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摘要：“电路原理”是高等学校电子与电气信息类专业的专业基础课。针对电路理论中电路基本分析方法之一“网孔电流法”进行教学探讨，主要对基本概念和该方法的基本思想进行细致、详尽地讨论以此交流教学经验。
关键词：电路原理；网孔电流法；基本概念；基本思想
作者简介：王秋妍（1978-），女，陕西绥德人，第二炮兵工程大学理学院，讲师；罗大成（1981-），男，湖南新邵人，第二炮兵工程大学理学院，讲师。（陕西 西安 710025）
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）02-0127-02
“电路原理”课程是高等学校电子与电气信息类专业的基础课，是所有强电专业和弱点专业的必修课，以分析电路中的电磁现象、研究电路的基本规律及电路的分析方法为主要内容，在整个电子与电气信息类专业的人才培养方案和课程体系中起着承前启后的重要作用。[1]
概念是知识的核心、思维的基础。美国心理学家布鲁纳曾说：“掌握一些概念和原理是通向普遍迁移的大道”，因此在组织教学时应该把基本定律和原理放在首位。[2]网孔电流法属于电阻电路的一般分析方法，也称为方程分析法，是通过列写电路方程、求解方程分析电路。[3]它作为电路课程教学的重点和难点内容，如何让学生理解网孔电流的概念和网孔电流法的基本思想是教学的核心。
一、设计思路
图1所示为设计思路。首先，定义网孔电流，强调网孔电流是假想的电流，由电流连续性推导出假想电流与真实电流（支路电流）之间的关系，同时得到网孔电流是独立变量的结论，因此可以以假想的网孔电流为变量列写电路方程。
其次，以网孔电流为变量列写方程。由支路电流法和网孔电流与支路电流之间的关系推导以网孔电流为变量的方程。剖析方程，重点建立方程与电路的联系：观察电路方程的标准形式，通过自电阻、互电阻直接列写以网孔电流为变量的方程，求解方程得到网孔电流，而支路电流由基尔霍夫电流定律体现进而求得电路的电压、功率等。
二、网孔电流法
1.网孔电流
网孔指平面电路内部不含任何支路的闭合路径。如图2所示，由US1、R1所在支路和US2、R2所在支路形成的闭合路径为网孔，由US2、R2所在支路和R3所在支路形成的闭合路径也是网孔，分别称为网孔1和网孔2。显然，网孔是电路的一个自然的“孔”。
设想在电路的每个网孔里有一个假想的电流沿着该网孔循环流动，这一假想的电流就称作网孔电流。图2所示电路中，设想在网孔1中有一个沿着该网孔循环往复流动的假想电流，称为网孔1的网孔电流，用Im1表示，在网孔2中有一个沿着该网孔循环往复流动的假想电流，称为网孔2的网孔电流，用Im2表示。网孔电流的方向可以取顺时针也可以取逆时针，但通常情况下取为顺时针方向。
网孔电流是假想的电流，它与真实存在的电流之间的关系可以通过电流连续性原理推导得到。将图2所示电路中的结点a放大，如图3所示。
由电荷守恒定理：电荷不可能凭空产生，也不会凭空消失。流过支路1（如果设I1所在支路为支路1）真实存在的电流只有支路电流I1，但假想的网孔电流Im1也流过该支路且方向与I1一致，根据电荷守恒定律必然得到I1=Im1。同理可得I3=Im2，根据基尔霍夫电流定律I2=I3-I1，由上述关系，得到支路2的支路电路Im2与流过该支路的网孔电流之间的关系，I2=Im2-Im1。可见，对任意电路任何一条支路一定属于一个或两个网孔，如果某支路只属于某一网孔，那么该支路电流与网孔电流大小相等。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支路电流就等于流经该支路网孔电流的代数和，与支路电流同向的网孔电流为正，与支路电流反向的网孔电流为负。因此，支路电流可以用网孔电流线性表示。
由电流连续性原理，网孔电流Im1和Im2从结点流入（流出）同时又从该结点流出（流入），自动满足基尔霍夫电流定律，说明网孔电流是独立变量，因此，可以以网孔电流为变量列写方程分析电路。
2.方程的列写
支路电流法是以支路电流为变量列写方程分析电路的方法。对于有b条支路n个结点的电路，可以列写（n-1）个基尔霍夫电流方程（KCL方程）和b-（n-1）个基尔霍夫电压方程（KVL方程），b个方程就有b个未知数，求解方程得到支路电流进而求解电路的电压、功率等。而支路电流又可以用网孔电流线性表示，通过变量代换既得到以网孔电流为变量的方程。
以图2所示电路为例，推导以网孔电流为变量方程。电路有三条支路、两个结点、两个网孔。网孔电流自动满足基尔霍夫电流定律，故无需列写KCL方程。
若取网孔绕行方向与网孔电流方向一致，均为顺时针方向。根据基尔霍夫电压定律，列写以支路电流为变量的KVL方程代入网孔电流整理得到以网孔电流为变量的方程：
（1）
在方程组（1）中，第一个方程（网孔1的方程）：表示网孔电流Im1在网孔1内各电阻上引起的电压之和，网孔电流与网孔绕行方向一致，该电压总为正。-R2Im2表示网孔电流Im2在网孔1中电阻上引起的电压，网孔电流Im2与网孔1的绕行方向相反，根据基尔霍夫电压定律，该电压前面取“-”号。等式左边是网孔电流Im1和Im2在网孔1中所有电阻上产生的电压降之和，等式右边是网孔1中独立电压源电压升之和。同理第二个方程（网孔2的方程）：等式左边是网孔电流Im2和Im1在网孔2中所有电阻上产生的电压降之和，等式右边是网孔2中独立电压源电压升之和。
以上讨论的是网孔电流均为顺时针方向的情况，此时流过公共支路的网孔电流方向相反。如果将其中一个网孔电流变为逆时针方向，如图4所示，假设网孔电流Im2为逆时针方向。
同理，应用基尔霍夫电压定律列写支路电流方程，经过整理得： （2）
方程组（2），等式左边仍然表示各网孔电流在每个网孔内电阻上引起的电压降之和，右边是各网孔中电压源电压升之和。网孔电流与网孔绕行方向一致，所以和仍然为正，但是，此时网孔电流Im1和Im2分别与网孔2和网孔1的绕行方向相同，电压前面取为“+”号。
根据上述分析，在网孔电流方向与网孔绕向方向取为一致的情况下，无论为顺时针还是逆时针方向，方程都可以表示为：降=S升，方程的实质仍然是KVL方程。
观察电路和方程：对于网孔1的方程，Im1前面的系数是网孔1中的所有电阻，Im2前面的系数R2是网孔1与网孔2公共支路上的电阻。对于网孔2的方程，Im2前面的系数是网孔2中的所有电阻，Im1前面的系数R2是网孔2与网孔1公共支路上的电阻。为了使方程的形式统一，把电压前面的符号归结到系数（电阻）中，当网孔绕行方向发生变化时，改变的仅仅是系数（电阻）的正负。这样，可以把上述方程写成标准形式：
（3）
其中，R11是网孔1中所有电阻之和，称为网孔1的自电阻简称自阻；R22是网孔2中所有电阻之和，称为网孔2的自电阻，网孔电流方向与网孔绕向方向取为一致，所以自电阻总为正；R12是网孔1与网孔2公共支路上的电阻，称为网孔1与网孔2之间的互电阻简称互阻，R21是网孔2与网孔1公共支路上的电阻，称为网孔2与网孔1之间的互电阻。可见，当流过公共支路的两个网孔电流方向相同时互电阻取为正，反之互电阻为负。等式右边是由KVL方程移项得到的，所以与网孔电流方向一致的电压源电压取为负反之取为正。
通式（3）可推广到具有m个网孔的电路：
（4）
方程组以网孔电流为变量，左边按未知数顺序排列，右边是常数项。Imm第一个下标表示网孔，第二个下标表示网孔数。具有相同下标的电阻Rkk是网孔k的自电阻，自电阻总为正，有不同下标的电阻Rjk是网孔j与网孔k的互电阻，互电阻的正负视流过公共支路的两个网孔电流的方向来判断，如果流过公共支路的两个网孔电流方向相同，互电阻为正，反之互电阻为负，如果两个网孔之间没有公共支路，或者有公共支路但其电阻为零，则互电阻为零。如果将所有网孔电流都取为顺时针（或逆时针）方向，流过公共支路的网孔电流方向必定相反，此时互电阻总是负的。在不含受控源的情况下，根据电路的拓扑结构，相邻两个网孔公共支路上的电阻必定相同，Rjk=Rkj，方程的系数矩阵是对称阵。方程右边是各网孔中所有电压源电压的代数和（电压升之和），根据基尔霍夫电压定律，各电压源的方向与网孔电流一致时，前面取“-”号，反之取“+”号。
通过以上讨论，无需经过支路电流法的方程整理过程，直接通过观察电路，由自电阻、互电阻就可列写以网孔电流为变量的方程。求解方程得到网孔电流，而支路电流可以由网孔电流线性表示，从而分析电路。这种方法就称为网孔电流法，所列写的方程叫做网孔电流方程。
三、总结
“电路原理”这门课以研究电路的分析方法为主要内容，网孔电流法作为一种重要的分析法，其概念和基本思想是掌握该方法的核心。深度剖析网孔电流的概念，强调网孔电流的假想性，变被动灌输为主动思考。从支路电流法出发，一步步推导网孔电流方程，同时解析网孔电流法的基本思想。紧紧围绕方程的本质，从实质上剖析网孔电流方程，最终建立电路与网孔电流方程的联系。
参考文献：
[1]邱关源，罗先觉.电路[M].第五版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]刘敏华，贾仙宇.“电路分析基础”课程教学方法探索[J].电气电子教学学报，2009，（1）：90-91.
[3]张永瑞.电路分析基础[M].西安：西安电子科技大学出版社，
2006.
（责任编辑：李杰）
关键词：电路原理；网孔电流法；基本概念；基本思想
作者简介：王秋妍（1978-），女，陕西绥德人，第二炮兵工程大学理学院，讲师；罗大成（1981-），男，湖南新邵人，第二炮兵工程大学理学院，讲师。（陕西 西安 710025）
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）02-0127-02
“电路原理”课程是高等学校电子与电气信息类专业的基础课，是所有强电专业和弱点专业的必修课，以分析电路中的电磁现象、研究电路的基本规律及电路的分析方法为主要内容，在整个电子与电气信息类专业的人才培养方案和课程体系中起着承前启后的重要作用。[1]
概念是知识的核心、思维的基础。美国心理学家布鲁纳曾说：“掌握一些概念和原理是通向普遍迁移的大道”，因此在组织教学时应该把基本定律和原理放在首位。[2]网孔电流法属于电阻电路的一般分析方法，也称为方程分析法，是通过列写电路方程、求解方程分析电路。[3]它作为电路课程教学的重点和难点内容，如何让学生理解网孔电流的概念和网孔电流法的基本思想是教学的核心。
一、设计思路
图1所示为设计思路。首先，定义网孔电流，强调网孔电流是假想的电流，由电流连续性推导出假想电流与真实电流（支路电流）之间的关系，同时得到网孔电流是独立变量的结论，因此可以以假想的网孔电流为变量列写电路方程。
其次，以网孔电流为变量列写方程。由支路电流法和网孔电流与支路电流之间的关系推导以网孔电流为变量的方程。剖析方程，重点建立方程与电路的联系：观察电路方程的标准形式，通过自电阻、互电阻直接列写以网孔电流为变量的方程，求解方程得到网孔电流，而支路电流由基尔霍夫电流定律体现进而求得电路的电压、功率等。
二、网孔电流法
1.网孔电流
网孔指平面电路内部不含任何支路的闭合路径。如图2所示，由US1、R1所在支路和US2、R2所在支路形成的闭合路径为网孔，由US2、R2所在支路和R3所在支路形成的闭合路径也是网孔，分别称为网孔1和网孔2。显然，网孔是电路的一个自然的“孔”。
设想在电路的每个网孔里有一个假想的电流沿着该网孔循环流动，这一假想的电流就称作网孔电流。图2所示电路中，设想在网孔1中有一个沿着该网孔循环往复流动的假想电流，称为网孔1的网孔电流，用Im1表示，在网孔2中有一个沿着该网孔循环往复流动的假想电流，称为网孔2的网孔电流，用Im2表示。网孔电流的方向可以取顺时针也可以取逆时针，但通常情况下取为顺时针方向。
网孔电流是假想的电流，它与真实存在的电流之间的关系可以通过电流连续性原理推导得到。将图2所示电路中的结点a放大，如图3所示。
由电荷守恒定理：电荷不可能凭空产生，也不会凭空消失。流过支路1（如果设I1所在支路为支路1）真实存在的电流只有支路电流I1，但假想的网孔电流Im1也流过该支路且方向与I1一致，根据电荷守恒定律必然得到I1=Im1。同理可得I3=Im2，根据基尔霍夫电流定律I2=I3-I1，由上述关系，得到支路2的支路电路Im2与流过该支路的网孔电流之间的关系，I2=Im2-Im1。可见，对任意电路任何一条支路一定属于一个或两个网孔，如果某支路只属于某一网孔，那么该支路电流与网孔电流大小相等。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支路电流就等于流经该支路网孔电流的代数和，与支路电流同向的网孔电流为正，与支路电流反向的网孔电流为负。因此，支路电流可以用网孔电流线性表示。
由电流连续性原理，网孔电流Im1和Im2从结点流入（流出）同时又从该结点流出（流入），自动满足基尔霍夫电流定律，说明网孔电流是独立变量，因此，可以以网孔电流为变量列写方程分析电路。
2.方程的列写
支路电流法是以支路电流为变量列写方程分析电路的方法。对于有b条支路n个结点的电路，可以列写（n-1）个基尔霍夫电流方程（KCL方程）和b-（n-1）个基尔霍夫电压方程（KVL方程），b个方程就有b个未知数，求解方程得到支路电流进而求解电路的电压、功率等。而支路电流又可以用网孔电流线性表示，通过变量代换既得到以网孔电流为变量的方程。
以图2所示电路为例，推导以网孔电流为变量方程。电路有三条支路、两个结点、两个网孔。网孔电流自动满足基尔霍夫电流定律，故无需列写KCL方程。
若取网孔绕行方向与网孔电流方向一致，均为顺时针方向。根据基尔霍夫电压定律，列写以支路电流为变量的KVL方程代入网孔电流整理得到以网孔电流为变量的方程：
（1）
在方程组（1）中，第一个方程（网孔1的方程）：表示网孔电流Im1在网孔1内各电阻上引起的电压之和，网孔电流与网孔绕行方向一致，该电压总为正。-R2Im2表示网孔电流Im2在网孔1中电阻上引起的电压，网孔电流Im2与网孔1的绕行方向相反，根据基尔霍夫电压定律，该电压前面取“-”号。等式左边是网孔电流Im1和Im2在网孔1中所有电阻上产生的电压降之和，等式右边是网孔1中独立电压源电压升之和。同理第二个方程（网孔2的方程）：等式左边是网孔电流Im2和Im1在网孔2中所有电阻上产生的电压降之和，等式右边是网孔2中独立电压源电压升之和。
以上讨论的是网孔电流均为顺时针方向的情况，此时流过公共支路的网孔电流方向相反。如果将其中一个网孔电流变为逆时针方向，如图4所示，假设网孔电流Im2为逆时针方向。
同理，应用基尔霍夫电压定律列写支路电流方程，经过整理得： （2）
方程组（2），等式左边仍然表示各网孔电流在每个网孔内电阻上引起的电压降之和，右边是各网孔中电压源电压升之和。网孔电流与网孔绕行方向一致，所以和仍然为正，但是，此时网孔电流Im1和Im2分别与网孔2和网孔1的绕行方向相同，电压前面取为“+”号。
根据上述分析，在网孔电流方向与网孔绕向方向取为一致的情况下，无论为顺时针还是逆时针方向，方程都可以表示为：降=S升，方程的实质仍然是KVL方程。
观察电路和方程：对于网孔1的方程，Im1前面的系数是网孔1中的所有电阻，Im2前面的系数R2是网孔1与网孔2公共支路上的电阻。对于网孔2的方程，Im2前面的系数是网孔2中的所有电阻，Im1前面的系数R2是网孔2与网孔1公共支路上的电阻。为了使方程的形式统一，把电压前面的符号归结到系数（电阻）中，当网孔绕行方向发生变化时，改变的仅仅是系数（电阻）的正负。这样，可以把上述方程写成标准形式：
（3）
其中，R11是网孔1中所有电阻之和，称为网孔1的自电阻简称自阻；R22是网孔2中所有电阻之和，称为网孔2的自电阻，网孔电流方向与网孔绕向方向取为一致，所以自电阻总为正；R12是网孔1与网孔2公共支路上的电阻，称为网孔1与网孔2之间的互电阻简称互阻，R21是网孔2与网孔1公共支路上的电阻，称为网孔2与网孔1之间的互电阻。可见，当流过公共支路的两个网孔电流方向相同时互电阻取为正，反之互电阻为负。等式右边是由KVL方程移项得到的，所以与网孔电流方向一致的电压源电压取为负反之取为正。
通式（3）可推广到具有m个网孔的电路：
（4）
方程组以网孔电流为变量，左边按未知数顺序排列，右边是常数项。Imm第一个下标表示网孔，第二个下标表示网孔数。具有相同下标的电阻Rkk是网孔k的自电阻，自电阻总为正，有不同下标的电阻Rjk是网孔j与网孔k的互电阻，互电阻的正负视流过公共支路的两个网孔电流的方向来判断，如果流过公共支路的两个网孔电流方向相同，互电阻为正，反之互电阻为负，如果两个网孔之间没有公共支路，或者有公共支路但其电阻为零，则互电阻为零。如果将所有网孔电流都取为顺时针（或逆时针）方向，流过公共支路的网孔电流方向必定相反，此时互电阻总是负的。在不含受控源的情况下，根据电路的拓扑结构，相邻两个网孔公共支路上的电阻必定相同，Rjk=Rkj，方程的系数矩阵是对称阵。方程右边是各网孔中所有电压源电压的代数和（电压升之和），根据基尔霍夫电压定律，各电压源的方向与网孔电流一致时，前面取“-”号，反之取“+”号。
通过以上讨论，无需经过支路电流法的方程整理过程，直接通过观察电路，由自电阻、互电阻就可列写以网孔电流为变量的方程。求解方程得到网孔电流，而支路电流可以由网孔电流线性表示，从而分析电路。这种方法就称为网孔电流法，所列写的方程叫做网孔电流方程。
三、总结
“电路原理”这门课以研究电路的分析方法为主要内容，网孔电流法作为一种重要的分析法，其概念和基本思想是掌握该方法的核心。深度剖析网孔电流的概念，强调网孔电流的假想性，变被动灌输为主动思考。从支路电流法出发，一步步推导网孔电流方程，同时解析网孔电流法的基本思想。紧紧围绕方程的本质，从实质上剖析网孔电流方程，最终建立电路与网孔电流方程的联系。
参考文献：
[1]邱关源，罗先觉.电路[M].第五版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]刘敏华，贾仙宇.“电路分析基础”课程教学方法探索[J].电气电子教学学报，2009，（1）：90-91.
[3]张永瑞.电路分析基础[M].西安：西安电子科技大学出版社，
2006.
（责任编辑：李杰）