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我国近代著名学者王国维曾经提出，成大事业、大学问者必须经过三重境界：“‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路’，此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴’，此第二境也；‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处’，此第三境也。”我认为，数学教学有四重关于“然”的境界：第一重是“知其然”的境界，就是教知识，教解题，反复训练，不管什么题目，先让学生做上几遍，混个脸熟；第二重是“知其所以然”的境界，就是教原理，教方法，注重教学理论的运用，不是就题讲题，而是通过题目传授方法，并螺旋上升和提高；第三重是“知其所以不然”的境界，就是教状态，将数学问题生活化，让学习真的发生；第四重是“超然”的境界，就是超乎本身，“忘乎所以”，上升到一种文化，甚至超出文化。
“算24点”是一种数学游戏，据传是由华人孙四杰先生发明的，其规则是：在一副扑克牌中任意抽取四张，利用牌面所表示的数（约定A为1，J为11，Q为12，K为13，大小王均为0），每个数都要用并且只能用一次，通过一些数学运算（如加、减、乘、除、乘方等），使结果等于24。比如，如果抽出的数是3、8、8、9，那么算式可以是（9-8）×8×3=24或3×8÷（9-8）=24等。它的实质是整数（有理数）的混合运算，可以考查学生运算的熟练程度以及对数据的敏感性，提高学生的计算能力；还可以集中学生的注意力，训练学生的发散思维能力，培养学生的创新能力。因此，这种游戏可以被运用在很多学段的数学教学中。比如，苏教版小学数学教材三年级下册《混合运算》单元后设置了“算24点”的“综合与实践”活动，沪教版小学数学教材四年级上册“三步计算式”问题中也用到了“算24点”作引入载体，苏科版和北師大版初中数学教材七年级上册“有理数的混合运算”小节后都又设置了“算24点”的“综合与实践”活动。其实，高中数学中也有新的运算引入（如排列组合），教学中也可以用到“算24点”。甚至，某年某省公务员考试中也出现了“算24点”。
下面，以“算24点”为例，说明数学教学的四重境界，同时思考我们应该和能够追求什么样的数学教学。需要指出的是，这里的“算24点”教学跨越了好几个学段，而不同的学段中有不同的要求。
一、平铺直叙的“知其然”境界
教学中，一般教师的做法是启而不发，将算型一股脑儿地抛给学生，让学生记住，再反复训练。比如，给出2、3、4、6四个数后，一般会首先介绍2×6+3×4=24、（3-2）×4×6=24和（6-3）×2×4=24等几种算法，然后指出最常见的方法就是构造24的因数3、8、4、6、2、12；在此基础上，再简单地通过几道例题加以强化。水平比较“高”教师的还能总结出最为广泛的六种基本算型（用a、b、c、d表示抽出的四个数）：（1）（a+b）×（c-d）型，如（1+3）×（10-4）=24；（2）（a+b）÷c×d型，如（10+2）÷3×6=24；（3）（a+b-c）×d型，如（6+7-1）×2=24；（4）（a-b÷c）×d型，如（5-6÷2）×12=24；（5）a×b+c-d型，如11×3+1-10=24；（6）（a-b）×c+d型，如（7-4）×5+9=24。更有甚者，还能给出在某几种运算下一共有多少种组合，其中有多少种组合算不出24，并让学生记住这些数组。
我认为，不管教师总结出多少种算型和组合，也不管教师在这些算型和组合下如何让学生进行训练，都算是“灌输”。这是日常教学中许多教师的实际教学状态，但是，这是浅尝辄止的教学状态。
二、循序渐进的“知其所以然”境界
有些教师能够在上述基础上，通过具体例题逐步引导学生总结出相应算型的由来。这是一种更高的境界。建构主义理论认为，学习过程是对知识意义的建构过程，学习者是在与周围环境相互作用的过程中，通过同化和顺应两种方式促进自身认知结构的发展的。学生的认知结构是以图式为基础，通过同化和顺应两种方式形成的一种认知平衡。所谓“图式”是指个体对世界的直觉理解和思考方式；“同化”是指个体对刺激输入过滤或改变的过程，也就是说，个体在感受刺激时，把它纳入头脑中原有的图式之内，使其成为自身的一部分；“顺应”是指外部环境发生变化而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时，所引起的个体认知结构改造与重组的过程，即个体认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程；“平衡”是指个体通过自我调节机制，使得认知发展从一个平衡状态向另一个平衡状态过渡的过程。通俗地讲，把认知结构看成一个筐，将拿来的东西放进筐内，正好放得进去，这就是同化；筐内的东西增加了，新的东西放不进去了，就要把筐编大一点，或重新编一个筐，直至能把新的东西放进去，这就是顺应。创设条件不断进行同化和顺应，促使学生的认知结构不断发生变化，是数学教学应该追求的“新常态”。
如果在适当同化训练的基础上，教师再设计一些问题，使学生必须通过顺应的方式促进自己认知结构的发展，则更有意义和价值。比如，在整数运算的基础上，再设计一组数：5、5、5、1。此时，利用以上策略就很难算出24。因此，学生原有认知结构中的图式不能解决问题。面对新的刺激，学生必须对原有图式进行修正或重建。能否将运算从整数范围扩大到分数范围呢？这是一个跨度较大的过程。在这样的启发下，学生或许可以得到如下解法：5×5-15=24。从整数运算状态到分数运算状态，这就是顺应。在此基础上，再设计一组数：7、7、3、3。解决起来就简单多了：7×3+37=24。前后都是分数运算状态，这就是同化。当然，这样设计仅仅是数量上的改变。如果教师还能带领学生总结出一些一般化的规律（算型），那就是较高的境界了。
教师还必须不断地创设情境，使学生不断地在“同化—顺应—同化—顺应”的过程中实现知识的建构。比如，在上述基础上，再给出一组数：1、3、4、6。此时，只进行加减乘除运算便行不通了。因此，学生又必须修正或重建自己的认知结构。在教师的引导下，学生可以进行如下尝试：4×6×13=24。在加减乘除运算的基础上拓展到乘方（指数）运算，这又是一次顺应的过程。在此基础上，还可以再给出一组数：10、10、4、4。此时，学生还需要修正或重建自己的认知结构，可以进行如下尝试：（10×10-4）÷4=24。这里，运算方式并没有超出加减乘除的范围，但是运算内容显然已经超出“九九乘法表”的范围；相对于前面的运算，这也是一个顺应的过程。 三、进一步探究的“知其所以不然”境界
比较而言，“知其然”是一种低的境界，“知其所以然”是一种高的境界，而“知其所以不然”将是一种更高的境界。问题意识是指学生在认识活动中意识到一些难以解决的实际或理论问题时所产生的一种困惑、探究的心理状态。心理学研究表明，问题意识驱使学生积极思维，不断提出问题和解决问题，而没有问题的思维是肤浅的。因此在课堂教学中，教师要注重激发学生的思维积极性，培养学生的问题意识。此外，“在问题解决中学习”是指在教师的指导下，学生根据教学内容，联系实际提出问题，然后通过个人、小组搜集材料、提取信息、处理信息，探索解决问题的方法。它是建构主义理论所提倡的一种教学方法。因此在课堂教学中，教师不仅要培养学生的问题意识，而且要努力创设各种问题情境，鼓励、引导学生多角度、多层面地深入探索问题，用疑问激活学生的思维，帮助他们不断地挑战自我，深入地理解知识。
同样是“算24点”的教学，教师可以提出或者启发学生提出“为什么不算23点或25点，偏偏要算24点”的问题，然后组织学生经过充分的思考、讨论，将10到30之间各个整数的所有因数写出来观察，由此发现其中24的因数最多（有8个），因而被算出来的可能性最大，从而得到“‘算24点’的游戏设计是科学的（而不是随意的）”的结论。如此“知其所以不然”的探索，并不花多少时间，却需要“上乘”的功夫。探究24点的设置规律，看似信手拈来，实则是对“数学问题生活化，引导学主动地探索、发现、实践和体验，帮助学生成为学习的主体”这一理念的认真诠释。
四、不可多遇的“超然”境界
创新意识的培养是现代化数学教育的基本任务。在教学中，教师要开阔视野，通过拓展探究，充分调动学生学习的积极性，使学生学会思考。这样，往往会有意想不到的效果，甚至超出数学教学，到达一种“超然”的状态，让学生终生难忘，终身受用。
教学“阶层运算”（n！=1×2×3×…×（n-1）×n，0！=1）时，笔者同样带领学生“算24点”。通过几个简单的题目，在学生因小有成就而沾沾自喜的时候，笔者提出了新的问题：四个0怎样能算出24？学生一下子傻眼了：根据直觉，肯定算不出来，但是，作为老师给出的题目，肯定能算出来，不过，方法肯定很独特。在激烈的讨论中，学生绞尽脑汁、苦思冥想。最后，在笔者的启发下，学生发现了答案：（0！+0！+0！+0！）！=4！=24。在惊喜之余，学生更多的是感叹。接着，笔者点拨道：“这就是‘无中生有’。”学生一下子群情激昂，热烈鼓掌。这样的课堂似乎上升到了“文化”的境界。然而，第二天一大早，有一位学生跑到笔者的办公室，急不可耐地告诉笔者：“老师，我又有一种方法。‘00：00’就是24点呀……”学生如此执着思考，而内容如此超乎想象，真是妙不可言！这样的过程似乎上升到一种更高的只可意会的境界，这或许就是“一览众山小”的境界。
教无止境，我們应该努力追求更高的境界。
参考文献：
[1] 施刚.一个算“24点”的探究课例[J].中学教师，2013（4）.
[2] 奚喜兵.感悟游戏中的数学知识[J].中学数学，2012（7）.
“算24点”是一种数学游戏，据传是由华人孙四杰先生发明的，其规则是：在一副扑克牌中任意抽取四张，利用牌面所表示的数（约定A为1，J为11，Q为12，K为13，大小王均为0），每个数都要用并且只能用一次，通过一些数学运算（如加、减、乘、除、乘方等），使结果等于24。比如，如果抽出的数是3、8、8、9，那么算式可以是（9-8）×8×3=24或3×8÷（9-8）=24等。它的实质是整数（有理数）的混合运算，可以考查学生运算的熟练程度以及对数据的敏感性，提高学生的计算能力；还可以集中学生的注意力，训练学生的发散思维能力，培养学生的创新能力。因此，这种游戏可以被运用在很多学段的数学教学中。比如，苏教版小学数学教材三年级下册《混合运算》单元后设置了“算24点”的“综合与实践”活动，沪教版小学数学教材四年级上册“三步计算式”问题中也用到了“算24点”作引入载体，苏科版和北師大版初中数学教材七年级上册“有理数的混合运算”小节后都又设置了“算24点”的“综合与实践”活动。其实，高中数学中也有新的运算引入（如排列组合），教学中也可以用到“算24点”。甚至，某年某省公务员考试中也出现了“算24点”。
下面，以“算24点”为例，说明数学教学的四重境界，同时思考我们应该和能够追求什么样的数学教学。需要指出的是，这里的“算24点”教学跨越了好几个学段，而不同的学段中有不同的要求。
一、平铺直叙的“知其然”境界
教学中，一般教师的做法是启而不发，将算型一股脑儿地抛给学生，让学生记住，再反复训练。比如，给出2、3、4、6四个数后，一般会首先介绍2×6+3×4=24、（3-2）×4×6=24和（6-3）×2×4=24等几种算法，然后指出最常见的方法就是构造24的因数3、8、4、6、2、12；在此基础上，再简单地通过几道例题加以强化。水平比较“高”教师的还能总结出最为广泛的六种基本算型（用a、b、c、d表示抽出的四个数）：（1）（a+b）×（c-d）型，如（1+3）×（10-4）=24；（2）（a+b）÷c×d型，如（10+2）÷3×6=24；（3）（a+b-c）×d型，如（6+7-1）×2=24；（4）（a-b÷c）×d型，如（5-6÷2）×12=24；（5）a×b+c-d型，如11×3+1-10=24；（6）（a-b）×c+d型，如（7-4）×5+9=24。更有甚者，还能给出在某几种运算下一共有多少种组合，其中有多少种组合算不出24，并让学生记住这些数组。
我认为，不管教师总结出多少种算型和组合，也不管教师在这些算型和组合下如何让学生进行训练，都算是“灌输”。这是日常教学中许多教师的实际教学状态，但是，这是浅尝辄止的教学状态。
二、循序渐进的“知其所以然”境界
有些教师能够在上述基础上，通过具体例题逐步引导学生总结出相应算型的由来。这是一种更高的境界。建构主义理论认为，学习过程是对知识意义的建构过程，学习者是在与周围环境相互作用的过程中，通过同化和顺应两种方式促进自身认知结构的发展的。学生的认知结构是以图式为基础，通过同化和顺应两种方式形成的一种认知平衡。所谓“图式”是指个体对世界的直觉理解和思考方式；“同化”是指个体对刺激输入过滤或改变的过程，也就是说，个体在感受刺激时，把它纳入头脑中原有的图式之内，使其成为自身的一部分；“顺应”是指外部环境发生变化而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时，所引起的个体认知结构改造与重组的过程，即个体认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程；“平衡”是指个体通过自我调节机制，使得认知发展从一个平衡状态向另一个平衡状态过渡的过程。通俗地讲，把认知结构看成一个筐，将拿来的东西放进筐内，正好放得进去，这就是同化；筐内的东西增加了，新的东西放不进去了，就要把筐编大一点，或重新编一个筐，直至能把新的东西放进去，这就是顺应。创设条件不断进行同化和顺应，促使学生的认知结构不断发生变化，是数学教学应该追求的“新常态”。
如果在适当同化训练的基础上，教师再设计一些问题，使学生必须通过顺应的方式促进自己认知结构的发展，则更有意义和价值。比如，在整数运算的基础上，再设计一组数：5、5、5、1。此时，利用以上策略就很难算出24。因此，学生原有认知结构中的图式不能解决问题。面对新的刺激，学生必须对原有图式进行修正或重建。能否将运算从整数范围扩大到分数范围呢？这是一个跨度较大的过程。在这样的启发下，学生或许可以得到如下解法：5×5-15=24。从整数运算状态到分数运算状态，这就是顺应。在此基础上，再设计一组数：7、7、3、3。解决起来就简单多了：7×3+37=24。前后都是分数运算状态，这就是同化。当然，这样设计仅仅是数量上的改变。如果教师还能带领学生总结出一些一般化的规律（算型），那就是较高的境界了。
教师还必须不断地创设情境，使学生不断地在“同化—顺应—同化—顺应”的过程中实现知识的建构。比如，在上述基础上，再给出一组数：1、3、4、6。此时，只进行加减乘除运算便行不通了。因此，学生又必须修正或重建自己的认知结构。在教师的引导下，学生可以进行如下尝试：4×6×13=24。在加减乘除运算的基础上拓展到乘方（指数）运算，这又是一次顺应的过程。在此基础上，还可以再给出一组数：10、10、4、4。此时，学生还需要修正或重建自己的认知结构，可以进行如下尝试：（10×10-4）÷4=24。这里，运算方式并没有超出加减乘除的范围，但是运算内容显然已经超出“九九乘法表”的范围；相对于前面的运算，这也是一个顺应的过程。 三、进一步探究的“知其所以不然”境界
比较而言，“知其然”是一种低的境界，“知其所以然”是一种高的境界，而“知其所以不然”将是一种更高的境界。问题意识是指学生在认识活动中意识到一些难以解决的实际或理论问题时所产生的一种困惑、探究的心理状态。心理学研究表明，问题意识驱使学生积极思维，不断提出问题和解决问题，而没有问题的思维是肤浅的。因此在课堂教学中，教师要注重激发学生的思维积极性，培养学生的问题意识。此外，“在问题解决中学习”是指在教师的指导下，学生根据教学内容，联系实际提出问题，然后通过个人、小组搜集材料、提取信息、处理信息，探索解决问题的方法。它是建构主义理论所提倡的一种教学方法。因此在课堂教学中，教师不仅要培养学生的问题意识，而且要努力创设各种问题情境，鼓励、引导学生多角度、多层面地深入探索问题，用疑问激活学生的思维，帮助他们不断地挑战自我，深入地理解知识。
同样是“算24点”的教学，教师可以提出或者启发学生提出“为什么不算23点或25点，偏偏要算24点”的问题，然后组织学生经过充分的思考、讨论，将10到30之间各个整数的所有因数写出来观察，由此发现其中24的因数最多（有8个），因而被算出来的可能性最大，从而得到“‘算24点’的游戏设计是科学的（而不是随意的）”的结论。如此“知其所以不然”的探索，并不花多少时间，却需要“上乘”的功夫。探究24点的设置规律，看似信手拈来，实则是对“数学问题生活化，引导学主动地探索、发现、实践和体验，帮助学生成为学习的主体”这一理念的认真诠释。
四、不可多遇的“超然”境界
创新意识的培养是现代化数学教育的基本任务。在教学中，教师要开阔视野，通过拓展探究，充分调动学生学习的积极性，使学生学会思考。这样，往往会有意想不到的效果，甚至超出数学教学，到达一种“超然”的状态，让学生终生难忘，终身受用。
教学“阶层运算”（n！=1×2×3×…×（n-1）×n，0！=1）时，笔者同样带领学生“算24点”。通过几个简单的题目，在学生因小有成就而沾沾自喜的时候，笔者提出了新的问题：四个0怎样能算出24？学生一下子傻眼了：根据直觉，肯定算不出来，但是，作为老师给出的题目，肯定能算出来，不过，方法肯定很独特。在激烈的讨论中，学生绞尽脑汁、苦思冥想。最后，在笔者的启发下，学生发现了答案：（0！+0！+0！+0！）！=4！=24。在惊喜之余，学生更多的是感叹。接着，笔者点拨道：“这就是‘无中生有’。”学生一下子群情激昂，热烈鼓掌。这样的课堂似乎上升到了“文化”的境界。然而，第二天一大早，有一位学生跑到笔者的办公室，急不可耐地告诉笔者：“老师，我又有一种方法。‘00：00’就是24点呀……”学生如此执着思考，而内容如此超乎想象，真是妙不可言！这样的过程似乎上升到一种更高的只可意会的境界，这或许就是“一览众山小”的境界。
教无止境，我們应该努力追求更高的境界。
参考文献：
[1] 施刚.一个算“24点”的探究课例[J].中学教师，2013（4）.
[2] 奚喜兵.感悟游戏中的数学知识[J].中学数学，2012（7）.