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【摘要】浅谈真分数化循环小数及整百数除以两位数的神奇速算法
【关键词】不用笔算 不用计算机算 口算 速算
=0. 8969072164948453608247422680412371134020618556701030927835051546391752577319587628865979381443
以上的真分数化为循环小数共有96位却不用笔算，也不用计算机算，只需口算就可以，这是如何计算的呢？
28年前我曾用倒除法计算，不用试商从后算。25年前又发现了除以2法，每十位一组。1990年我又发现了乘3法，最近我又发现了最为易记、快速逆算乘7法。
现在很多人认为这一速算虽快但生活实际应用不上，我也担心这一发现变成一种传说，所以我又把这一速算方法转换成整数除法，结合实际生活运用到实践中去。
例如：每袋大米100斤，每天吃97斤，那么每天就吃一袋剩下3斤。
100÷97=1……3
n 天吃n 袋剩3n 斤
即 100n ÷97 = n …… 3n
积少剩多剩多加商，当33≤ n ＜ 65时，商比包数多1；当65≤ n ＜ 97时，商比包数多2 。所以，100n ÷ 97 ＝ A …… r
① n ＜ 33时
A = n r = 3n
② 33 ≤ n ＜ 65 时
A = n + 1 r = 3A – 100
③ 65 ≤ n ＜ 97 时
A = n + 2 r = 3A – 200
所以，化为循环小数可以用乘3法计算，每次求两位先求余数再求商。
当然，化为循环小数也可以用乘7法逆向计算。
= 896……81443
每次求一位，后两位数小于33时，用末位乘7的积取个位；后两位数大于33且小于66时，用（末位数 – 1）×7 的积取个位；后两位数大于66时，用（末位数 – 2）×7的积取个位。
这只是一个小小的发现，但通过这一发现得到了启发，使得我发现了更多的速算方法
a ÷ b = n n ＜ b
10a ÷ 10b = n n ＜ 10
10a ÷（10b – 1）= n …… n
a ÷ b = n …… r
10a ÷ 10b = n …… 10r
10a ÷（10b – 1）= n ……（10r + n）
所以， 化为循环小数（b = 10n – 1）可以用除以n法
例如：=0. 4736842105263157用除以2法
第一位 18 ÷ 2 = 9 商 9
第二位 9 ÷ 2 = 4 …… 1 商 4
第三位 14 ÷ 2 = 7 商 7
第四位 7 ÷ 2 = 3 …… 1 商 3
注：余数作十位，商作个位
余数的数列：
18 9 14 7 13 16 8 4 2 1
10 5 12 6 3 11 15 17 18
下面的速算特点是：减商补缺，不足再减
每包大米100斤，每天吃51斤，第一包吃一天剩49斤，以后每包吃两天，但剩下的每天少2斤，一直到第26包要用一包补缺少吃两天。
所以，100a ÷ 51 = n …… r
当 a ＜ 26时 n = 2a – 1 r = 50 – n
当 25 ＜ a ＜ 51 时 n = 2（a-1）r = 100 - n
例如：100 ÷ 51 = 1 …… 49，4900 ÷ 51 = 96 …… 4，400 ÷ 51 = 7 …… 43，4300 ÷ 51 = 84 …… 16，1600 ÷ 51 = 31 ……19，1900 ÷ 51 = 37 …… 13，1300 ÷ 51 = 25 …… 25，2500 ÷ 51 = 49 …… 1
下面是整百数除以两位数的速算方法
1、100a ÷ 91 = b …… r （a < 91）
当 a < 11时 b = a r = 9a
当 a > 10 且a 不是整十数 a = 10A + B
b = a + A r = 9B - A
当 a =10A 时
b = a + A - 1 r = 91 - A
例如：2000 ÷ 91 =21......89
8900 ÷ 91 =97......73
7300 ÷ 91 =80......20
2、100a ÷ 47 = b......R （a < 47）
a ÷ 8 = B......r
b = 2a + B R = 6r + B
3、100a ÷ 53 = b......R
a ÷ 9 = B......R
b = 2a - 1 - B R = 53 -（6r + B）
4、100a ÷ 43 = b......R （a < 43）
当 a = 3A时
b = 2a + A - 1 R = 43 - A
当 a ÷ 3 = A......r 时
b = 2a + A R = 14r - A
5、100a ÷ 57 = b......R （a< 57）
当 a = 4A 时
b = 7A R = A
当 a ÷ 4 = A......r 时
b = 7A + 2r R = 57 - 14r + A
6、100a ÷ 67 = b......r （a < 67）
当 a = 2B 时
b = a + B - 1 r = 67 - B
当 a = 2B + 1 时
b = a + B r = 33 - B
7、100a ÷ 49 = b......r （a < 49）
当 a < 25 时
b = 2a r = b
当 a > 24 时
b = 2a + 1 r = b - 50
【关键词】不用笔算 不用计算机算 口算 速算
=0. 8969072164948453608247422680412371134020618556701030927835051546391752577319587628865979381443
以上的真分数化为循环小数共有96位却不用笔算，也不用计算机算，只需口算就可以，这是如何计算的呢？
28年前我曾用倒除法计算，不用试商从后算。25年前又发现了除以2法，每十位一组。1990年我又发现了乘3法，最近我又发现了最为易记、快速逆算乘7法。
现在很多人认为这一速算虽快但生活实际应用不上，我也担心这一发现变成一种传说，所以我又把这一速算方法转换成整数除法，结合实际生活运用到实践中去。
例如：每袋大米100斤，每天吃97斤，那么每天就吃一袋剩下3斤。
100÷97=1……3
n 天吃n 袋剩3n 斤
即 100n ÷97 = n …… 3n
积少剩多剩多加商，当33≤ n ＜ 65时，商比包数多1；当65≤ n ＜ 97时，商比包数多2 。所以，100n ÷ 97 ＝ A …… r
① n ＜ 33时
A = n r = 3n
② 33 ≤ n ＜ 65 时
A = n + 1 r = 3A – 100
③ 65 ≤ n ＜ 97 时
A = n + 2 r = 3A – 200
所以，化为循环小数可以用乘3法计算，每次求两位先求余数再求商。
当然，化为循环小数也可以用乘7法逆向计算。
= 896……81443
每次求一位，后两位数小于33时，用末位乘7的积取个位；后两位数大于33且小于66时，用（末位数 – 1）×7 的积取个位；后两位数大于66时，用（末位数 – 2）×7的积取个位。
这只是一个小小的发现，但通过这一发现得到了启发，使得我发现了更多的速算方法
a ÷ b = n n ＜ b
10a ÷ 10b = n n ＜ 10
10a ÷（10b – 1）= n …… n
a ÷ b = n …… r
10a ÷ 10b = n …… 10r
10a ÷（10b – 1）= n ……（10r + n）
所以， 化为循环小数（b = 10n – 1）可以用除以n法
例如：=0. 4736842105263157用除以2法
第一位 18 ÷ 2 = 9 商 9
第二位 9 ÷ 2 = 4 …… 1 商 4
第三位 14 ÷ 2 = 7 商 7
第四位 7 ÷ 2 = 3 …… 1 商 3
注：余数作十位，商作个位
余数的数列：
18 9 14 7 13 16 8 4 2 1
10 5 12 6 3 11 15 17 18
下面的速算特点是：减商补缺，不足再减
每包大米100斤，每天吃51斤，第一包吃一天剩49斤，以后每包吃两天，但剩下的每天少2斤，一直到第26包要用一包补缺少吃两天。
所以，100a ÷ 51 = n …… r
当 a ＜ 26时 n = 2a – 1 r = 50 – n
当 25 ＜ a ＜ 51 时 n = 2（a-1）r = 100 - n
例如：100 ÷ 51 = 1 …… 49，4900 ÷ 51 = 96 …… 4，400 ÷ 51 = 7 …… 43，4300 ÷ 51 = 84 …… 16，1600 ÷ 51 = 31 ……19，1900 ÷ 51 = 37 …… 13，1300 ÷ 51 = 25 …… 25，2500 ÷ 51 = 49 …… 1
下面是整百数除以两位数的速算方法
1、100a ÷ 91 = b …… r （a < 91）
当 a < 11时 b = a r = 9a
当 a > 10 且a 不是整十数 a = 10A + B
b = a + A r = 9B - A
当 a =10A 时
b = a + A - 1 r = 91 - A
例如：2000 ÷ 91 =21......89
8900 ÷ 91 =97......73
7300 ÷ 91 =80......20
2、100a ÷ 47 = b......R （a < 47）
a ÷ 8 = B......r
b = 2a + B R = 6r + B
3、100a ÷ 53 = b......R
a ÷ 9 = B......R
b = 2a - 1 - B R = 53 -（6r + B）
4、100a ÷ 43 = b......R （a < 43）
当 a = 3A时
b = 2a + A - 1 R = 43 - A
当 a ÷ 3 = A......r 时
b = 2a + A R = 14r - A
5、100a ÷ 57 = b......R （a< 57）
当 a = 4A 时
b = 7A R = A
当 a ÷ 4 = A......r 时
b = 7A + 2r R = 57 - 14r + A
6、100a ÷ 67 = b......r （a < 67）
当 a = 2B 时
b = a + B - 1 r = 67 - B
当 a = 2B + 1 时
b = a + B r = 33 - B
7、100a ÷ 49 = b......r （a < 49）
当 a < 25 时
b = 2a r = b
当 a > 24 时
b = 2a + 1 r = b - 50