地迁移，进行新颖的组合分析，找出新异的层次和交结点。概括性越高，知识系统性越强，伸缩性越大，迁移性越灵活，注意力越集中，则独创性就越突出。
在数学教学中，我们可通过简单却又新颖的悖论来激发学生的探究精神和求知欲，进而培养学生思维的独创性。如，证明两个不等的数相等。教师可先给出如下证明过程，接着让学生自己找出产生悖论的原因。
证明：已知a，b为不同的两个数，设c是它们的平均数，即a+b=2c，用（a-b）乘等式两边，有（a+b）（a-b）=2c（a-b）
展开，a2-b2=2ac-2bc
移项，a2-2ac=b2-2bc
两边加c2，a2-2ac+c2=b2-2bc+c2
配方，（a-c）2=（b-c）2
开方，a-c=b-c，故a=b
这个明显错误的结论，现在却证明这一结论了。那么证明的过程错在哪儿呢？你们还可以想出其他类似的方法证明"证明两个不等的数相等" 吗？在教学中，这种看似简单却很有教学意义的"悖论"，教师运用得当，并加以正确引导、交流和讨论，将对学生产生终身的益处或"长效"。
在教学中之所以能培养出学生的创新思维能力，是这阶段学生的心理和思维的发展所决定的，正像前苏联著名的教育家苏霍姆林斯基说的， "在人的灵魂深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是需要感到自己是研究者、探索者、发现者，而在少年儿童的精神世界，这种需要特别强烈。"
参考文献
[1] 韩雪涛， 数学悖论与三次数学危机[M].长沙：湖南科学技术出版社，2006年5月
[2] 韩雪涛. 从惊讶到思考-数学悖论奇景[M].长沙：湖南科学技术出版社，2007年5月
[3] 韩永旺.数学创新能力的培养[J/OL].教学天地，2008.
[4] 王秀芳； 郝素娥.论数学悖论的思维特色[J].太原师范学院学报（社会科学版），1993