论文部分内容阅读
摘要：分类思想作为探究并解决问题的一种常见的逻辑方法，同时也作为一种重要的数学思想，在高中数学解题过程中发挥了关键性的作用。分类可以看作是化整为零，再逐个击破的过程。在数学解题中，分类可以化复杂为简单，化难为易，在帮助学生解题时，进行分类的思维过程中他们归纳、总结的能力也同时得到了锻炼与提高。本文主要针对分类思想在高中数学解题过程中的具体应用进行分析、探讨，希望能为高中生提供一些有价值的参考。
关键词：高中数学；解题；分类思想
一、 数学解题中分类思想的重要性
有些数学问题，其答案并不是确定而唯一的，当我们进行到某一个步骤时，
往往发现问题中其实含有几种情况，此时并不能将几种情况一概而论，而要捕捉到影响条件分支的重要因素，在一定的范围里，根据题目的要求，将情况分类成不同条件再进行讨论，如此才能真正探究出问题的解决思路。
在面对数学题时，要保持清醒的分类意识，仔细阅读题目，明确此时的情况是否需要分类，在确定分类后，要找出题干中的关键信息，根据给出的条件进行正确的分类，坚守一个标准原则，不重复统计某一种情况，也不漏掉任何一种情况，分好类后，要顺着这个类别的树干往下延展出枝叶来，顺着思路分类讨论以后要对所有的情况进行整理，归纳总结出最后的结果。
数学解题中，分类思想在不同类型的问题中都有其重要的应用，例如函数、概率、数列、解析几何等问题中往往都需要用到分类思想。高中生熟练运用分类思想后，不仅可以在解数学题时游刃有余，对于自己思考问题的逻辑性，理清思路的条理性和整合答案的概括性都有非常大的帮助。
二、 分类思想在数学解题中的实际应用
（一） 合理分类，逐层讨论
在数学解题中，运用分类思想时，一定要严格按照题目已知的数据，给出的条件明确讨论的参数，然后再来科学地分类。分类讨论时，一定要一层一层地分析，不要盲目跳层而出现不该有的失误。
例题1已知函数y = x2-4x 3，x∈[-1，a]，求函数的最小值。
解析：这是二次函数求最值中比较常见的定轴动区间的值域问题。根据已有知识，解答时，学生会首先算出这个函数的对称轴是直线x=2，但由于x处于动区间[-1，a]，所以我们要对对称轴x=2是否在[-1，a]中分类进行运算。在运算过程中，根据题目给出的条件，我们进行如下分类讨论：当a≥2时，则函数在[-1，2]上呈单调递减趋势，在[2，a]上呈单调递增趋势，当x=2时，y得到最小值-1，当-1≤a≤2时，函数在[-1，a]上呈单调递减趋势，则当x=a時，y取得区间[-1，a]内的最小值a2-4a 3。
从例题1中的分类思想下的解题过程可以观察出，分类要在一个标准的前提下，严格根据题目已知条件与给出的数据，一个层次接一个层次地来讨论，不重复讨论情况，也不漏掉每一种情况，全面地思考解答问题，避免失误。
（二） 进行正确的分类
高中数学题目中的分类思想往往要遵循着已有的公式和相关的定理，这些公式和定理通常会对分类的范围做出限定，而学生解题的过程，绝不能脱离出限定范围，否则就走入了误区。所以在解答相关数学题时，一定要仔细审题，熟练地运用相关的公式、定理，作出正确的分类。
例题2存在二次函数y=（m-2）x（n 1） x2 1，试求m和n的取值范围。
解析：解答这个问题时，一定要熟悉二次函数的性质定理，题目已经明确指出这是一个二次函数，所以x的指数不可能超过2。所以（n 1）的取值就有3种可能：①n 1=2；②n 1=1；③n 1=0，n的取值范围只能在这三种可能下进行讨论，m的取值范围也是同理作出相应的分类。因此，想要合理应用分类思想，必须熟练地掌握牢记基本的数学定理及公式，才能根据条件做出正确的反应，在解答问题上也不会误入歧途。
（三） 明确题意，层层解答
随着分类思想被不断地加以重视，相应的考题也变得越来越复杂，题目中往往会出现很多的未知数，容易使学生混淆，畏难而退。所以在面对相关问题时，不必一开始就感到紧张，仔细地观察题目，正确理解题目意思后，再运用所学的知识来一步步解答问题。
例题3设函数f（x）=x2-ax a 3，g（x）=ax-2a。若存在x0∈R，使得f （x0）<0与g（x0）<0同时成立，则实数a的取值范围是什么？
解析：例题3由于参数较多，学生遇到这种问题时容易感到压力而不知如何下笔作答。但我们仔细观察题目会发现，这道题目融合了几种数学知识，所以在解题过程中要明确地根据题目，一层一层地做出解答。根据题目信息，我们可以遵循二次函数的性质，主要从a=0，a<0和a>0这三种情况进行分类讨论。
由f（x）=x2-ax a 3可知f（0）= a 3，f（1）= 4，又存在x0∈R，使得f（x0）<0，知Δ=a2-4（a 3）>0即a<-2或a>6，另g（x）= ax-2a中恒过（2，0），故由函数的图像知：①若a=0时，f（x）=x2-ax a 3=x2 3恒大于0，
显然不成立。②若a>0时，g（x0）<0，即x0<2，∵a>0，f（2）<0，
∴a>7。③若a<0时，g（x0）<0，即x0>2，此时函数f（x）=x2-ax a 3图像的对称轴x=a/2<1，故函数在区间（a/2， ∞）上为增函数，又∵f（1）=4。
∴f（x0）<0不成立。故答案为：（7， ∞）。
（四） 具体情况，具体分析
虽然很多数学题目中都会用到分类思想，但有些题目是可以用更简便的方法来解答的，所以不必要在看到含有未知参数的数学题目时就第一时间想到用分类思想。要根据题目的具体内容，做出合理的预判，找到最省时省力的方法解答题目。各种数学思想，都要在合适的条件下，才能最大限度地体现其方便性，因此，在数学解题中，切忌盲目使用分类思想。
三、 合作巩固分类思想的运用
作为高中数学解题中重要的一环，分类思想的作用不可小觑。为加强学生实际应用分类思想的能力，可以在教学过程中，让学生以小组合作模式互帮互助，在团体中交流自己的想法与经验，集中对不同题型中分类思想的运用进行讨论，对所学知识和概念加深印象并巩固。教师也可以根据课程的推进，整合学过的知识点，挑选一些稍有难度的经典题目，分给每个小组进行探究，让学生们互相展示自己的成果，表达自己的观点。通过小组成员之间的互相促进，加强学生自主学习的能力，使他们印象里的分类思想，不仅停留在解题工具的层面上，而且增添一些趣味，使分类思想渗透在他们的学习和生活中。在这个锻炼过程中，学生的思维也会逐渐变得灵活、敏捷。潜移默化的影响下，既可以让他们的数学成绩得到有效提升，思考问题的能力也会产生质的改变。
四、 结语
分类思想对于高中生解答数学问题有着巨大的帮助，同时，分类思想的灵活运用与否也对高中生的思维敏捷性与细致性作出了考验。高中生在平常的学习中，需要累积经验，对运用到分类思想的数学问题做出归纳与总结，再遇到类似问题时，便可以轻松应对。对于相关的数学问题，在解答时，要善于观察题干给出的关键性信息，作为解题线索，按照相应的数学定理或公式进行正确的分类，分类过程也要仔细，不重复不遗漏，按着对应的层次一步一步作答，最后进行整合与总结，做出正确的作答。
参考文献：
[1] 朴希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015（02）.
[2] 危婷.高中数学教学中分类讨论思想的应用探讨[J].数理化解题研究，2017（05）.
[3] 吴秋霞，卓剑.高中数学函数分类讨论思想解题探析[J].文理导航，2017（02）.
作者简介：
叶泽春，福建省福安市，福建福安市高级中学。
关键词：高中数学；解题；分类思想
一、 数学解题中分类思想的重要性
有些数学问题，其答案并不是确定而唯一的，当我们进行到某一个步骤时，
往往发现问题中其实含有几种情况，此时并不能将几种情况一概而论，而要捕捉到影响条件分支的重要因素，在一定的范围里，根据题目的要求，将情况分类成不同条件再进行讨论，如此才能真正探究出问题的解决思路。
在面对数学题时，要保持清醒的分类意识，仔细阅读题目，明确此时的情况是否需要分类，在确定分类后，要找出题干中的关键信息，根据给出的条件进行正确的分类，坚守一个标准原则，不重复统计某一种情况，也不漏掉任何一种情况，分好类后，要顺着这个类别的树干往下延展出枝叶来，顺着思路分类讨论以后要对所有的情况进行整理，归纳总结出最后的结果。
数学解题中，分类思想在不同类型的问题中都有其重要的应用，例如函数、概率、数列、解析几何等问题中往往都需要用到分类思想。高中生熟练运用分类思想后，不仅可以在解数学题时游刃有余，对于自己思考问题的逻辑性，理清思路的条理性和整合答案的概括性都有非常大的帮助。
二、 分类思想在数学解题中的实际应用
（一） 合理分类，逐层讨论
在数学解题中，运用分类思想时，一定要严格按照题目已知的数据，给出的条件明确讨论的参数，然后再来科学地分类。分类讨论时，一定要一层一层地分析，不要盲目跳层而出现不该有的失误。
例题1已知函数y = x2-4x 3，x∈[-1，a]，求函数的最小值。
解析：这是二次函数求最值中比较常见的定轴动区间的值域问题。根据已有知识，解答时，学生会首先算出这个函数的对称轴是直线x=2，但由于x处于动区间[-1，a]，所以我们要对对称轴x=2是否在[-1，a]中分类进行运算。在运算过程中，根据题目给出的条件，我们进行如下分类讨论：当a≥2时，则函数在[-1，2]上呈单调递减趋势，在[2，a]上呈单调递增趋势，当x=2时，y得到最小值-1，当-1≤a≤2时，函数在[-1，a]上呈单调递减趋势，则当x=a時，y取得区间[-1，a]内的最小值a2-4a 3。
从例题1中的分类思想下的解题过程可以观察出，分类要在一个标准的前提下，严格根据题目已知条件与给出的数据，一个层次接一个层次地来讨论，不重复讨论情况，也不漏掉每一种情况，全面地思考解答问题，避免失误。
（二） 进行正确的分类
高中数学题目中的分类思想往往要遵循着已有的公式和相关的定理，这些公式和定理通常会对分类的范围做出限定，而学生解题的过程，绝不能脱离出限定范围，否则就走入了误区。所以在解答相关数学题时，一定要仔细审题，熟练地运用相关的公式、定理，作出正确的分类。
例题2存在二次函数y=（m-2）x（n 1） x2 1，试求m和n的取值范围。
解析：解答这个问题时，一定要熟悉二次函数的性质定理，题目已经明确指出这是一个二次函数，所以x的指数不可能超过2。所以（n 1）的取值就有3种可能：①n 1=2；②n 1=1；③n 1=0，n的取值范围只能在这三种可能下进行讨论，m的取值范围也是同理作出相应的分类。因此，想要合理应用分类思想，必须熟练地掌握牢记基本的数学定理及公式，才能根据条件做出正确的反应，在解答问题上也不会误入歧途。
（三） 明确题意，层层解答
随着分类思想被不断地加以重视，相应的考题也变得越来越复杂，题目中往往会出现很多的未知数，容易使学生混淆，畏难而退。所以在面对相关问题时，不必一开始就感到紧张，仔细地观察题目，正确理解题目意思后，再运用所学的知识来一步步解答问题。
例题3设函数f（x）=x2-ax a 3，g（x）=ax-2a。若存在x0∈R，使得f （x0）<0与g（x0）<0同时成立，则实数a的取值范围是什么？
解析：例题3由于参数较多，学生遇到这种问题时容易感到压力而不知如何下笔作答。但我们仔细观察题目会发现，这道题目融合了几种数学知识，所以在解题过程中要明确地根据题目，一层一层地做出解答。根据题目信息，我们可以遵循二次函数的性质，主要从a=0，a<0和a>0这三种情况进行分类讨论。
由f（x）=x2-ax a 3可知f（0）= a 3，f（1）= 4，又存在x0∈R，使得f（x0）<0，知Δ=a2-4（a 3）>0即a<-2或a>6，另g（x）= ax-2a中恒过（2，0），故由函数的图像知：①若a=0时，f（x）=x2-ax a 3=x2 3恒大于0，
显然不成立。②若a>0时，g（x0）<0，即x0<2，∵a>0，f（2）<0，
∴a>7。③若a<0时，g（x0）<0，即x0>2，此时函数f（x）=x2-ax a 3图像的对称轴x=a/2<1，故函数在区间（a/2， ∞）上为增函数，又∵f（1）=4。
∴f（x0）<0不成立。故答案为：（7， ∞）。
（四） 具体情况，具体分析
虽然很多数学题目中都会用到分类思想，但有些题目是可以用更简便的方法来解答的，所以不必要在看到含有未知参数的数学题目时就第一时间想到用分类思想。要根据题目的具体内容，做出合理的预判，找到最省时省力的方法解答题目。各种数学思想，都要在合适的条件下，才能最大限度地体现其方便性，因此，在数学解题中，切忌盲目使用分类思想。
三、 合作巩固分类思想的运用
作为高中数学解题中重要的一环，分类思想的作用不可小觑。为加强学生实际应用分类思想的能力，可以在教学过程中，让学生以小组合作模式互帮互助，在团体中交流自己的想法与经验，集中对不同题型中分类思想的运用进行讨论，对所学知识和概念加深印象并巩固。教师也可以根据课程的推进，整合学过的知识点，挑选一些稍有难度的经典题目，分给每个小组进行探究，让学生们互相展示自己的成果，表达自己的观点。通过小组成员之间的互相促进，加强学生自主学习的能力，使他们印象里的分类思想，不仅停留在解题工具的层面上，而且增添一些趣味，使分类思想渗透在他们的学习和生活中。在这个锻炼过程中，学生的思维也会逐渐变得灵活、敏捷。潜移默化的影响下，既可以让他们的数学成绩得到有效提升，思考问题的能力也会产生质的改变。
四、 结语
分类思想对于高中生解答数学问题有着巨大的帮助，同时，分类思想的灵活运用与否也对高中生的思维敏捷性与细致性作出了考验。高中生在平常的学习中，需要累积经验，对运用到分类思想的数学问题做出归纳与总结，再遇到类似问题时，便可以轻松应对。对于相关的数学问题，在解答时，要善于观察题干给出的关键性信息，作为解题线索，按照相应的数学定理或公式进行正确的分类，分类过程也要仔细，不重复不遗漏，按着对应的层次一步一步作答，最后进行整合与总结，做出正确的作答。
参考文献：
[1] 朴希兰，朴勇杰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].教育教学论坛，2015（02）.
[2] 危婷.高中数学教学中分类讨论思想的应用探讨[J].数理化解题研究，2017（05）.
[3] 吴秋霞，卓剑.高中数学函数分类讨论思想解题探析[J].文理导航，2017（02）.
作者简介：
叶泽春，福建省福安市，福建福安市高级中学。