论文部分内容阅读
摘要：本文从斯托克斯定律成立条件的分析入手，结合大学物理实验中的实际操作情况，对用落球法(斯托克斯法)测定蓖麻油粘滞系数的实验条件选择及可行性进行了分析。发现在用落球法测量蓖麻油粘滞系数时，在温度不高，小球直径很小时，相应的雷诺数很小，可以根据斯托克斯公式测量蓖麻油的粘滞系数；当温度较高时，相应的雷诺数较大，需要对斯托克斯公式作修正；而当温度达到40度或以上，且所用小球超过2mm时，已经不适合用落球法测量粘滞系数。
关键词：粘滞系数；斯托克斯公式；极限速度；雷诺数
1.引言
液体的粘滞系数(即粘度)是液体的重要物理性质和技术指标之一，它反应了液体流动性为的特征，主要与液体的性质、温度与流速等有关。因此，对液体粘滞性的研究在流体力学、化学化工、医疗、水利等领域有着非常广泛的应用。在医学上通过对血液粘度参数与其他生理、生化检测结合起来的分析，可以对疾病进行准确地预防、诊断和治疗；化学上通过粘度法测定高聚物的分子量；石油勘探中对原油的粘度特点的了解，可以提高油井的产能、原油采收率以及原油的集输等；在基础研究中，粘度的测定也占有非常重要的地位。如研究胶体稀溶液的粘度可以帮助了解质点的大小与形状、质点与介质问的相互作用等。因此，粘度测定技术一直以来备受关注［1,2］。
液体粘滞系数的方法有很多种，落球法（也称斯托克斯法）是最基本的一种。主要适合于测量透明或半透明且粘性比较大的这类液体。蓖麻油的流动性好在空气中几乎不发生氧化酸败，储藏稳定性好，是典型的不干性液体油；此外，蓖麻油具有良好稳定性、保色性、可挠性、颜料分散性、湿润性、润滑性、低温特性、电气特性以及生物特性。因此在大学物理实验中大多采用蓖麻油作为待测液体，采用落球法(斯托克斯法)测量蓖麻油粘滞系数随温度的变化。然而，通过学生实际测量发现，所测量结果的相对误差较大；且温度越高，所用的小刚球直径越大，误差越大，在某些情况下甚至超过100％。本文从斯托克斯定律成立条件的分析入手，结合大学物理实验中针对“落球法(斯托克斯法)测量蓖麻油粘滞系数”实验的实际操作情况，对用落球法测定液体粘滞系数的实验条件选择及可行性进行了分析。
2.实验原理及实验条件分析
2.1斯托克斯公式的简单推导
由牛顿定律列出的粘滞流体动力学方程为［3］
这便是纳维—斯托克斯（Navier-stokes）方程。式中为流体的流速，p为流体内的压强，p为流体密度，η为流体的粘滞系数。
若流体为稳定流动，有。又雷诺数小，惯性力与粘滞力相比小（即项与项的量值相比小），忽略惯性项，得小雷诺数不可压缩流体稳定流动的动力学方程为
此方程又称蠕行方程。此外，不可压缩流体还应满足连续性方程
由式(1)、(2)联立的偏微分方程组便是描述这种不可压缩的粘滞流体小雷诺数流动的动力学方程。
采用球坐标系，参照文献［4］的处理方法，通过求解动力学方程，可得流体中小球运动动力学问题的偏微分方程组边界问题的最后结果为
其中，r为小球半径，R为径向距离。
相对小球运动的流体对小球的作用力应为流体对小球的压力及流体粘滞性引起的摩擦力之和。由于流体沿方向运动，考虑对称性，只在轴上投影不为零。
这里环境压强p0因抵消可不予考虑。
由于流体具有粘滞性所产生的摩擦阻力应与小球表面的切应力相联系，小球表面的切应力大小为
因此
小球在粘滞流体中运动所受的总阻力
这便是斯托克斯公式。此式适用于雷诺数Re=2vrp/η小于0.5的情况。从中还可看出斯托克斯公式的适用条件：要求液体是无限广远的且无漩涡产生；要求所用的小球是光滑的，而且半径应适当小。
2.2粘滞系数的计算及修正
小球开始下落时，由于速度尚小，所以阻力也不大；但随着下落速度的增大，阻力也随之增大。最后，三个力达到平衡，即
于是，小球作匀速直线运动，由上式可得：
其中，l为小球匀速下落的距离，t为小球下落l距离所用的时间。
实验时，待测液体必须盛于容器中，故不能满足无限深广的条件，实验证明，若小球沿筒的中心轴线下降，式(13)须做如下改动方能符合实际情况：
其中D为容器内径，H为液柱高度。
实验时小球下落速度若较大，例如气温及油温较高，钢珠从油中下落时，可能出现湍流情况，此时要做另一个修正。
为了判断是否出现湍流，可利用流体力学中一个重要参数雷诺数Re=pvd/η来判断。在实际应用落球法时，小球的运动不会处于高雷诺数状态，此时式(13)成立。当值较大时，就应加修正项，由奥西恩—果尔斯公式可知，粘滞阻力可近似用下式表示：
因此，在各力平衡时，并顾及液体边界影响，可得
式中316Re和191080Re2可视为斯托克斯公式的一级修正和二级修正项。可以看出，当雷诺数很小时，修正项可以不考虑；而当雷诺数较大时，就应当考虑修正项。实验证明［3］：
当Re＜0.5时，可以仅考虑斯托克斯公式的一级修正项；当0.5≤Re≤5时，应同时考虑斯托克斯公式的一级修正和二级修正项；当Re再大时，即惯性力与粘滞力相近时，则不宜使用落球法测量液体的粘滞系数。
2.3 小球在粘滞液体中运动情况分析
设有半径为r的小球，在充满不可压缩粘性流体的无界空间中以缓慢的速度v运动。由于小球半径r甚小，运动速度也甚小，因此雷诺数很小。则小球在粘性流体中作等速运动时的粘滞力为f=6πηrν。当金属小球在黏性液体中下落时，它受到3个竖直方向的力：小球的重力G=43πr3p球g，液体作用于小球的浮力f浮=43πr3p液g和黏性阻力f=6πηrv（其方向与小球运动方向相反）。小球开始下落时，由于速度尚小，所以阻力也不大；但随着下落速度的增大，阻力也随之增大。最后，三个力达到平衡，由此可得到小球下落的极限速度为：
下面讨论在达到极限速度前的运动情况。由牛顿第二定律有
经过相应的计算，可得小球下落的速度
其中，，称其为小球下落的“弛豫时间”，式(18)即为小球下落时间与速度变化的关系式。显然，“弛豫时间”τ与小球的密度p球、半径r和液体粘度η有关。r和η一定时，p球越大，τ就越大；p球和η一定时，r越大，τ就越大，且τ与r2成正比；r和p球一定时，η越小，τ就越大。而τ越大，小球的下落速度越接近于极限速度，可以说，“弛豫时间”τ反映了小球速度增长的快慢程度，简单分析如下：
当t=τ时，小球速度v=v0(1-e-1)=0.63v0；
当t=2τ时，小球速度v=v0(1-e-2)=0.68v0；
当t=3τ时，小球速度v=v0(1-e-3)=0.95v0；
当t=5τ时，小球速度v=v0(1-e-5)=0.99v0；
当t=10τ时，小球速度v=v0(1-e-10)=0.9999v0；
当t→∞时，小球速度v=v0；
在实际测量中，小球速度达到就可以看作小球已经做匀速运动。
然而，在实际情况中，小球由小孔下落到页面顶端有一小段距离，小球在这一小段距离的运动过程中可认为是自由落体运动，则小球接触到液面顶端时的初速度为2gh（其中h为下落距离），在此条件下，通过相应的计算可得到小球下落时间与速度变化的关系式
2.4用落球法测量液体粘滞系数的实验条件分析
由(16)式可以看出，小球半径越小，液体温度越低(对液体而言，温度越低粘滞系数越大)，小球下落的极限速度越小；由(18)式也可看出，小球半径越小，液体温度越低，弛豫时间越短，即小球经过更短时间即可达到匀速下落状态。因此，小球半径越小，液体粘滞系数越大，则越满足实验条件。为了具体说明，表1.给出了在不同直径、不同温度下小球在蓖麻油中下落的极限速度v0，达到极限速度所需要的时间(平衡时间)t0，在平衡时间内下落的距离h以及相应的雷诺数。此外还需要说明的是，在实际实验中，小球由小孔下落到页面顶端有一小段距离，小球在这一小段距离的运动过程中可认为是自由落体运动，则小球接触到液面顶端时的初速度为2gh(其中h为自由落体下落距离)，一般情况下自由落体下落距离约为10cm，本文取2gh=1.4m/s。在此情况下，小球在蓖麻油中的运动速度随时间的关系由(18)式描述。通过计算我们还发现，小球入液体速度已经大于平衡速度，因此小球在蓖麻油中做先减速后匀速的运动。我们取小球速度下降到1.001v0认为小球已经达到匀速运动状态。
表1. 不同直径小刚球在不同温度蓖麻油中下
落极限速度、平衡时间、下落距离和雷诺数
温度直径1mm1.5mm2mm2.5mm10℃
η=2.42
pa•sv0(10-3m/s)1.5513.4896.2039.692t(s)0.0030.0050.0090.014Re0.0050.0170.0400.079h(cm)0.0260.0580.1060.17020℃
η=0.95
pa•sv0(10-3m/s)3.9508.88815.80124.690t(s)0.0060.0120.0210.031Re0.0330.1100.2610.511h(cm)0.0670.1550.2880.47240℃
η=0.23
pa•sv0(10-3m/s)16.31736.71365.267101.979t(s)0.0220.0450.0750.112Re0.5571.8824.4618.713h(cm)0.2990.7481.5032.682
从表1.可以看出：(1)小球达到匀速运动状态所需要的时间即平衡时间非常短；(2)小球下落的平衡速度都很小；(3)在蓖麻油粘滞系数较大时，落球法完全适用，而当粘滞系数较小时(如η=0.23pa•s)，若小球直径过大，则雷诺将超过5，此时落球法不在适用；(4)在落球法适用(Re<5)的前提下，小球下落很短的距离便达到极限速度，在我们的实验条件下，只要在小球下落2cm后开始计时就完全可以达到实验所需条件。
从上面分析我们得出，落球法测液体粘滞系数是否适用主要取决于液体本身粘滞系数的大小和小球直径，液体粘滞系数不宜太小，小球直径不宜过大。而平衡速度以及弛豫时间均可很好地满足。
3.结束语
本文中，我们结合大学物理实验中关于“变温液体粘滞系数测量”这一实验所遇到的具体情况，从落球法测量液体粘滞系数成立条件入手分析了利用落球法测量蓖麻油粘滞系数的适用条件。在对该实验进行误差分析时，考虑到的误差来源主要是：(1)小球下落时间和小球下落距离的测量误差(也是对总误差影响最大的两个因素)而引起的速度误差；(2)温度测量的不准确，即蓖麻油的温度与水温不一致；(3)油筒未放置水平；(4)由于水泵的振动导致液面有漩涡；(5)小球下落时偏离竖直轴线方向；(6)小球表面污染等因素。而并未考虑对理论本身的修正以及理论是否适用这一因素。因此，斯托克斯公式的一级修正和二级修正在雷诺数R较大时的修正是不可忽略的。从(15)可以看出，当R=0.1时，一级修正为1.9％，二级修正～0.02％可忽略不计；当R=1时，一级修正为15.8％，二级修正～2％可忽略不计。此外，在实际测量中发现，在蓖麻油超过40度时，用2mm和2.5mm直径小球测得的结果与理论值的相对误差很大，其原因是在此情况下雷诺数较大，必须考虑斯托克斯公式的一级修正和二级修正，甚至落球法已不再适用，从而导致相对误差过大。
［参考文献］
［1］刘晓彬.落球法测定液体粘滞系数实验的改进［J］.武警学院学报(增刊).2007,23（2）：91-93.
［2］刘竹琴,刘艳峰,田蕾.甘油的粘度与浓度关系的实验研究［J］.延安大学学报(自然科学版).2005,24（4）：58-63.
［3］朗道,栗弗席茨.流体力学(上册)［M］.孔祥言等译.北京:高等教育出版社,1983.
［4］王肇庆,苏慧慧.斯托克斯粘滞阻力公式的简化推导［J］.电子科技大学学报(增刊).1997,26：261-264.
（作者单位：重庆科技学院 数理学院，重庆401331）
关键词：粘滞系数；斯托克斯公式；极限速度；雷诺数
1.引言
液体的粘滞系数(即粘度)是液体的重要物理性质和技术指标之一，它反应了液体流动性为的特征，主要与液体的性质、温度与流速等有关。因此，对液体粘滞性的研究在流体力学、化学化工、医疗、水利等领域有着非常广泛的应用。在医学上通过对血液粘度参数与其他生理、生化检测结合起来的分析，可以对疾病进行准确地预防、诊断和治疗；化学上通过粘度法测定高聚物的分子量；石油勘探中对原油的粘度特点的了解，可以提高油井的产能、原油采收率以及原油的集输等；在基础研究中，粘度的测定也占有非常重要的地位。如研究胶体稀溶液的粘度可以帮助了解质点的大小与形状、质点与介质问的相互作用等。因此，粘度测定技术一直以来备受关注［1,2］。
液体粘滞系数的方法有很多种，落球法（也称斯托克斯法）是最基本的一种。主要适合于测量透明或半透明且粘性比较大的这类液体。蓖麻油的流动性好在空气中几乎不发生氧化酸败，储藏稳定性好，是典型的不干性液体油；此外，蓖麻油具有良好稳定性、保色性、可挠性、颜料分散性、湿润性、润滑性、低温特性、电气特性以及生物特性。因此在大学物理实验中大多采用蓖麻油作为待测液体，采用落球法(斯托克斯法)测量蓖麻油粘滞系数随温度的变化。然而，通过学生实际测量发现，所测量结果的相对误差较大；且温度越高，所用的小刚球直径越大，误差越大，在某些情况下甚至超过100％。本文从斯托克斯定律成立条件的分析入手，结合大学物理实验中针对“落球法(斯托克斯法)测量蓖麻油粘滞系数”实验的实际操作情况，对用落球法测定液体粘滞系数的实验条件选择及可行性进行了分析。
2.实验原理及实验条件分析
2.1斯托克斯公式的简单推导
由牛顿定律列出的粘滞流体动力学方程为［3］
这便是纳维—斯托克斯（Navier-stokes）方程。式中为流体的流速，p为流体内的压强，p为流体密度，η为流体的粘滞系数。
若流体为稳定流动，有。又雷诺数小，惯性力与粘滞力相比小（即项与项的量值相比小），忽略惯性项，得小雷诺数不可压缩流体稳定流动的动力学方程为
此方程又称蠕行方程。此外，不可压缩流体还应满足连续性方程
由式(1)、(2)联立的偏微分方程组便是描述这种不可压缩的粘滞流体小雷诺数流动的动力学方程。
采用球坐标系，参照文献［4］的处理方法，通过求解动力学方程，可得流体中小球运动动力学问题的偏微分方程组边界问题的最后结果为
其中，r为小球半径，R为径向距离。
相对小球运动的流体对小球的作用力应为流体对小球的压力及流体粘滞性引起的摩擦力之和。由于流体沿方向运动，考虑对称性，只在轴上投影不为零。
这里环境压强p0因抵消可不予考虑。
由于流体具有粘滞性所产生的摩擦阻力应与小球表面的切应力相联系，小球表面的切应力大小为
因此
小球在粘滞流体中运动所受的总阻力
这便是斯托克斯公式。此式适用于雷诺数Re=2vrp/η小于0.5的情况。从中还可看出斯托克斯公式的适用条件：要求液体是无限广远的且无漩涡产生；要求所用的小球是光滑的，而且半径应适当小。
2.2粘滞系数的计算及修正
小球开始下落时，由于速度尚小，所以阻力也不大；但随着下落速度的增大，阻力也随之增大。最后，三个力达到平衡，即
于是，小球作匀速直线运动，由上式可得：
其中，l为小球匀速下落的距离，t为小球下落l距离所用的时间。
实验时，待测液体必须盛于容器中，故不能满足无限深广的条件，实验证明，若小球沿筒的中心轴线下降，式(13)须做如下改动方能符合实际情况：
其中D为容器内径，H为液柱高度。
实验时小球下落速度若较大，例如气温及油温较高，钢珠从油中下落时，可能出现湍流情况，此时要做另一个修正。
为了判断是否出现湍流，可利用流体力学中一个重要参数雷诺数Re=pvd/η来判断。在实际应用落球法时，小球的运动不会处于高雷诺数状态，此时式(13)成立。当值较大时，就应加修正项，由奥西恩—果尔斯公式可知，粘滞阻力可近似用下式表示：
因此，在各力平衡时，并顾及液体边界影响，可得
式中316Re和191080Re2可视为斯托克斯公式的一级修正和二级修正项。可以看出，当雷诺数很小时，修正项可以不考虑；而当雷诺数较大时，就应当考虑修正项。实验证明［3］：
当Re＜0.5时，可以仅考虑斯托克斯公式的一级修正项；当0.5≤Re≤5时，应同时考虑斯托克斯公式的一级修正和二级修正项；当Re再大时，即惯性力与粘滞力相近时，则不宜使用落球法测量液体的粘滞系数。
2.3 小球在粘滞液体中运动情况分析
设有半径为r的小球，在充满不可压缩粘性流体的无界空间中以缓慢的速度v运动。由于小球半径r甚小，运动速度也甚小，因此雷诺数很小。则小球在粘性流体中作等速运动时的粘滞力为f=6πηrν。当金属小球在黏性液体中下落时，它受到3个竖直方向的力：小球的重力G=43πr3p球g，液体作用于小球的浮力f浮=43πr3p液g和黏性阻力f=6πηrv（其方向与小球运动方向相反）。小球开始下落时，由于速度尚小，所以阻力也不大；但随着下落速度的增大，阻力也随之增大。最后，三个力达到平衡，由此可得到小球下落的极限速度为：
下面讨论在达到极限速度前的运动情况。由牛顿第二定律有
经过相应的计算，可得小球下落的速度
其中，，称其为小球下落的“弛豫时间”，式(18)即为小球下落时间与速度变化的关系式。显然，“弛豫时间”τ与小球的密度p球、半径r和液体粘度η有关。r和η一定时，p球越大，τ就越大；p球和η一定时，r越大，τ就越大，且τ与r2成正比；r和p球一定时，η越小，τ就越大。而τ越大，小球的下落速度越接近于极限速度，可以说，“弛豫时间”τ反映了小球速度增长的快慢程度，简单分析如下：
当t=τ时，小球速度v=v0(1-e-1)=0.63v0；
当t=2τ时，小球速度v=v0(1-e-2)=0.68v0；
当t=3τ时，小球速度v=v0(1-e-3)=0.95v0；
当t=5τ时，小球速度v=v0(1-e-5)=0.99v0；
当t=10τ时，小球速度v=v0(1-e-10)=0.9999v0；
当t→∞时，小球速度v=v0；
在实际测量中，小球速度达到就可以看作小球已经做匀速运动。
然而，在实际情况中，小球由小孔下落到页面顶端有一小段距离，小球在这一小段距离的运动过程中可认为是自由落体运动，则小球接触到液面顶端时的初速度为2gh（其中h为下落距离），在此条件下，通过相应的计算可得到小球下落时间与速度变化的关系式
2.4用落球法测量液体粘滞系数的实验条件分析
由(16)式可以看出，小球半径越小，液体温度越低(对液体而言，温度越低粘滞系数越大)，小球下落的极限速度越小；由(18)式也可看出，小球半径越小，液体温度越低，弛豫时间越短，即小球经过更短时间即可达到匀速下落状态。因此，小球半径越小，液体粘滞系数越大，则越满足实验条件。为了具体说明，表1.给出了在不同直径、不同温度下小球在蓖麻油中下落的极限速度v0，达到极限速度所需要的时间(平衡时间)t0，在平衡时间内下落的距离h以及相应的雷诺数。此外还需要说明的是，在实际实验中，小球由小孔下落到页面顶端有一小段距离，小球在这一小段距离的运动过程中可认为是自由落体运动，则小球接触到液面顶端时的初速度为2gh(其中h为自由落体下落距离)，一般情况下自由落体下落距离约为10cm，本文取2gh=1.4m/s。在此情况下，小球在蓖麻油中的运动速度随时间的关系由(18)式描述。通过计算我们还发现，小球入液体速度已经大于平衡速度，因此小球在蓖麻油中做先减速后匀速的运动。我们取小球速度下降到1.001v0认为小球已经达到匀速运动状态。
表1. 不同直径小刚球在不同温度蓖麻油中下
落极限速度、平衡时间、下落距离和雷诺数
温度直径1mm1.5mm2mm2.5mm10℃
η=2.42
pa•sv0(10-3m/s)1.5513.4896.2039.692t(s)0.0030.0050.0090.014Re0.0050.0170.0400.079h(cm)0.0260.0580.1060.17020℃
η=0.95
pa•sv0(10-3m/s)3.9508.88815.80124.690t(s)0.0060.0120.0210.031Re0.0330.1100.2610.511h(cm)0.0670.1550.2880.47240℃
η=0.23
pa•sv0(10-3m/s)16.31736.71365.267101.979t(s)0.0220.0450.0750.112Re0.5571.8824.4618.713h(cm)0.2990.7481.5032.682
从表1.可以看出：(1)小球达到匀速运动状态所需要的时间即平衡时间非常短；(2)小球下落的平衡速度都很小；(3)在蓖麻油粘滞系数较大时，落球法完全适用，而当粘滞系数较小时(如η=0.23pa•s)，若小球直径过大，则雷诺将超过5，此时落球法不在适用；(4)在落球法适用(Re<5)的前提下，小球下落很短的距离便达到极限速度，在我们的实验条件下，只要在小球下落2cm后开始计时就完全可以达到实验所需条件。
从上面分析我们得出，落球法测液体粘滞系数是否适用主要取决于液体本身粘滞系数的大小和小球直径，液体粘滞系数不宜太小，小球直径不宜过大。而平衡速度以及弛豫时间均可很好地满足。
3.结束语
本文中，我们结合大学物理实验中关于“变温液体粘滞系数测量”这一实验所遇到的具体情况，从落球法测量液体粘滞系数成立条件入手分析了利用落球法测量蓖麻油粘滞系数的适用条件。在对该实验进行误差分析时，考虑到的误差来源主要是：(1)小球下落时间和小球下落距离的测量误差(也是对总误差影响最大的两个因素)而引起的速度误差；(2)温度测量的不准确，即蓖麻油的温度与水温不一致；(3)油筒未放置水平；(4)由于水泵的振动导致液面有漩涡；(5)小球下落时偏离竖直轴线方向；(6)小球表面污染等因素。而并未考虑对理论本身的修正以及理论是否适用这一因素。因此，斯托克斯公式的一级修正和二级修正在雷诺数R较大时的修正是不可忽略的。从(15)可以看出，当R=0.1时，一级修正为1.9％，二级修正～0.02％可忽略不计；当R=1时，一级修正为15.8％，二级修正～2％可忽略不计。此外，在实际测量中发现，在蓖麻油超过40度时，用2mm和2.5mm直径小球测得的结果与理论值的相对误差很大，其原因是在此情况下雷诺数较大，必须考虑斯托克斯公式的一级修正和二级修正，甚至落球法已不再适用，从而导致相对误差过大。
［参考文献］
［1］刘晓彬.落球法测定液体粘滞系数实验的改进［J］.武警学院学报(增刊).2007,23（2）：91-93.
［2］刘竹琴,刘艳峰,田蕾.甘油的粘度与浓度关系的实验研究［J］.延安大学学报(自然科学版).2005,24（4）：58-63.
［3］朗道,栗弗席茨.流体力学(上册)［M］.孔祥言等译.北京:高等教育出版社,1983.
［4］王肇庆,苏慧慧.斯托克斯粘滞阻力公式的简化推导［J］.电子科技大学学报(增刊).1997,26：261-264.
（作者单位：重庆科技学院 数理学院，重庆401331）