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[摘 要]思维能力是学生重要的能力之一。数学教学中，可通过“借助动手操作，让思维有物可参”“呈现动态图式，让思维有迹可循”“鼓励合情推理，让思维有据可依”三个途径，培养学生的思维能力，使学生获得发展。
[关键词]数学思维 能力培养 动手操作 动态图式 合情推理
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）23-036
数学教学中，如何促进表面的认识与深层的理解两者间的有效融合，是教师重点关注的问题。笔者认为，数学教学应该根据学生“学”的脉络，深入落实“教”的本质，让学生的思维参与其中，培养学生的思维能力。
一、借助动手操作，让思维有物可参
《数学课程标准》中指出：“要提倡‘做数学’的学习方式，在具体操作中实现思维的提升。”实物操作，是学生思维的具体化，可以帮助学生逐步形成概念，增强对新知识的感性认识。
例如，教学“圆的认识”一课时，圆心是用圆规画圆时针尖固定的一点，从字面上理解就是圆的中心点，这是学生的先知，在教学中是否仅仅呈现这一点就行了呢？从知识的发展来看，不仅要让学生“知其然”，更要让学生“知其所以然”。那么，该如何证明圆心这一点就是这个圆的中心呢？课堂上，教师可把问题抛给学生，让学生结合自己的已知去尝试探究新知。通过对实物的操作，学生对圆心的认识不仅仅停留在“针尖固定的点”这一浅层的直观表面上，而是深入到“点与圆上任意一点的距离”这一深层的本质关系中。关于“圆心确定位置”这一知识点，教师可通过追问引导学生得出：把圆心点在桌上，圆就画在了桌上；把圆心点在纸上，圆就画在了纸上……所以圆心决定了圆的位置。而事实上，大部分学生都认为，圆的位置是由老师决定的，因为老师把圆画在哪里，那么这个圆就画在了哪里。如何让学生真正理解“圆心决定圆的位置”这一结论呢？教师可以结合数对的知识，利用计算机命令画圆的方法，让学生在表格里先动手画一画，然后观察比较并说一说有什么发现。通过直观的操作和观察，使学生深刻理解了“圆心决定圆的位置”这一结论。
二、呈现动态图式，让思维有迹可循
在皮亚杰的认知发展理论中，图式是指一个有组织、可重复的行为模式或心理结构，是一种认知结构的单元。而动态图式，则是图式的动态呈现，通过图式的运动与变化的过程，使数学概念在学生的思维中不断深刻，从而促进系统的知识建构。
课堂上，学生已经知道半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，同一个圆的半径有无数条并且都相等。面对学生的已知，作为教师，如何让学生的思维更深入、更接近知识的本质呢？从知识的形成角度来讲，教师不仅要关注知识本身，更要关注学生思维的发展。在初步揭示圆的半径的概念后，教师可出现动态图式（如），让学生判断这里的线段是不是圆的半径。在这样动态变化的过程中，学生明白了什么是圆的半径，从而理解何为“连接圆心与圆上的线段是半径”了。在学生借助动态图式深刻建构圆的半径的概念后，教师可结合学生的操作与汇报，再次借助动态图式，让学生直观感知圆是无数点的集合，明白连接圆心到圆上任意一点的线段有无数条，并通过一条半径的旋转得出“同一圆内所有半径都相等”的结论。通过动态图式，既突破了学生认知的局限，又提升了学生想象的空间。本节课中，还可以通过动态图式（），引导学生理解圆是一个无限正多边形，让学生感受到正多边形随着边数的增加越来越逼近圆。这种极限思想的感悟，对学生而言是一种力量的震撼，使学生的思维不再是空中楼阁，而是有迹可循。
三、鼓励合情推理，让思维有据可依
通过推理，可以深刻理解数学研究对象之间的逻辑关系。合情推理的实质是“发现——猜想”，所以教师教学时要运用有关类比的方法，结合学生原有的知识和经验，引导学生充分经历类比的过程，培养学生的推理能力。
如圆的直径和半径这两个知识点是相互依存的，教师教学直径的特征时完全可以通过类比，借助合情推理，引导学生深入研究。课堂上，教师可结合直径的概念提出问题：“直径有什么特征？直径和半径有什么关系？”学生通过对实物的观察类比、合情推理就能得出：在同一个圆中，直径是半径的两倍，半径是直径的一半。既然在同一个圆中半径的长度都相等，那么在同一个圆中直径的长度也相等；同理，在同一个圆中，因为半径有无数条，所以在同一个圆中直径也有无数条。最后，借助动态图式论证这一推理。这样教学，既引领学生触摸数学的本质，又通过合情推理，使学生的思维有据可依。
总之，课堂上，教师要从学生已有的知识和经验出发，引导他们参与各种数学活动，提升学生思维的深度与广度。
（责编 杜 华）
[关键词]数学思维 能力培养 动手操作 动态图式 合情推理
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）23-036
数学教学中，如何促进表面的认识与深层的理解两者间的有效融合，是教师重点关注的问题。笔者认为，数学教学应该根据学生“学”的脉络，深入落实“教”的本质，让学生的思维参与其中，培养学生的思维能力。
一、借助动手操作，让思维有物可参
《数学课程标准》中指出：“要提倡‘做数学’的学习方式，在具体操作中实现思维的提升。”实物操作，是学生思维的具体化，可以帮助学生逐步形成概念，增强对新知识的感性认识。
例如，教学“圆的认识”一课时，圆心是用圆规画圆时针尖固定的一点，从字面上理解就是圆的中心点，这是学生的先知，在教学中是否仅仅呈现这一点就行了呢？从知识的发展来看，不仅要让学生“知其然”，更要让学生“知其所以然”。那么，该如何证明圆心这一点就是这个圆的中心呢？课堂上，教师可把问题抛给学生，让学生结合自己的已知去尝试探究新知。通过对实物的操作，学生对圆心的认识不仅仅停留在“针尖固定的点”这一浅层的直观表面上，而是深入到“点与圆上任意一点的距离”这一深层的本质关系中。关于“圆心确定位置”这一知识点，教师可通过追问引导学生得出：把圆心点在桌上，圆就画在了桌上；把圆心点在纸上，圆就画在了纸上……所以圆心决定了圆的位置。而事实上，大部分学生都认为，圆的位置是由老师决定的，因为老师把圆画在哪里，那么这个圆就画在了哪里。如何让学生真正理解“圆心决定圆的位置”这一结论呢？教师可以结合数对的知识，利用计算机命令画圆的方法，让学生在表格里先动手画一画，然后观察比较并说一说有什么发现。通过直观的操作和观察，使学生深刻理解了“圆心决定圆的位置”这一结论。
二、呈现动态图式，让思维有迹可循
在皮亚杰的认知发展理论中，图式是指一个有组织、可重复的行为模式或心理结构，是一种认知结构的单元。而动态图式，则是图式的动态呈现，通过图式的运动与变化的过程，使数学概念在学生的思维中不断深刻，从而促进系统的知识建构。
课堂上，学生已经知道半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，同一个圆的半径有无数条并且都相等。面对学生的已知，作为教师，如何让学生的思维更深入、更接近知识的本质呢？从知识的形成角度来讲，教师不仅要关注知识本身，更要关注学生思维的发展。在初步揭示圆的半径的概念后，教师可出现动态图式（如），让学生判断这里的线段是不是圆的半径。在这样动态变化的过程中，学生明白了什么是圆的半径，从而理解何为“连接圆心与圆上的线段是半径”了。在学生借助动态图式深刻建构圆的半径的概念后，教师可结合学生的操作与汇报，再次借助动态图式，让学生直观感知圆是无数点的集合，明白连接圆心到圆上任意一点的线段有无数条，并通过一条半径的旋转得出“同一圆内所有半径都相等”的结论。通过动态图式，既突破了学生认知的局限，又提升了学生想象的空间。本节课中，还可以通过动态图式（），引导学生理解圆是一个无限正多边形，让学生感受到正多边形随着边数的增加越来越逼近圆。这种极限思想的感悟，对学生而言是一种力量的震撼，使学生的思维不再是空中楼阁，而是有迹可循。
三、鼓励合情推理，让思维有据可依
通过推理，可以深刻理解数学研究对象之间的逻辑关系。合情推理的实质是“发现——猜想”，所以教师教学时要运用有关类比的方法，结合学生原有的知识和经验，引导学生充分经历类比的过程，培养学生的推理能力。
如圆的直径和半径这两个知识点是相互依存的，教师教学直径的特征时完全可以通过类比，借助合情推理，引导学生深入研究。课堂上，教师可结合直径的概念提出问题：“直径有什么特征？直径和半径有什么关系？”学生通过对实物的观察类比、合情推理就能得出：在同一个圆中，直径是半径的两倍，半径是直径的一半。既然在同一个圆中半径的长度都相等，那么在同一个圆中直径的长度也相等；同理，在同一个圆中，因为半径有无数条，所以在同一个圆中直径也有无数条。最后，借助动态图式论证这一推理。这样教学，既引领学生触摸数学的本质，又通过合情推理，使学生的思维有据可依。
总之，课堂上，教师要从学生已有的知识和经验出发，引导他们参与各种数学活动，提升学生思维的深度与广度。
（责编 杜 华）