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【编者按】数学模型，是指用数学所创造出来的概念、原理、方法，来理解、描述和解决现实世界中的一类问题。帮助学生建构数学模型，在实践中应用数学模型解决问题，进而培养模型思想提升数学素养，是教师在教学中的关键任务。但在实际教学中，只重结论与应用，忽视学生在模型建构中的真实体验，弱化模型思想的培养等问题时有发生。本期话题围绕“重视模型建构过程，强化模型思想培养”展开。
何为“数学模型”？目前尚无公认的定义。按广义解释，一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式、各种方程式以及由公式系列构成的算法系统等，都可称之为数学模型。按狭义解释，只有那些反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。这也正是当今应用数学中数学模型的原意。
从历史角度看，有了数的概念，就有了数学模型。例如，原始人“结绳”计数，本质上就是对数学模型的运用。在数学发展的漫长过程中，从源于丈量土地所建立的几何学，到为解决力学、天文学问题而诞生的微积分，都可以说是数学模型。“建模”是数学发展最初的原动力。当然，作为一门思维科学，数学的发展不仅仅止于模型的建构。
对小学生而言，不必细究数学模型的广义与狭义之分，关键是在日常的学习中，在平时的问题解决中，要逐步养成模型意识，慢慢地形成模型思想，这才是数学学习之要义，也是教师教学中的关键任务。
关于模型思想，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中的阐述是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
这里对数学建模的刻画，删繁就简，突出了三个主要环节，即让学生经历“问题抽象→建立模型→解释应用”的全过程。同时，也间接表明了这里采纳的是数学模型的狭义解释。显然，从操作层面，《课程标准》中已明确指出了模型建构的具体方法，三个环节缺一不可，尤其是前面两个环节，更不能缺少。学生如果缺少了在模型建构中的真实体验，就不太可能有效地形成模型思想。上述数学建模的三个主要环节，恰似“整条鱼”。“问题抽象”和“建立模型”相当于鱼头和鱼身，“解释应用”处于鱼尾的位置。试想，只有鱼尾，没有了鱼头和鱼身，这条鱼何来生命？怎么可能有力量？
对于鸡兔同笼问题，大家再熟悉不过，许多教师都有精彩的教学演绎。现在我们从模型建构的视角来分析，究竟怎样的教学才是真正意义上的好教学。
鸡兔同笼问题：在一个笼子里，有鸡和兔子，从上面数，头有35个，从下面数，脚有94只，请问鸡和兔子各有几只？
这个问题最早出现在中国南北朝时期的《孙子算经》，书中给了一个不太好理解的算法。具体如下：（1）将所有动物的脚数除以2，也就是94÷2=47。每只鸡有一对脚，兔子有两对脚。（2）假设所有的动物都是鸡，就应该有35对脚，但事实上有47对脚。（3）如果将一只鸡换成一只兔子，用47-35=12，说明需要有12只鸡被换成兔子，这就是兔子的数目。（4）知道了兔子的数目，也就知道了鸡的数目。
现实的教学中，教师们的方法要比《孙子算经》中的方法好理解，且更加“机妙”。比如：假设所有的动物同时举起两只脚，那么由于有35个头，所以一共举起了70只脚。由于鸡只有两只脚，那么多出来的94-70=24只脚，全属于兔子，所以兔子一共有12只，剩下的都是鸡。
还有的教师方法和上述方法具有异曲同工之妙：假设鸡用两只翅膀撑地，相当于有了4只脚，一共有35×4=140只脚，那么多出来的140-94=46只脚，全属于鸡，每只鸡多算了2只脚，所以鸡有23只。
上述《孙子算经》的方法，不缺巧妙性，但不太直观，或者说不具备结构性。不具备结构性的结果，就是没有通用性，无法让人举一反三，因为这个方法只针对这个特定的问题有效。若把问题改一下：假如若干辆三轮车和汽车（四轮），一共有20辆车，有65个轮子，请问汽车和三轮车各有多少辆？这个问题就无法用上面的方法解决，无论先把车辆的轮子除以3，或者除以4，都不可以，因为65既不能被3整除，也不能被4整除。“举脚”和“撑地”两种巧妙的方法似乎也不太适用。
这道题在古代就没法解了，中国古代有不少数学著作流传下来，里面解决了不少问题，但是中国的这些数学论著有一个缺陷，就是它们给出的都是一个个具体的解法，而不是一套系统的方法（或者说模型）。
今天小学里教的方法在通用性方面要比古代的方法好了不少。通常学校里会这么教：（1）假设笼子里全是鸡，那么应该有35×2=70只脚。（2）但是现在有了94只脚，多出24只，就应该是由4只脚的兔子造成的。（3）如果我们用一只兔子替换一只鸡，就会多出两只脚，那么，替换24只脚需要多少只兔子呢？（4）24÷2=12，于是就有12只兔子，剩下的就是鸡。这个方法可以直接解决上面汽车和三轮车的问题。
今天在学校里，如果遇上一个好老师能把鸡兔同笼问题讲透，学生是能做出汽车和三轮车问题的。当然会有一些同学不会做，因为他们只是记住了鸡兔同笼算法，不会应用到其他问题上。这些学生要考高分，只好多做题，把三轮车的题目做一遍，再把其他相似的题目也做了，于是就很辛苦。但是即使能够灵活运用鸡兔同笼的解法，大部分人也还是不能解决所有这类问题，比如再出一道题还是做不出来：红皮鸡蛋5元3个，白皮鸡蛋3元2个，小明花了19元，买了12个鸡蛋，问红皮和白皮鸡蛋各有几个？这个问题其实是鸡兔同籠问题的变式，但是上面改进的鸡兔同笼的解法也不管用。那么能不能针对所有这些问题，提供一个寻找答案的思路呢？或者说搭建出结构化的模型呢？
美国人的教法很有趣，在小学里他们不教学生那些需要技巧的解法。对于鸡兔同笼问题，就是列表的笨方法。比如，在第一个例子中，他们先让学生明白，兔子的数量不能超过94÷4=24只，然后就列一张表，从24只开始往下试验，看看脚的数量有多少。（表1） 吴军先生说，当时看了他们的教科书，就想美国人真笨，果然数学学不好。但是，发现他们再做其他相似的问题时，就可以从上述过程中受到启发，比如前面的鸡蛋问题，美国人也是列表。（表2）
事实上，只要是有整数解的各种二元一次方程的问题，都可以用列表这种笨方法解决。也就是说，美国小学的做法实际上是交给了学生一个很笨的，但是很通用的工具。这样，能解决一个就能解决很多，虽然办法很笨，很花时间，但总不至于让学生们无从下手。至于那些解题技巧，他们很少在小学里教，省得大家学不会，有挫败感。上述笨方法的另一个好处是，学生在列表的过程中，感受到数据变化的趋势，慢慢地就会知道大约从多少开始试验，而不是永远从零开始。相比之下，中国学校里教的那些聪明办法，常常和具体问题有关，除非是悟性很好的学生，普通学生并不容易举一反三，因此家长总是责怪孩子笨。
在这一类问题中如果数据很大，列表或者画图就不现实了。这时，教师会告诉学生，别着急，到了中学（或者小学高年级），学了解方程自然就会了。
很多人在离开了学校之后，除非辅导孩子，可能一辈子不会用到解方程了，以至于质疑为什么要在中小学里学习它。因为他们并不知道，方程是现实世界中，刻画相等关系的最美丽的模型，是一个强大的解决实际问题的工具，它可以让我们脑子里很多想不清楚的数学问题变得富有结构性，从而变得直观简单。
还是以上面的鸡兔同笼问题为例，我们只要假设鸡有x只，那么兔子就有（35-x）只，于是就有方程2x+（35-x）×4=94。或者列两个方程，假设鸡有x只，兔子有y只，就有方程组x+y=352x+4y=94。对于汽车和三轮车的问题，相应的方程是3x+（20-x）×4=65，或者x+y=203x+4y=65。
对于鸡蛋的问题，我们可以稍微转换一下条件：红皮鸡蛋5元3个，也就是每个■元;白皮鸡蛋3元2个，也就是每个■元。设红皮鸡蛋x个，则白皮鸡蛋为（12-x）个。于是就有方程■x+■（12-x）=19。我们也可以把问题稍微变一下，也是一样的解法。原题改为：红皮鸡蛋3个一盒5元，白皮鸡蛋2个一盒3元，一共花了19元买了12个鸡蛋，问红皮鸡蛋和白皮鸡蛋各有几盒？
假设红皮鸡蛋x盒，白皮鸡蛋y盒，就有下面两个方程：3x+2y=125x+3y=19，x和y分别是2和3，于是我们就知道两盒红皮鸡蛋有6个，白皮鸡蛋三盒也是6个。
上述三个（组）方程，对于高年级的学生来讲，解出来总是不难的。如果不教会他们建立方程这个模型，掌握这个工具，让他们苦思冥想，这几个问题还真有点烧脑筋。从这三个例子中，我们可以体会到，方程是一种数学模型，是一种解题工具。这种工具有一整套合乎逻辑的解法，只要通过一个问题掌握这个解法，就能把成千上万的问题解决掉。这才是学习数学的正道，而不是去做更多的题。
综上，关于鸡兔同笼类问题的教学，比较理想的教学方式可以这么统计下：（1）不排斥上述若干特殊性解法的巧妙性及部分通用性（比如鸡兔情境不变，只变相关数据），但要出示上述三轮车与汽车的变式题，让学生自悟到特殊性解法的局限性。（2）不否认假设都是鸡（兔）的“通法”，但要让学生意识到，这样的通法仅是“局部有效”，面对上述鸡蛋类变式问题，又显得束手无策。（3）重点做好三件事——①让学生经历从具体实际问题中抽象出纯数学问题。上述鸡兔同笼问题的实质就是，在■+▲=35，且■×2+▲×4=94的前提下，求■和▲各等于多少的問题。②让学生充分体验“列表法”看似麻烦、其实有效的好处，感受数据变化的趋势，体会列表模型的通用价值。③让学生自己感受列表法的瑕疵，产生需要更高级工具（模型）的欲望，适时引出方程，让学生充分体验方程工具在解决此类问题中无所不能的强大性。（4）适当练习。重在把形形色色的题目抽象成同一类问题，把自然语言描述的现实世界的问题，变成用数学语言描述的问题，列出方程。
如此，教师的主要教学精力在于强化学生在模型建构中的真实体验，学生学会把具体问题抽象成数学模型，然后触类旁通，自己就可以解决更多更难的新问题。这大概就接近了教学的最高境界，这可能才是数学教学的王道。
唐代大诗人白居易在其经典诗作《放言五首·其三》中写道：试玉要烧三日满，辨材须待七年期。对于学生模型思想的培养，非“一日之功”，教师不可“急于求成”。“鱼尾”需要，但“鱼头”和“鱼身”更需要。如此，方可水到渠成。
（作者单位：浙江省杭州钱塘新区教师教育学院）
何为“数学模型”？目前尚无公认的定义。按广义解释，一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式、各种方程式以及由公式系列构成的算法系统等，都可称之为数学模型。按狭义解释，只有那些反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构，才叫数学模型。这也正是当今应用数学中数学模型的原意。
从历史角度看，有了数的概念，就有了数学模型。例如，原始人“结绳”计数，本质上就是对数学模型的运用。在数学发展的漫长过程中，从源于丈量土地所建立的几何学，到为解决力学、天文学问题而诞生的微积分，都可以说是数学模型。“建模”是数学发展最初的原动力。当然，作为一门思维科学，数学的发展不仅仅止于模型的建构。
对小学生而言，不必细究数学模型的广义与狭义之分，关键是在日常的学习中，在平时的问题解决中，要逐步养成模型意识，慢慢地形成模型思想，这才是数学学习之要义，也是教师教学中的关键任务。
关于模型思想，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）中的阐述是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
这里对数学建模的刻画，删繁就简，突出了三个主要环节，即让学生经历“问题抽象→建立模型→解释应用”的全过程。同时，也间接表明了这里采纳的是数学模型的狭义解释。显然，从操作层面，《课程标准》中已明确指出了模型建构的具体方法，三个环节缺一不可，尤其是前面两个环节，更不能缺少。学生如果缺少了在模型建构中的真实体验，就不太可能有效地形成模型思想。上述数学建模的三个主要环节，恰似“整条鱼”。“问题抽象”和“建立模型”相当于鱼头和鱼身，“解释应用”处于鱼尾的位置。试想，只有鱼尾，没有了鱼头和鱼身，这条鱼何来生命？怎么可能有力量？
对于鸡兔同笼问题，大家再熟悉不过，许多教师都有精彩的教学演绎。现在我们从模型建构的视角来分析，究竟怎样的教学才是真正意义上的好教学。
鸡兔同笼问题：在一个笼子里，有鸡和兔子，从上面数，头有35个，从下面数，脚有94只，请问鸡和兔子各有几只？
这个问题最早出现在中国南北朝时期的《孙子算经》，书中给了一个不太好理解的算法。具体如下：（1）将所有动物的脚数除以2，也就是94÷2=47。每只鸡有一对脚，兔子有两对脚。（2）假设所有的动物都是鸡，就应该有35对脚，但事实上有47对脚。（3）如果将一只鸡换成一只兔子，用47-35=12，说明需要有12只鸡被换成兔子，这就是兔子的数目。（4）知道了兔子的数目，也就知道了鸡的数目。
现实的教学中，教师们的方法要比《孙子算经》中的方法好理解，且更加“机妙”。比如：假设所有的动物同时举起两只脚，那么由于有35个头，所以一共举起了70只脚。由于鸡只有两只脚，那么多出来的94-70=24只脚，全属于兔子，所以兔子一共有12只，剩下的都是鸡。
还有的教师方法和上述方法具有异曲同工之妙：假设鸡用两只翅膀撑地，相当于有了4只脚，一共有35×4=140只脚，那么多出来的140-94=46只脚，全属于鸡，每只鸡多算了2只脚，所以鸡有23只。
上述《孙子算经》的方法，不缺巧妙性，但不太直观，或者说不具备结构性。不具备结构性的结果，就是没有通用性，无法让人举一反三，因为这个方法只针对这个特定的问题有效。若把问题改一下：假如若干辆三轮车和汽车（四轮），一共有20辆车，有65个轮子，请问汽车和三轮车各有多少辆？这个问题就无法用上面的方法解决，无论先把车辆的轮子除以3，或者除以4，都不可以，因为65既不能被3整除，也不能被4整除。“举脚”和“撑地”两种巧妙的方法似乎也不太适用。
这道题在古代就没法解了，中国古代有不少数学著作流传下来，里面解决了不少问题，但是中国的这些数学论著有一个缺陷，就是它们给出的都是一个个具体的解法，而不是一套系统的方法（或者说模型）。
今天小学里教的方法在通用性方面要比古代的方法好了不少。通常学校里会这么教：（1）假设笼子里全是鸡，那么应该有35×2=70只脚。（2）但是现在有了94只脚，多出24只，就应该是由4只脚的兔子造成的。（3）如果我们用一只兔子替换一只鸡，就会多出两只脚，那么，替换24只脚需要多少只兔子呢？（4）24÷2=12，于是就有12只兔子，剩下的就是鸡。这个方法可以直接解决上面汽车和三轮车的问题。
今天在学校里，如果遇上一个好老师能把鸡兔同笼问题讲透，学生是能做出汽车和三轮车问题的。当然会有一些同学不会做，因为他们只是记住了鸡兔同笼算法，不会应用到其他问题上。这些学生要考高分，只好多做题，把三轮车的题目做一遍，再把其他相似的题目也做了，于是就很辛苦。但是即使能够灵活运用鸡兔同笼的解法，大部分人也还是不能解决所有这类问题，比如再出一道题还是做不出来：红皮鸡蛋5元3个，白皮鸡蛋3元2个，小明花了19元，买了12个鸡蛋，问红皮和白皮鸡蛋各有几个？这个问题其实是鸡兔同籠问题的变式，但是上面改进的鸡兔同笼的解法也不管用。那么能不能针对所有这些问题，提供一个寻找答案的思路呢？或者说搭建出结构化的模型呢？
美国人的教法很有趣，在小学里他们不教学生那些需要技巧的解法。对于鸡兔同笼问题，就是列表的笨方法。比如，在第一个例子中，他们先让学生明白，兔子的数量不能超过94÷4=24只，然后就列一张表，从24只开始往下试验，看看脚的数量有多少。（表1） 吴军先生说，当时看了他们的教科书，就想美国人真笨，果然数学学不好。但是，发现他们再做其他相似的问题时，就可以从上述过程中受到启发，比如前面的鸡蛋问题，美国人也是列表。（表2）
事实上，只要是有整数解的各种二元一次方程的问题，都可以用列表这种笨方法解决。也就是说，美国小学的做法实际上是交给了学生一个很笨的，但是很通用的工具。这样，能解决一个就能解决很多，虽然办法很笨，很花时间，但总不至于让学生们无从下手。至于那些解题技巧，他们很少在小学里教，省得大家学不会，有挫败感。上述笨方法的另一个好处是，学生在列表的过程中，感受到数据变化的趋势，慢慢地就会知道大约从多少开始试验，而不是永远从零开始。相比之下，中国学校里教的那些聪明办法，常常和具体问题有关，除非是悟性很好的学生，普通学生并不容易举一反三，因此家长总是责怪孩子笨。
在这一类问题中如果数据很大，列表或者画图就不现实了。这时，教师会告诉学生，别着急，到了中学（或者小学高年级），学了解方程自然就会了。
很多人在离开了学校之后，除非辅导孩子，可能一辈子不会用到解方程了，以至于质疑为什么要在中小学里学习它。因为他们并不知道，方程是现实世界中，刻画相等关系的最美丽的模型，是一个强大的解决实际问题的工具，它可以让我们脑子里很多想不清楚的数学问题变得富有结构性，从而变得直观简单。
还是以上面的鸡兔同笼问题为例，我们只要假设鸡有x只，那么兔子就有（35-x）只，于是就有方程2x+（35-x）×4=94。或者列两个方程，假设鸡有x只，兔子有y只，就有方程组x+y=352x+4y=94。对于汽车和三轮车的问题，相应的方程是3x+（20-x）×4=65，或者x+y=203x+4y=65。
对于鸡蛋的问题，我们可以稍微转换一下条件：红皮鸡蛋5元3个，也就是每个■元;白皮鸡蛋3元2个，也就是每个■元。设红皮鸡蛋x个，则白皮鸡蛋为（12-x）个。于是就有方程■x+■（12-x）=19。我们也可以把问题稍微变一下，也是一样的解法。原题改为：红皮鸡蛋3个一盒5元，白皮鸡蛋2个一盒3元，一共花了19元买了12个鸡蛋，问红皮鸡蛋和白皮鸡蛋各有几盒？
假设红皮鸡蛋x盒，白皮鸡蛋y盒，就有下面两个方程：3x+2y=125x+3y=19，x和y分别是2和3，于是我们就知道两盒红皮鸡蛋有6个，白皮鸡蛋三盒也是6个。
上述三个（组）方程，对于高年级的学生来讲，解出来总是不难的。如果不教会他们建立方程这个模型，掌握这个工具，让他们苦思冥想，这几个问题还真有点烧脑筋。从这三个例子中，我们可以体会到，方程是一种数学模型，是一种解题工具。这种工具有一整套合乎逻辑的解法，只要通过一个问题掌握这个解法，就能把成千上万的问题解决掉。这才是学习数学的正道，而不是去做更多的题。
综上，关于鸡兔同笼类问题的教学，比较理想的教学方式可以这么统计下：（1）不排斥上述若干特殊性解法的巧妙性及部分通用性（比如鸡兔情境不变，只变相关数据），但要出示上述三轮车与汽车的变式题，让学生自悟到特殊性解法的局限性。（2）不否认假设都是鸡（兔）的“通法”，但要让学生意识到，这样的通法仅是“局部有效”，面对上述鸡蛋类变式问题，又显得束手无策。（3）重点做好三件事——①让学生经历从具体实际问题中抽象出纯数学问题。上述鸡兔同笼问题的实质就是，在■+▲=35，且■×2+▲×4=94的前提下，求■和▲各等于多少的問题。②让学生充分体验“列表法”看似麻烦、其实有效的好处，感受数据变化的趋势，体会列表模型的通用价值。③让学生自己感受列表法的瑕疵，产生需要更高级工具（模型）的欲望，适时引出方程，让学生充分体验方程工具在解决此类问题中无所不能的强大性。（4）适当练习。重在把形形色色的题目抽象成同一类问题，把自然语言描述的现实世界的问题，变成用数学语言描述的问题，列出方程。
如此，教师的主要教学精力在于强化学生在模型建构中的真实体验，学生学会把具体问题抽象成数学模型，然后触类旁通，自己就可以解决更多更难的新问题。这大概就接近了教学的最高境界，这可能才是数学教学的王道。
唐代大诗人白居易在其经典诗作《放言五首·其三》中写道：试玉要烧三日满，辨材须待七年期。对于学生模型思想的培养，非“一日之功”，教师不可“急于求成”。“鱼尾”需要，但“鱼头”和“鱼身”更需要。如此，方可水到渠成。
（作者单位：浙江省杭州钱塘新区教师教育学院）