中图分类号：G4  文献标识码：A  文章编号：（2020）-095
　　我们知道，平面解析几何是用坐标法来研究几何图形的方程以及几何性质的，许多时候我们可以完全运用代数知识来解决问题，而有时用代数来解不仅思路繁琐，解题过程更是计算量大。那么，在解决一些这样的解析几何的问题时，我们如能找到几何与代数的桥梁，问题便很容易求解。而之前我们所学习到的向量恰恰具有这样的特点，因此，在一些设计长度的比例关系，面积的比例等问题时，我们把它转换成向量的共线问题，进而找到坐标之间的联系，再用代数方法来进一步求解，往往会达到事半功倍的效果。下面我们用几个例子来为大家阐述：
　　例题1：已知椭圆C：
　　[SX（]x2[]a2[SX）]+
　　[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a>b>0）
　　的两个焦点分别为
　　F1，F2，焦距为2，过（1，0）作直线与椭圆交于A，B两点，连接
　　AF1，BF1且△ABF1的周长为
　　4[KF（]2[KF）]。
　　（1）求椭圆C的标准方程。
　　（2）若|AB|=4|F2A|，求直线AB 的方程。
　　解：（1）由题意可知：
　　[JB（{]4a=4[KF（]2[KF）]
　　2c=2[JB）]
　　，所以，
　　[JB（{]a=[KF（]2[KF）]
　　c=1[JB）]
　　，由此可以推出椭圆的标准方程为
　　[SX（]x2[]2[SX）]+y2=1。
　　[TPJ-2.TIF;Z1，Y]
　　（2）由题意知：（1，0）为椭圆的右焦点
　　F2，如右图：我们可以发现A，F1，B三点共线，且F1位于AB两点的中间，又因为
　　|AB|=4|F2A|，所以我们可以得到
　　AB[DD（]·[DD）]=4AF[DD（]·[DD）]2，再设A（x1，y1），B（x2，y2），则我们可以得到
　　[JB（{]x2-x1=4-4x1
　　y2-y1=-4y1[JB）]
　　，进一步化简得到：
　　x2+3x1=4
　　y2+3y1=0[JB）]
　　，由于直线过（1，0）点，所以再设AB所在直线方程为my=x-1。
　　由于A（x1，y1），B（x2，y2）是方程组
　　my=x-1
　　x2[]2[SX）]+y2=1[JB）]
　　的两组根，把
　　my=x-1
　　带入椭圆方程
　　[SX（]x2[]2[SX）]+y2=1
　　得到：
　　（m2+2）y2+2my-1=0
　　，所以
　　y1，y2是此方程的两个根，所以
　　[JB（{]y1+y2=-[SX（]2m[]m2+2[SX）]
　　y1y2=-[SX（]1[]m2+2[SX）][JB）]
　　，再由
　　y2+3y1=0
　　，可以进一步得到
　　[JB（{]
　　y1=[SX（]m[]m2+2[SX）]
　　y21=[SX（]1[]3（m2+2）[SX）][JB）]
　　所以進一步得到关于m的的方程为
　　[SX（]m2[]（m2+2）2[SX）]=[SX（]1[]3（m2+2）[SX）]
　　解之得：m=±1，所以直线AB的方程为
　　y=x-1或者y=-x+1。
　　[TPJ-3.TIF;Z1，Y#]
　　例2：如图，椭圆C：
　　[SX（]x2[]a2[SX）]+
　　[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a>b>0）
　　的右顶点为A（2，0），左右两个焦点分别为F1F2，过A且斜率为[SX（]1[]2[SX）]的直线与y轴交于P，与椭圆交于另一个交点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1。
　　6、求椭圆C的标准方程。
　　7、过点P的直线与椭圆交于M，N两点（M，N与A，B不重合），若
　　S△PAM=6S△PBN，求直线MN的方程。
　　解：（1）由椭圆右顶点为A（2，0）知，椭圆中a=2，再由过A且斜率为[SX（]1[]2[SX）]的直线得到，直线方程为y=[SX（]1[]2[SX）]x-1，又直线与椭圆交于另一个交点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1，所以设点B的坐标为B（-c，y0）为则观察图形，我们可由三角形相似得到
　　[SX（]1[]a+c[SX）]=[SX（]1[]|y0|[SX）]
　　进而确定B（-c，[SX（]a+c[]2[SX）]）带入椭圆方程可得c=1，所以b2=3，椭圆方程为[SX（]x2[]4[SX）]+[SX（]y2[]3[SX）]=1。
　　（2）设M到AB的距离为d1，N到AB的距离为d2，
　　所以
　　S△PAM=[SX（]1[]2[SX）]×|AP|×d1，S△PBN=[SX（]1[]2[SX）]×|BP|×d2，
　　又因为
　　△AOP
　　相似与
　　△AF1B，所以，
　　[SX（]AO[]AF1[SX）]=[SX（]AP[]AB[SX）]=[SX（]2[]3[SX）]
　　，所以AP=[SX（]2[]3[SX）]AB，所以，
　　S△PAM=[SX（]1[]2[SX）]×2×|PB|×d1，进而得到[SX（]d1[]d2[SX）]=[SX（]PM[]PN[SX）]=[SX（]1[]3[SX）]
　　所以，
　　PM[TX→]=3NP[TX→]
　　设M（x1，y1），N（x2，y2），[JB（{]x1=-3x2
　　y1+1=-1-y2[JB）]
　　化简得到[JB（{]x1+3x2=0
　　y1+3y2=-4，[JB）]
　　再设直线MN的方程为y=kx-1（k不存在时不成立舍去）
　　由于M，N是方程组[JB（{]
　　y=kx-1
　　[SX（]x2[]4[SX）]+[SX（]y2[]3[SX）]=1
　　的根，把直线方程带入椭圆方程得：
　　（3+4k2）x2-8kx-8=0
　　所以x1，x2是此方程的两个根，由韦达定理可得
　　x1+x2=[SX（]8k[]3+4k2[SX）]
　　x1x2=[SX（]-8[]3+4k2[SX）][JB）]
　　结合x1+3x2=0
　　（方法同例1）可求得：k=±[SX（][KF（]6[KF）][]2[SX）]
　　所以：直线MN的方程为y=±[SX（][KF（]6[KF）][]2[SX）]x-1。
　　点评：通过这两个例子的分析，我们可以找到他们的共同特征：题意中含有的长度的比例问题可以用向量的共线来解决，面积比例也要寻求到线段之间的比例关系，此时就可以进一步用向量共线再结合韦达定理来解决，大大缩减了我们用距离公式来计算所用时间，解题过程也比较整齐。此两例具有一定的代表性，它给了我们一类题目的思路。