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“数学源于生活，寓于生活，用于生活”，我们学习数学的一个重要目的就是学以致用，也就是要能运用所学的数学知识来解决日常生活中遇到的一些问题，学会把数学问题生活化，把日常生活数学化.本章内容虽然简单，但在实际生活中却有着广泛的应用.下面举几个例子加以说明.
例1 （2008年四川省自贡市中考试题）往返于甲、乙两地的火车途中要停靠3个站，则有________种不同的票价（来回票价一样），需准备________种车票.
分析 本题可以用数学建模的思想考虑，假定5个车站在同一条直线上，问题就转化为，在一条直线上有5个点A、B、C、D、E，图1中的线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10条，不同的线段表示不同的行程、不同的票价，因此有10种不同的票价.因为车票要考虑来回，例如从A站到B站和从B站到A站，应设两种车票，所以需准备10×2=20（种）车票.
解：有10种不同的票价，需准备20种车票.
点评 两地之间n个车站共有n（n-1）种车票，■种不同的票价.握手问题也可以用这个公式来解决，握手总次数就相当于有多少种不同的票价，例如一次派对上共10个人，每两个人握手一次，共握手■=45（次）.
例2 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？
解：两点确定一条直线.
点评 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，可以简单地说成“两点确定一条直线”，这个结论含有两层意思：（1） 存在性；（2） 唯一性.
例3 （2012年江西省中考试题）如图2，如果在阳光下你的身影的方向是北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（ ）
A？郾 南偏西60° B？郾 南偏西30°
C？郾 北偏东60° D？郾 北偏东30°
分析 根据方向角的定义进行解答即可.由于人相对太阳与太阳相对于人的方位正好相反，因为在阳光下你的身影的方向是北偏东60°方向，所以太阳相对于你的方向是南偏西60°.故选A.
点评 本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键.
例4 （2010年内蒙古呼和浩特市中考试题）8点30分，时针与分针的夹角是多少度？
分析 钟面上共有12个数字，每两个相邻的数字之间夹角为 30°，每两个相邻的数字之间被分成5个小格，每个小格6°.分针每走1分钟转过6°，时针每1小时转过30°，即每分钟转过0.5°.知道了这些知识，问题也就可以顺利地解决了.
解：8点30分，分针从12点方向之后转过了30分钟，转了30×6°=180°，时针从12点方向转过的角度分两部分计算：8小时转过的度数为8×30°=240°，30分钟转过的度数为30×0.5°=15°，所以时针从12点方向转过的角度为240°+15°=255°，从而可以求出8点30分时针与分针的夹角为255°-180°=75°.
点评 计算时钟在某一时刻时针与分针的夹角实际上就是平面图形中角的和差的计算，在计算时要明确分针每分钟转过多少度，时针每小时转过多少度，每分钟转过多少度.时针、分针转过的角度差即为该时刻时针与分针的夹角.
例5 一地铁施工工地A每天都要进行爆破工作，爆破的危险半径为150 m（即以A点为圆心，150 m为半径的范围内为危险区），已知施工工地A到学校B所在直线l的距离为158 m，问学校是否需要撤离？
分析 本题考查的是“垂线段最短”，如图3所示，过点A作AC⊥l，垂足为C，A与直线l上各点的连线中AC的长度最短，AC的长度大于危险半径，而AB的长度大于AC的长度，所以AB的长度大于危险半径，故学校不在危险范围内，无需撤离.
解：过点A作AC⊥l，垂足为C.因为AB>AC，AC=158，所以AB>158，而危险半径为150 m，所以学校无需撤离.
点评 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.“垂线段最短 ”这一性质在我们实际生活中有广泛的应用，例如运动员跳远问题、开渠引水问题等.
例6 如图4，这是一座纪念碑的底座示意图，若要知道其底部夹角∠AOB的度数，请你用所学的知识设计两种测量方法，并说明其中的道理.
分析 欲测量∠AOB，而纪念碑内部又不能到达，这时可以运用对顶角相等或者邻补角的概念进行测量.
解：如图，延长BO至点D，延长AO至点E， ∠AOB与∠DOE是对顶角，∠AOB=∠DOE；或∠AOB与∠AOD互补，∠AOB=180°-∠AOD，所以只需要测量出∠DOE或∠AOD的度数，即可得到∠AOB的大小.
点评 利用对顶角相等和邻补角的概念，可以测量出不能直接测量的角的度数.
例1 （2008年四川省自贡市中考试题）往返于甲、乙两地的火车途中要停靠3个站，则有________种不同的票价（来回票价一样），需准备________种车票.
分析 本题可以用数学建模的思想考虑，假定5个车站在同一条直线上，问题就转化为，在一条直线上有5个点A、B、C、D、E，图1中的线段有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10条，不同的线段表示不同的行程、不同的票价，因此有10种不同的票价.因为车票要考虑来回，例如从A站到B站和从B站到A站，应设两种车票，所以需准备10×2=20（种）车票.
解：有10种不同的票价，需准备20种车票.
点评 两地之间n个车站共有n（n-1）种车票，■种不同的票价.握手问题也可以用这个公式来解决，握手总次数就相当于有多少种不同的票价，例如一次派对上共10个人，每两个人握手一次，共握手■=45（次）.
例2 木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是为什么？
解：两点确定一条直线.
点评 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，可以简单地说成“两点确定一条直线”，这个结论含有两层意思：（1） 存在性；（2） 唯一性.
例3 （2012年江西省中考试题）如图2，如果在阳光下你的身影的方向是北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（ ）
A？郾 南偏西60° B？郾 南偏西30°
C？郾 北偏东60° D？郾 北偏东30°
分析 根据方向角的定义进行解答即可.由于人相对太阳与太阳相对于人的方位正好相反，因为在阳光下你的身影的方向是北偏东60°方向，所以太阳相对于你的方向是南偏西60°.故选A.
点评 本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键.
例4 （2010年内蒙古呼和浩特市中考试题）8点30分，时针与分针的夹角是多少度？
分析 钟面上共有12个数字，每两个相邻的数字之间夹角为 30°，每两个相邻的数字之间被分成5个小格，每个小格6°.分针每走1分钟转过6°，时针每1小时转过30°，即每分钟转过0.5°.知道了这些知识，问题也就可以顺利地解决了.
解：8点30分，分针从12点方向之后转过了30分钟，转了30×6°=180°，时针从12点方向转过的角度分两部分计算：8小时转过的度数为8×30°=240°，30分钟转过的度数为30×0.5°=15°，所以时针从12点方向转过的角度为240°+15°=255°，从而可以求出8点30分时针与分针的夹角为255°-180°=75°.
点评 计算时钟在某一时刻时针与分针的夹角实际上就是平面图形中角的和差的计算，在计算时要明确分针每分钟转过多少度，时针每小时转过多少度，每分钟转过多少度.时针、分针转过的角度差即为该时刻时针与分针的夹角.
例5 一地铁施工工地A每天都要进行爆破工作，爆破的危险半径为150 m（即以A点为圆心，150 m为半径的范围内为危险区），已知施工工地A到学校B所在直线l的距离为158 m，问学校是否需要撤离？
分析 本题考查的是“垂线段最短”，如图3所示，过点A作AC⊥l，垂足为C，A与直线l上各点的连线中AC的长度最短，AC的长度大于危险半径，而AB的长度大于AC的长度，所以AB的长度大于危险半径，故学校不在危险范围内，无需撤离.
解：过点A作AC⊥l，垂足为C.因为AB>AC，AC=158，所以AB>158，而危险半径为150 m，所以学校无需撤离.
点评 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.“垂线段最短 ”这一性质在我们实际生活中有广泛的应用，例如运动员跳远问题、开渠引水问题等.
例6 如图4，这是一座纪念碑的底座示意图，若要知道其底部夹角∠AOB的度数，请你用所学的知识设计两种测量方法，并说明其中的道理.
分析 欲测量∠AOB，而纪念碑内部又不能到达，这时可以运用对顶角相等或者邻补角的概念进行测量.
解：如图，延长BO至点D，延长AO至点E， ∠AOB与∠DOE是对顶角，∠AOB=∠DOE；或∠AOB与∠AOD互补，∠AOB=180°-∠AOD，所以只需要测量出∠DOE或∠AOD的度数，即可得到∠AOB的大小.
点评 利用对顶角相等和邻补角的概念，可以测量出不能直接测量的角的度数.