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摘要：本文运用Black-Scholes模型，通过对唐钢转债的发行定价进行实证研究，分析可转债发行定价中出现折价现象的原因。
关键字：可转换债券；Black-Scholes模型；折价
可转换债券全称可转换公司债券，是指在一定条件下可以转换成公司股票的债券，具有债权和期权的双重属性。可转换债券的债权价值体现在普通债券的纯粹价值上，期权性的价值体现在看涨期权的价值上，因此，可转换债券的价值可以由普通债券价值和看涨期权的价值两部分构成。
一、理论模型
1.可转换债券的普通债权价值：指如果可转换债券不具有转换权，它同样拥有与普通公司债券相同的投资价值。可转换债券相当于普通债权部分的价值等于投资者持有债券期间能够获得的现金流量的贴现值，用公司表示是：
B=∑nt=0I(1+i)t+k+P(1+i)n+k公式（1）
公式中各符号的含义如下：B表示普通债券部分的价值；I表示债券每年的利息；P表示债券的本金；i表示贴现率；n表示从现在起至到期日的剩余年限的整年数；k表示从现在起至下一次付息日不足一年的时间（单位为年，0＜k＜1）；n+k表示从现在起至到期日的剩余年限。
2.可转换债券的看涨期权价值：本文采用Black-Scholes定价模型计算可转换债券的看涨期权的价值，定价公式为：
C=S×N(d1)-Xe-r(T-t)×N(d2)公式（2）
d1=ln(S/X)+(r+σ2)/2)(T-t)σT-t，d2=ln(S/X)+(r+σ2/2)(T-t)σT-t
其中：C表示看涨期权的定价，S表示标的股票的现价，X表示执行价格，r表示无风险利率（以连续复利计算），σ表示标的股票的价格波动率，T表示期权到期日，t表示现在的时间，N(·)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数。
二、唐钢转债的实证研究
1.唐钢转债的普通债券价值：唐钢转债采用递增浮动利率的形式，每年的利息率分别为0.8%、1.1%、1.4%、1.7%、2.0%，则每年应偿还的利息分别为0.8元、1.1元、1.4元、1.7元、2.0元。从理论上讲，贴现率应该是与可转换债券相同风险等级的普通公司债券的投资者期望报酬率。但由于我国信用评级体系不健全，本文以目前5年期银行贷款利率的年连续复利率作为贴现率。目前年实际复利率R=7.74%，则贴现率i=ln（R+1）=ln（7.74%+1）=7.45%。由公式（1）计算可得，在初始发行时，唐钢转债普通债权部分的价值：B=75.31
2.唐钢转债的看涨期权价值：
在利用B-S模型计算看涨期权价值所需要的数据中，只有股票价格波动率这一变量是未知的，因此我们首先来计算唐钢股份的价格波动率σ。
股票价格波动率σ的计算方法是：以一定时间内的股票价格为基础，设（n+1）为观察次数，Si为第i个时间间隔末的股票价格。令Ui=ln(Si/Si-1，因为Si=Si-1eUi，所以是Ui第i个时间间隔后的连续复利收益，Ui的标准差即为该段时间内股票价格的日波动率，设为σ1，则σ1的估计值为：σ1=1n-1∑ni=1(Ui-U)2。公式中U是Ui的均值。
在计算出股票价格的日波动率之后，可以利用下面的公式计算股票价格的年波动率：
股票价格的年波动率（σ）=股票价格日波动率×每年的交易日数.
我们以唐钢转债发行前唐钢股份股票连续90个交易日（从2007年7月30日至2007年12月13日）的价格为基础来计算其股票价格波动率。
根据计算，我们得到：
σ1=4.26%，从而得到其股票年波动率σ=4.26%×245=66.68%（以一年245个交易日计算）。
利用Black-Scholes定价模型计算看涨期权价值。转股价格X=20.80；以当时国债利率为参考，以年连续复利率表示的无风险利率r取值为3%；在唐钢转债发行时唐钢股份股价为每股20.78元，即S=10；转债发行时离到期日的时间T-t=5（年）。将这些数据代入Black-Scholes模型，计算唐钢转债包含的买去期权的单位价值C：
d1=0.8461，d2=-0.4300
查正态分布数值表可以得到：N(d1)=0.8013 N(d2)=0.3336
所以利用公式（2），C=S×N(d1)-Xe-r(T-t)×N(d2)=10.6787（元）
由于唐钢转债的转股价格为每股20.80元，所以每张面值为100元的转债可以转换成4.8077股唐钢股份股票，每张转债所包含的看涨期权价值C=4.8077×10.6787=51.3400（元）。
唐钢转债的定价：唐钢转债整体价值等于普通债券部分的价值加上看涨期权部分的价值之和，即B+C=75.31+51.34=126.65元。这一价值即是我们计算出的唐钢转债的理论价值。
三、可转债发行发行定价出现折价现象的原因分析
唐钢转债的发行价为面值（100元），低于上面通过Black-Scholes期权定价模型计算出的结果126.65元，折价率高达21.04%。模型计算值与实际值存在差异的主要原因是，模型所要求的假设在现实条件中并不完全满足，从而影响了定价结果。
1.高估了股价波动率：在计算中我们采用股价的历史波动率来代替未来波动率。由于可转换债券的上市对股票有稳定作用，股价的未来波动率一般要小于历史波动率，因此，计算价格会高于市场价格；
2.贴现率的选取存在误差：我国债券市场发展落后，信用评级系统很不完善，无法以相同信用等级的普通债券的收益率来计算唐钢转债的普通债权部分价值；
3.缺乏卖空机制：Black-Scholes模型是建立在市场均衡的前提下的，均衡即意味着不存在无风险的超额利润。如果某项金融资产价格出现偏差，此时就出现了套利机会，市场力量就会通过构建资产组合来获取无风险的套利利润。而我国证券市场却不存在建立无风险套利资产组合所需的市场卖空机制。忽略卖空机制而套用可转债定价模型，计算结果往往高于市场价格；
4.证券市场整体低迷：唐钢转债发行时，上证指数在短短的一个半月时间里，从最高点6124.04点下降到5007.91点，跌幅达18.23%。市场不看好发行公司未来的股价走势，认为今后股价走低的可能性远高于股价走高的可能性，低估可转换债券的看涨期权部分的价值，从而低估了可转债的价格。
5.我国可转债条款过于复杂：目前交易所挂牌交易的可转债共33只，大部分条款设计得非常复杂。许多条款是否可执行还需要一定的前提条件，因此使得条款的价值对投资者来说具有很大的不确定性，这些不确定性使可转债从理论上很难定价。同时，由于发行人与投资者之间存在信息不对称问题，投资者只愿意从“最坏”的情况对可转债进行估值，因此发行条款的复杂化只会导致投资者低估可转债的投资价值，使得模型测算出的理论价值偏大。
参考文献：
[1]郑振龙，林海.中国可转换债券定价研究[J].厦门大学学报（哲社版），2004（2）.
[2]张亦春主编.金融市场学[M].高等教育出版社，1999.
[3]林义相.可转换债券投资分析与运作[M].上海远东出版社，2000.
[4]张鸣.可转换债券定价理论与案例研究[J].上海财经大学学报，2001（10）.
（作者单位：中央财经大学金融学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键字：可转换债券；Black-Scholes模型；折价
可转换债券全称可转换公司债券，是指在一定条件下可以转换成公司股票的债券，具有债权和期权的双重属性。可转换债券的债权价值体现在普通债券的纯粹价值上，期权性的价值体现在看涨期权的价值上，因此，可转换债券的价值可以由普通债券价值和看涨期权的价值两部分构成。
一、理论模型
1.可转换债券的普通债权价值：指如果可转换债券不具有转换权，它同样拥有与普通公司债券相同的投资价值。可转换债券相当于普通债权部分的价值等于投资者持有债券期间能够获得的现金流量的贴现值，用公司表示是：
B=∑nt=0I(1+i)t+k+P(1+i)n+k公式（1）
公式中各符号的含义如下：B表示普通债券部分的价值；I表示债券每年的利息；P表示债券的本金；i表示贴现率；n表示从现在起至到期日的剩余年限的整年数；k表示从现在起至下一次付息日不足一年的时间（单位为年，0＜k＜1）；n+k表示从现在起至到期日的剩余年限。
2.可转换债券的看涨期权价值：本文采用Black-Scholes定价模型计算可转换债券的看涨期权的价值，定价公式为：
C=S×N(d1)-Xe-r(T-t)×N(d2)公式（2）
d1=ln(S/X)+(r+σ2)/2)(T-t)σT-t，d2=ln(S/X)+(r+σ2/2)(T-t)σT-t
其中：C表示看涨期权的定价，S表示标的股票的现价，X表示执行价格，r表示无风险利率（以连续复利计算），σ表示标的股票的价格波动率，T表示期权到期日，t表示现在的时间，N(·)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数。
二、唐钢转债的实证研究
1.唐钢转债的普通债券价值：唐钢转债采用递增浮动利率的形式，每年的利息率分别为0.8%、1.1%、1.4%、1.7%、2.0%，则每年应偿还的利息分别为0.8元、1.1元、1.4元、1.7元、2.0元。从理论上讲，贴现率应该是与可转换债券相同风险等级的普通公司债券的投资者期望报酬率。但由于我国信用评级体系不健全，本文以目前5年期银行贷款利率的年连续复利率作为贴现率。目前年实际复利率R=7.74%，则贴现率i=ln（R+1）=ln（7.74%+1）=7.45%。由公式（1）计算可得，在初始发行时，唐钢转债普通债权部分的价值：B=75.31
2.唐钢转债的看涨期权价值：
在利用B-S模型计算看涨期权价值所需要的数据中，只有股票价格波动率这一变量是未知的，因此我们首先来计算唐钢股份的价格波动率σ。
股票价格波动率σ的计算方法是：以一定时间内的股票价格为基础，设（n+1）为观察次数，Si为第i个时间间隔末的股票价格。令Ui=ln(Si/Si-1，因为Si=Si-1eUi，所以是Ui第i个时间间隔后的连续复利收益，Ui的标准差即为该段时间内股票价格的日波动率，设为σ1，则σ1的估计值为：σ1=1n-1∑ni=1(Ui-U)2。公式中U是Ui的均值。
在计算出股票价格的日波动率之后，可以利用下面的公式计算股票价格的年波动率：
股票价格的年波动率（σ）=股票价格日波动率×每年的交易日数.
我们以唐钢转债发行前唐钢股份股票连续90个交易日（从2007年7月30日至2007年12月13日）的价格为基础来计算其股票价格波动率。
根据计算，我们得到：
σ1=4.26%，从而得到其股票年波动率σ=4.26%×245=66.68%（以一年245个交易日计算）。
利用Black-Scholes定价模型计算看涨期权价值。转股价格X=20.80；以当时国债利率为参考，以年连续复利率表示的无风险利率r取值为3%；在唐钢转债发行时唐钢股份股价为每股20.78元，即S=10；转债发行时离到期日的时间T-t=5（年）。将这些数据代入Black-Scholes模型，计算唐钢转债包含的买去期权的单位价值C：
d1=0.8461，d2=-0.4300
查正态分布数值表可以得到：N(d1)=0.8013 N(d2)=0.3336
所以利用公式（2），C=S×N(d1)-Xe-r(T-t)×N(d2)=10.6787（元）
由于唐钢转债的转股价格为每股20.80元，所以每张面值为100元的转债可以转换成4.8077股唐钢股份股票，每张转债所包含的看涨期权价值C=4.8077×10.6787=51.3400（元）。
唐钢转债的定价：唐钢转债整体价值等于普通债券部分的价值加上看涨期权部分的价值之和，即B+C=75.31+51.34=126.65元。这一价值即是我们计算出的唐钢转债的理论价值。
三、可转债发行发行定价出现折价现象的原因分析
唐钢转债的发行价为面值（100元），低于上面通过Black-Scholes期权定价模型计算出的结果126.65元，折价率高达21.04%。模型计算值与实际值存在差异的主要原因是，模型所要求的假设在现实条件中并不完全满足，从而影响了定价结果。
1.高估了股价波动率：在计算中我们采用股价的历史波动率来代替未来波动率。由于可转换债券的上市对股票有稳定作用，股价的未来波动率一般要小于历史波动率，因此，计算价格会高于市场价格；
2.贴现率的选取存在误差：我国债券市场发展落后，信用评级系统很不完善，无法以相同信用等级的普通债券的收益率来计算唐钢转债的普通债权部分价值；
3.缺乏卖空机制：Black-Scholes模型是建立在市场均衡的前提下的，均衡即意味着不存在无风险的超额利润。如果某项金融资产价格出现偏差，此时就出现了套利机会，市场力量就会通过构建资产组合来获取无风险的套利利润。而我国证券市场却不存在建立无风险套利资产组合所需的市场卖空机制。忽略卖空机制而套用可转债定价模型，计算结果往往高于市场价格；
4.证券市场整体低迷：唐钢转债发行时，上证指数在短短的一个半月时间里，从最高点6124.04点下降到5007.91点，跌幅达18.23%。市场不看好发行公司未来的股价走势，认为今后股价走低的可能性远高于股价走高的可能性，低估可转换债券的看涨期权部分的价值，从而低估了可转债的价格。
5.我国可转债条款过于复杂：目前交易所挂牌交易的可转债共33只，大部分条款设计得非常复杂。许多条款是否可执行还需要一定的前提条件，因此使得条款的价值对投资者来说具有很大的不确定性，这些不确定性使可转债从理论上很难定价。同时，由于发行人与投资者之间存在信息不对称问题，投资者只愿意从“最坏”的情况对可转债进行估值，因此发行条款的复杂化只会导致投资者低估可转债的投资价值，使得模型测算出的理论价值偏大。
参考文献：
[1]郑振龙，林海.中国可转换债券定价研究[J].厦门大学学报（哲社版），2004（2）.
[2]张亦春主编.金融市场学[M].高等教育出版社，1999.
[3]林义相.可转换债券投资分析与运作[M].上海远东出版社，2000.
[4]张鸣.可转换债券定价理论与案例研究[J].上海财经大学学报，2001（10）.
（作者单位：中央财经大学金融学院）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文